Фильтр постоянного k

Фильтры постоянного k , также фильтры k-типа , представляют собой тип электронного фильтра, разработанного с использованием метода изображения . Это оригинальные и простейшие фильтры, созданные по этой методике, и состоят из лестничной сети идентичных секций пассивных компонентов. Исторически сложилось так, что это первые фильтры, которые могли приблизиться к идеальной частотной характеристике фильтра в пределах любого заданного предела при добавлении достаточного количества секций. Однако их редко рассматривают в современных конструкциях, поскольку лежащие в их основе принципы были заменены другими методологиями , которые более точно прогнозируют отклик фильтра.

История

Фильтры с постоянным k были изобретены Джорджем Кэмпбеллом . Он опубликовал свою работу в 1922 году. ^[1] но явно изобрел фильтры некоторое время назад, ^[2] поскольку его коллега из AT&T Co Отто Зобель в это время уже вносил улучшения в конструкцию. Фильтры Кэмпбелла намного превосходили более простые одноэлементные схемы , которые использовались ранее. Кэмпбелл назвал свои фильтры фильтрами электрических волн, но позже этот термин стал обозначать любой фильтр, который пропускает волны одних частот, но не пропускает другие. Впоследствии было изобретено множество новых форм волновых фильтров; Ранним (и важным) вариантом был фильтр на основе m Зобеля, который ввел термин «константа k» для фильтра Кэмпбелла, чтобы различать их. ^[3]

Большим преимуществом фильтров Кэмпбелла перед схемой RL и другими простыми фильтрами того времени было то, что они могли быть спроектированы для любой желаемой степени подавления полосы пропускания или крутизны перехода между полосой пропускания и полосой задерживания. Оставалось только добавлять дополнительные секции фильтра, пока не был получен желаемый ответ. ^[4]

Фильтры были разработаны Кэмпбеллом с целью разделения мультиплексированных телефонных каналов на линиях передачи , однако их последующее использование получило гораздо более широкое распространение. Методы проектирования, использованные Кэмпбеллом, в значительной степени были заменены. Однако лестничная топология, использованная Кэмпбеллом с константой k, все еще используется сегодня в реализациях современных конструкций фильтров, таких как фильтр Чебышева . Кэмпбелл предложил конструкции с постоянным k для фильтров нижних , верхних и полосовых частот . Также возможны полосовые и многополосные фильтры. ^[5]

Терминология

Некоторые из терминов импеданса и разделов, используемых в этой статье, изображены на диаграмме ниже. Теория изображений определяет величины в терминах бесконечного каскада двухпортовых секций , а в случае обсуждаемых фильтров - бесконечной лестничной сети L-секций. Здесь «L» не следует путать с индуктивностью L – в топологии электронного фильтра «L» относится к определенной форме фильтра, напоминающей перевернутую букву «L».

Секции гипотетического бесконечного фильтра состоят из последовательных элементов с сопротивлением 2 Z с сопротивлением 2 Y. и шунтирующих элементов Коэффициент два введен для математического удобства, так как принято работать с полусечениями, где он исчезает. Импеданс изображения входного и выходного порта секции обычно не будет одинаковым. Однако для участка средней серии (то есть участка от середины последовательного элемента до середины следующего последовательного элемента) будет иметь одинаковый импеданс изображения на обоих портах из-за симметрии. Это сопротивление изображения обозначается Z_iT из-за " T» топология промежуточного участка. Аналогично, сопротивление изображения промежуточного шунтирующего участка обозначается Z_iΠ из-за " Π"топология. Половина такой "T" или "Π" секция называется полусекцией , которая также является L-секцией, но с половиной значений элементов полного L-секции. Импеданс изображения полусекции неодинаков на входном и выходном портах: на стороне, представляющей последовательный элемент, он равен среднесерийному. Z_iT, но со стороны, на которой находится шунтирующий элемент, он равен середине шунта Z_iΠ . Таким образом, существует два варианта использования полусекции.

Части этой статьи или раздела основаны на знаниях читателя о комплексного импеданса представлении конденсаторов и катушек индуктивности , а также на знании в частотной области представления сигналов .

Вывод

Строительным блоком фильтров с постоянным k является полусекционная цепь «L», состоящая из последовательного Z и шунтирующего адмиттанса Y. импеданса «k» в «константе k» — это значение, определяемое формулой: ^[6]

k^{2}={\frac {Z}{Y}}

Таким образом, k будет иметь единицы импеданса, то есть омы . Очевидно, что для того, чтобы было постоянным, Y должен быть двойным импедансом Z k . Физическую интерпретацию k можно дать, заметив, что k является предельным значением Z _i, когда размер сечения (с точки зрения значений его компонентов, таких как индуктивности, емкости и т. д.) приближается к нулю, сохраняя при этом k на уровне его первоначальная стоимость. Таким образом, k представляет собой характеристический импеданс Z 0 _линии передачи, которая будет образована этими бесконечно малыми участками. ^[7]^[8]^[9] Это также импеданс изображения секции при резонансе , в случае полосовых фильтров, или при ω = 0 в случае фильтров нижних частот. ^[10] Например, изображенная на фото полусекция нижних частот имеет

k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}

.

Элементы L и C можно сделать сколь угодно маленькими, сохранив при этом то же значение k . Однако Z и Y приближаются к нулю, и, судя по формулам (ниже) для импедансов изображения,

\lim _{Z,Y\to 0}Z_{\mathrm {i} }=k

.

Импеданс изображения

Сопротивления изображения секции определяются выражением ^[11]

{Z_{\mathrm {iT} }}^{2}=Z^{2}+k^{2}

и

{\frac {1}{{Z_{\mathrm {i\Pi } }}^{2}}}={Y_{\mathrm {i\Pi } }}^{2}=Y^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}

Учитывая, что фильтр не содержит никаких резистивных элементов, сопротивление изображения в полосе пропускания фильтра является чисто действительным , а в полосе заграждения — чисто мнимым . Например, для изображенной полусекции нижних частот: ^[12]

{Z_{\mathrm {iT} }}^{2}=-(\omega L)^{2}+{\frac {L}{C}}

Переход происходит на частоте среза, определяемой выражением

\omega _{c}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

Ниже этой частоты импеданс изображения является реальным,

Z_{\mathrm {iT} }=L{\sqrt {\omega _{c}^{2}-\omega ^{2}}}

Выше частоты среза импеданс изображения мнимый,

Z_{\mathrm {iT} }=iL{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{c}^{2}}}

Параметры передачи

Параметры передачи для общего полусекции с постоянным k определяются выражением ^[13]

\gamma =\sinh ^{-1}{\frac {Z}{k}}

а для цепочки из n полуотрезков

\gamma _{n}=n\gamma \,\!

Для секции нижних частот L-образной формы, ниже частоты среза, параметры передачи определяются выражением ^[11]

\gamma =\alpha +i\beta =0+i\sin ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{c}}}

То есть передача осуществляется без потерь в полосе пропускания, при этом меняется только фаза сигнала. Выше частоты среза параметры передачи составляют: ^[11]

\gamma =\alpha +i\beta =\cosh ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{c}}}+i{\frac {\pi }{2}}

Преобразования прототипа

Представленные графики импеданса изображения, затухания и изменения фазы соответствуют секции прототипа фильтра нижних частот . Прототип имеет частоту среза ω _c = 1 рад/с и номинальное сопротивление k = 1 Ом. Это достигается с помощью полусекции фильтра с индуктивностью L = 1 генри и емкостью C = 1 фарад . Этот прототип может быть масштабирован по сопротивлению и частоте до желаемых значений. Прототип низкочастотного фильтра также может быть преобразован в высокочастотный, полосовой или полосовой заграждающий тип путем применения подходящих частотных преобразований . ^[14]

Каскадные секции

Несколько полусекций L-образной формы могут быть соединены каскадом для формирования составного фильтра. В этих комбинациях одинаковый импеданс всегда должен быть направлен одинаково. Таким образом, существуют две цепи, которые можно сформировать из двух одинаковых L-образных полусекций. Где порт изображения импеданса Z _iT сталкивается с другим Z _iT, раздел называется Π раздел. Где Z _iΠ лица Z _iΠ сформированное таким образом сечение представляет собой Т-образное сечение. Дальнейшее добавление полусекций к любой из этих секций образует лестничную сеть, которая может начинаться и заканчиваться последовательными или шунтирующими элементами. ^[15]

Следует иметь в виду, что характеристики фильтра, предсказанные методом изображения, являются точными только в том случае, если секция заканчивается его импедансом изображения. Обычно это не относится к секциям на обоих концах, которые обычно заканчиваются фиксированным сопротивлением. Чем дальше секция находится от конца фильтра, тем точнее будет прогноз, поскольку влияние оконечных импедансов маскируется промежуточными секциями. ^[16]

изображений Разделы фильтров

Несбалансированный
L Half section	T Section	Π Section

Ladder network

Сбалансированный
C Half-section	H Section		Box Section

Ladder network

X Section (mid-T-Derived)		X Section (mid-Π-Derived)

Примечание:	В учебниках и проектных чертежах обычно показаны несбалансированные реализации, но в телекоммуникациях часто требуется преобразовать конструкцию в сбалансированную реализацию при использовании со сбалансированными линиями.	редактировать

См. также

Примечания

^ Кэмпбелл, Джорджия (ноябрь 1922 г.), «Физическая теория электрического волнового фильтра», Bell System Tech. Дж. , 1 (2): 1–32, doi : 10.1002/j.1538-7305.1922.tb00386.x
^ Брей, стр.62 называет 1910 год началом работы Кэмпбелла над фильтрами.
^ Уайт, Г. (январь 2000 г.), «Прошлое», BT Technology Journal , 18 (1): 107–132, doi : 10.1023/A:1026506828275 , S2CID 62360033
^ Брей, стр.62.
^ Зобель, О.Дж., Многополосный волновой фильтр , патент США № 1,509,184 , подан 30 апреля 1920 г., выдан 23 сентября 1924 г.
^ Зобель, 1923, стр.6.
^ Ли, Томас Х. (2004). «2.5. Импеданс движущей точки итерированной структуры». Планарная микроволновая техника: практическое руководство по теории, измерениям и схемам . Издательство Кембриджского университета. п. 44.
^ Никнеджад, Али М. (2007). «Раздел 9.2. Бесконечная лестничная сеть». . Электромагнетизм для высокоскоростных аналоговых и цифровых цепей связи .
^ Фейнман, Ричард ; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью . «Раздел 22-7. Фильтр» . Фейнмановские лекции по физике . Том. 2. Если представить линию разбитой на небольшие отрезки Δℓ, каждый отрезок будет выглядеть как один участок LC-лестницы с последовательными индуктивностью ΔL и шунтирующей емкостью ΔC. Затем мы можем использовать наши результаты для лестничного фильтра. Если мы возьмем предел, когда Δℓ стремится к нулю, мы получим хорошее описание линии передачи. Обратите внимание, что по мере того, как Δℓ становится все меньше и меньше, ΔL и ΔC уменьшаются, но в одинаковой пропорции, так что отношение ΔL/ΔC остается постоянным. Итак, если мы возьмем предел уравнения. (22.28) Когда ΔL и ΔC стремятся к нулю, мы обнаруживаем, что характеристический импеданс z0 представляет собой чистое сопротивление, величина которого равна √(ΔL/ΔC). Мы также можем записать отношение ΔL/ΔC как L0/C0, где L0 и C0 – индуктивность и емкость единицы длины линии; тогда у нас есть ${\sqrt {\frac {L_{0}}{C_{0}}}}$ .
^ Зобель, 1923, стр. 3-4.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Мэтью и др., стр.61.
^ Мэтью и др., стр. 61-62.
^ Зобель, 1923, стр.3.
^ Мэтью и др., стр. 96–97, 412–413, 438–440, 727–729.
^ Мэтью и др., стр. 65-68.
^ Мэтью и др., стр.68.

Ссылки

Брэй, Дж., Инновации и революция в области коммуникаций , Институт инженеров-электриков, 2002.
Маттеи, Г.; Янг, Л.; Джонс, ЕМТ, микроволновые фильтры, сети согласования импедансов и структуры связи . МакГроу-Хилл, 1964.
Зобель, О.Дж., Теория и проектирование однородных и составных фильтров электрических волн , Технический журнал Bell System, Vol. 2 (1923), стр. 1–46.
Фейнман, Ричард; Лейтон, Роберт; Сэндс, Мэтью, Фейнмановские лекции по физике, Vol. II , Глава 22. Цепи переменного тока, Раздел 6. Лестничная сеть , Калифорнийский технологический институт – HTML-версия.

Дальнейшее чтение

Для более простого рассмотрения анализа см.

Гош, Смараджит (2005), Сетевая теория: анализ и синтез , Нью-Дели: Прентис-холл, Индия, стр. 544–563, ISBN 81-203-2638-5

[1] Кэмпбелл, Джорджия (ноябрь 1922 г.), «Физическая теория электрического волнового фильтра», Bell System Tech. Дж. , 1 (2): 1–32, doi : 10.1002/j.1538-7305.1922.tb00386.x

[2] Брей, стр.62 называет 1910 год началом работы Кэмпбелла над фильтрами.

[3] Уайт, Г. (январь 2000 г.), «Прошлое», BT Technology Journal , 18 (1): 107–132, doi : 10.1023/A:1026506828275 , S2CID 62360033

[4] Брей, стр.62.

[5] Зобель, О.Дж., Многополосный волновой фильтр , патент США № 1,509,184 , подан 30 апреля 1920 г., выдан 23 сентября 1924 г.

[6] Зобель, 1923, стр.6.

[lee2004-7] Ли, Томас Х. (2004). «2.5. Импеданс движущей точки итерированной структуры». Планарная микроволновая техника: практическое руководство по теории, измерениям и схемам . Издательство Кембриджского университета. п. 44.

[niknejad2007-8] Никнеджад, Али М. (2007). «Раздел 9.2. Бесконечная лестничная сеть». . Электромагнетизм для высокоскоростных аналоговых и цифровых цепей связи .

[9] Фейнман, Ричард ; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью . «Раздел 22-7. Фильтр» . Фейнмановские лекции по физике . Том. 2. Если представить линию разбитой на небольшие отрезки Δℓ, каждый отрезок будет выглядеть как один участок LC-лестницы с последовательными индуктивностью ΔL и шунтирующей емкостью ΔC. Затем мы можем использовать наши результаты для лестничного фильтра. Если мы возьмем предел, когда Δℓ стремится к нулю, мы получим хорошее описание линии передачи. Обратите внимание, что по мере того, как Δℓ становится все меньше и меньше, ΔL и ΔC уменьшаются, но в одинаковой пропорции, так что отношение ΔL/ΔC остается постоянным. Итак, если мы возьмем предел уравнения. (22.28) Когда ΔL и ΔC стремятся к нулю, мы обнаруживаем, что характеристический импеданс z0 представляет собой чистое сопротивление, величина которого равна √(ΔL/ΔC). Мы также можем записать отношение ΔL/ΔC как L0/C0, где L0 и C0 – индуктивность и емкость единицы длины линии; тогда у нас есть ${\sqrt {\frac {L_{0}}{C_{0}}}}$ .

[10] Зобель, 1923, стр. 3-4.

[Matt61-11] Перейти обратно: ^а ^б ^с Мэтью и др., стр.61.

[12] Мэтью и др., стр. 61-62.

[13] Зобель, 1923, стр.3.

[14] Мэтью и др., стр. 96–97, 412–413, 438–440, 727–729.

[15] Мэтью и др., стр. 65-68.

[16] Мэтью и др., стр.68.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]