Вершина (геометрия)

В геометрии вершина вершины ( мн.ч.: , или вершины ) — это точка две или более кривые , линии или ребра где встречаются или пересекаются . Как следствие этого определения, точка, где две линии встречаются, образуя угол , и углы многоугольников и многогранников являются вершинами. ^[1]^[2]^[3]

Определение

Под углом

Вершина луча угла где соединяются или встречаются два отрезка прямой, где две прямые пересекаются ( — это точка, где начинаются или встречаются два , пересекаются), или любая подходящая комбинация лучей, отрезков и линий, в результате которой образуются две прямые «стороны». встреча в одном месте. ^[3]^[4]

Из многогранника

Вершина — это угловая точка многоугольника , многогранника или более высокой размерности другого многогранника образованная пересечением ребер , , граней или граней объекта. ^[4]

В многоугольнике вершина называется « выпуклой », если внутренний угол многоугольника (т. е. угол, образованный двумя ребрами в вершине с многоугольником внутри угла) меньше π радиан (180 °, два прямых угла ); в противном случае его называют «вогнутым» или «рефлекторным». ^[5] В более общем смысле, вершина многогранника или многогранника является выпуклой, если пересечение многогранника или многогранника с достаточно маленькой сферой с центром в вершине выпукло, и вогнутой в противном случае.

Вершины многогранника связаны с вершинами графов тем, что 1-скелет многогранника представляет собой граф, вершины которого соответствуют вершинам многогранника, ^[6] и в том, что граф можно рассматривать как одномерный симплициальный комплекс, вершины которого являются вершинами графа.

Однако в теории графов вершины могут иметь менее двух инцидентных ребер, что обычно не допускается для геометрических вершин. Существует также связь между геометрическими вершинами и вершинами кривой , ее точками крайней кривизны: в некотором смысле вершины многоугольника являются точками бесконечной кривизны, и если многоугольник аппроксимировать гладкой кривой, возникнет точка крайней кривизны возле каждой вершины многоугольника. ^[7]

Плоской плитки

Вершина плоской мозаики или мозаики — это точка, где встречаются три или более плитки; ^[8] Обычно, но не всегда, плитки тесселяции представляют собой многоугольники, а вершины тесселяции также являются вершинами ее плиток. В более общем смысле, тесселяцию можно рассматривать как своего рода топологический комплекс ячеек , как и грани многогранника или многогранника; вершины других типов комплексов, таких как симплициальные комплексы, являются его нульмерными гранями.

Главная вершина

Вершина многоугольника $x i$ простого многоугольника $P$ является вершиной главного многоугольника, если диагональ $[x (i - 1), x (i + 1)]$ пересекает границу $P$ только в точках $x (i - 1)$ и $x (i + 1)$ . Существует два типа главных вершин: уши и рты . ^[9]

Уши

Главная вершина $x i$ простого многоугольника $P$ называется ухом, если диагональ $[x (i - 1), x (i + 1)]$ , соединяющая $x i,$ целиком лежит в $P$ . (см. также выпуклый многоугольник ) Согласно теореме о двух ушках , каждый простой многоугольник имеет как минимум два уха. ^[10]

рты

Главная вершина $x i$ простого многоугольника $P$ называется устьем, если диагональ $[x (i - 1), x (i + 1)]$ лежит вне границы $P$ .

Количество вершин многогранника

Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику.

V-E+F=2,

где $V$ — количество вершин, $E$ — количество ребер , а $F$ — количество граней . Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, количество вершин на 2 больше, чем превышение числа ребер над числом граней. Например, поскольку у куба 12 ребер и 6 граней, из формулы следует, что у него восемь вершин.

Вершины в компьютерной графике

В компьютерной графике объекты часто представляются в виде треугольных многогранников , в которых вершины объекта связаны не только с тремя пространственными координатами, но и с другой графической информацией, необходимой для правильной визуализации объекта, такой как цвета, свойства отражения , текстуры и нормаль поверхности . ^[11] Эти свойства используются при рендеринге вершинным шейдером , являющимся частью вершинного конвейера .

См. также

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Вертекс» . Математический мир .
^ «Вершины, ребра и грани» . www.mathsisfun.com . Проверено 16 августа 2020 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Что такое вершины в математике?» . Наука . Проверено 16 августа 2020 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Элементов Евклида» (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.
(3 тома): ISBN 0-486-60088-2 (т. 1), ISBN 0-486-60089-0 (т. 2), ISBN 0-486-60090-4 (т. 3).
^ Цзин, Ланру; Стефанссон, Уве (2007). Основы методов дискретных элементов в горных породах: теория и приложения . Эльзевир Наука.
^ Питер МакМаллен , Эгон Шульте, Абстрактные регулярные многогранники, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (стр. 29)
^ Бобенко, Александр I; Шредер, Питер; Салливан, Джон М .; Циглер, Гюнтер М. (2008). Дискретная дифференциальная геометрия . Биркхойзер Верлаг АГ. ISBN 978-3-7643-8620-7 .
^ М.В. Ярич, редактор, Введение в математику квазикристаллов (апериодичность и порядок, Том 2) ISBN 0-12-040602-0 , Академик Пресс, 1989.
^ Девадосс, Сатьян ; О'Рурк, Джозеф (2011). Дискретная и вычислительная геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-14553-2 .
^ Мейстерс, GH (1975), «У полигонов есть уши», The American Mathematical Monthly , 82 (6): 648–651, doi : 10.2307/2319703 , JSTOR 2319703 , MR 0367792 .
^ Кристен, Мартин. «Учебные пособия по Clockworkcoders: атрибуты вершин» . Группа компаний «Хронос» . Архивировано из оригинала 12 апреля 2019 года . Проверено 26 января 2009 г.

Внешние ссылки

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Вертекс» . Математический мир .

[2] «Вершины, ребра и грани» . www.mathsisfun.com . Проверено 16 августа 2020 г.

[:0-3] Перейти обратно: ^а ^б «Что такое вершины в математике?» . Наука . Проверено 16 августа 2020 г.

[Euclid-4] Перейти обратно: ^а ^б Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Элементов Евклида» (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.
(3 тома): ISBN 0-486-60088-2 (т. 1), ISBN 0-486-60089-0 (т. 2), ISBN 0-486-60090-4 (т. 3).

[5] Цзин, Ланру; Стефанссон, Уве (2007). Основы методов дискретных элементов в горных породах: теория и приложения . Эльзевир Наука.

[6] Питер МакМаллен , Эгон Шульте, Абстрактные регулярные многогранники, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (стр. 29)

[7] Бобенко, Александр I; Шредер, Питер; Салливан, Джон М .; Циглер, Гюнтер М. (2008). Дискретная дифференциальная геометрия . Биркхойзер Верлаг АГ. ISBN 978-3-7643-8620-7 .

[8] М.В. Ярич, редактор, Введение в математику квазикристаллов (апериодичность и порядок, Том 2) ISBN 0-12-040602-0 , Академик Пресс, 1989.

[9] Девадосс, Сатьян ; О'Рурк, Джозеф (2011). Дискретная и вычислительная геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-14553-2 .

[10] Мейстерс, GH (1975), «У полигонов есть уши», The American Mathematical Monthly , 82 (6): 648–651, doi : 10.2307/2319703 , JSTOR 2319703 , MR 0367792 .

[opengl-11] Кристен, Мартин. «Учебные пособия по Clockworkcoders: атрибуты вершин» . Группа компаний «Хронос» . Архивировано из оригинала 12 апреля 2019 года . Проверено 26 января 2009 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]