Полиномиальный хаос

Полиномиальный хаос (PC) , также называемый расширением полиномиального хаоса ( PCE ) и расширением Винера хаоса , представляет собой метод представления через случайной величины полиномиальную функцию других случайных величин. Полиномы выбираются ортогональными относительно совместного распределения вероятностей этих случайных величин. Обратите внимание: несмотря на свое название, PCE не имеет непосредственной связи с теорией хаоса . Слово «хаос» здесь следует понимать как «случайный».

PCE был впервые введен в 1938 году Норбертом Винером с использованием полиномов Эрмита для моделирования случайных процессов с гауссовыми случайными величинами. Он был представлен физико-инженерному сообществу Р. Ганемом и П.Д. Спаносом в 1991 году. и обобщен на другие семейства ортогональных полиномов Д. Сю и Г. Е. Карниадакисом в 2002 году. Математически строгие доказательства существования и сходимости обобщенных PCE были даны О.Г. Эрнстом и его сотрудниками в 2011 году.

PCE нашел широкое применение в технике и прикладных науках, поскольку позволяет иметь дело с вероятностной неопределенностью параметров системы. В частности, PCE использовался в качестве суррогатной модели для облегчения количественного анализа неопределенности . PCE также широко используется в стохастическом анализе методом конечных элементов. и определить эволюцию неопределенности в динамической системе при наличии вероятностной неопределенности в параметрах системы.

Основные принципы

Расширение полиномиального хаоса (PCE) позволяет представить случайную величину. $Y$ с конечной дисперсией (т.е. $\operatorname {Var} (Y)<\infty$) как функция $M$-мерный случайный вектор $\mathbf {X}$, используя полиномиальный базис, ортогональный относительно распределения этого случайного вектора. Прототип PCE можно записать так:

$Y=\sum _{i\in \mathbb {N} }c_{i}\Psi _{i}(\mathbf {X} ).$

В этом выражении $c_{i}$ является коэффициентом и $\Psi _{i}$ обозначает полиномиальную базисную функцию. В зависимости от распределения $\mathbf {X}$различают разные типы PCE.

Полиномиальный хаос Эрмита

Оригинальная формула PCE, использованная Норбертом Винером. ограничивался случаем, когда $\mathbf {X}$ представляет собой случайный вектор с гауссовским распределением. Рассматривая только одномерный случай (т.е. $M=1$ и $\mathbf {X} =X$), полиномиальная базисная функция, ортогональная относительно гауссовского распределения, представляет собой набор $i$ -й степени Полиномы Эрмита $H_{i}$. PCE $Y$ тогда можно записать как:

$Y=\sum _{i\in \mathbb {N} }c_{i}H_{i}(X)$.

Обобщенный полиномиальный хаос

Сю (в своей докторской диссертации под руководством Карниадакиса в Университете Брауна) обобщил результат Кэмерона-Мартина на различные непрерывные и дискретные распределения, используя ортогональные полиномы из так называемой схемы Аски , и продемонстрировал $L_{2}$ сходимость в соответствующем гильбертовом функциональном пространстве. Это широко известно как структура обобщенного полиномиального хаоса (gPC). Структура gPC применялась к таким приложениям, как стохастическая гидродинамика , стохастические конечные элементы, механика твердого тела , нелинейная оценка, оценка эффектов конечной длины слова в нелинейных цифровых системах с фиксированной запятой и вероятностное устойчивое управление. Было продемонстрировано, что методы на основе gPC превосходят методы на основе Монте-Карло в вычислительном отношении в ряде приложений. Однако метод имеет заметное ограничение. Для большого количества случайных величин полиномиальный хаос становится очень затратным в вычислительном отношении, и методы Монте-Карло обычно более осуществимы.

Произвольный полиномиальный хаос

Недавно расширение хаоса получило обобщение в сторону произвольного полиномиального расширения хаоса (aPC), это так называемое обобщение ПК, управляемое данными. Как и все методы полиномиального расширения хаоса, aPC аппроксимирует зависимость выходных данных имитационной модели от параметров модели путем расширения в ортогональном полиномиальном базисе. APC обобщает методы расширения хаоса на произвольные распределения с произвольными вероятностными мерами, которые могут быть дискретными, непрерывными или дискретизированными непрерывными и могут быть заданы либо аналитически (как плотность вероятности / кумулятивные функции распределения), численно как гистограмма или как наборы необработанных данных. АПК при конечном порядке расширения требует только существования конечного числа моментов и не требует полного знания или даже существования функции плотности вероятности. Это позволяет избежать необходимости назначать параметрические распределения вероятностей, которые недостаточно подтверждаются ограниченными доступными данными. Альтернативно, это позволяет разработчикам моделей свободно выбирать форму своих статистических предположений, исходя из технических ограничений. Исследования показывают, что APC демонстрирует экспоненциальную скорость сходимости и сходится быстрее, чем классические методы полиномиального расширения хаоса. . Тем не менее, эти методы находятся в стадии разработки, но их влияние на модели вычислительной гидродинамики (CFD) весьма впечатляюще.

Полиномиальный хаос и неполная статистическая информация

Во многих практических ситуациях доступны лишь неполные и неточные статистические знания о неопределенных входных параметрах. К счастью, для построения разложения конечного порядка требуется лишь некоторая частичная информация о вероятностной мере, которую можно просто представить конечным числом статистических моментов. Любой порядок расширения оправдан только в том случае, если он сопровождается достоверной статистической информацией о входных данных. Таким образом, неполная статистическая информация ограничивает полезность полиномиальных разложений хаоса высокого порядка.

Полиномиальный хаос и нелинейное предсказание

Полиномиальный хаос можно использовать для предсказания нелинейных функционалов гауссовских обусловленных стационарных процессов приращения, их прошлыми реализациями. В частности, такое предсказание получается путем вывода хаотического разложения функционала относительно специального базиса для гауссовского гильбертова пространства, генерируемого процессом, который обладает тем свойством, что каждый базисный элемент либо измерим, либо независим по отношению к заданным выборкам. Например, этот подход приводит к простой формуле прогнозирования дробного броуновского движения .

Байесовский полиномиальный хаос

В неинтрузивной обстановке оценка коэффициентов расширения $c_{i}$ для заданного набора базисных функций $\Psi _{i}$ можно рассматривать как задачу байесовской регрессии путем построения суррогатной модели . Этот подход имеет преимущества в том, что доступны аналитические выражения для подтверждения данных (в смысле байесовского вывода ), а также неопределенности коэффициентов расширения. Затем полученные данные можно использовать в качестве меры для выбора членов расширения и сокращения ряда (см. также Сравнение байесовских моделей ). Неопределенность коэффициентов расширения может быть использована для оценки качества и надежности PCE, а также влияния этой оценки на фактическое количество, представляющее интерес. $Y$.

Позволять $D=\{\mathbf {X} ^{(j)},Y^{(j)}\}$ быть набором $j=1,...,N_{s}$ пары данных ввода-вывода, которые используются для оценки коэффициентов расширения $c_{i}$. Позволять $M$ быть матрицей данных с элементами $[M]_{ij}=\Psi _{i}(\mathbf {X} ^{(j)})$, позволять ${\vec {Y}}=(Y^{(1)},...,Y^{(j)},...,Y^{(N_{s})})^{T}$ быть набором $N_{s}$ выходные данные записаны в векторной форме, и пусть ${\vec {c}}=(c_{1},...,c_{i},...,c_{N_{p}})^{T}$ набор коэффициентов разложения в векторной форме. В предположении, что неопределенность PCE имеет гауссовский тип с неизвестной дисперсией и масштабно-инвариантным априорным значением , математическое ожидание $\langle \cdot \rangle$ для коэффициентов расширения

$\langle {\vec {c}}\rangle =(M^{T}\;M)^{-1}\;M^{T}\;{\vec {Y}}$

С $H=(M^{T}M)^{-1}$, то ковариация коэффициентов равна

${\text{Cov}}(c_{m},c_{n})={\frac {\chi _{\text{min}}^{2}}{N_{s}-N_{p}-2}}H_{m,n}$

где $\chi _{\text{min}}^{2}={\vec {Y}}^{T}(\mathrm {I} -M\;H^{-1}M^{T})\;{\vec {Y}}$минимальное несоответствие и $\mathrm {I}$ является единичной матрицей. Неопределенность оценки коэффициента $n$ затем дается ${\text{Var}}(c_{m})={\text{Cov}}(c_{m},c_{m})$Таким образом, неопределенность оценки коэффициентов разложения может быть получена с помощью простых векторно-матричных умножений. Для заданной входной функции плотности вероятности $p(\mathbf {X} )$, было показано, что второй момент для интересующей величины просто равен

$\langle Y^{2}\rangle =\underbrace {\sum _{m,m'}\int \Psi _{m}(\mathbf {X} )\Psi _{m'}(\mathbf {X} )\langle c_{m}\rangle \langle c_{m'}\rangle p(\mathbf {X} )\;dV_{\mathbf {X} }} _{=I_{1}}+\underbrace {\sum _{m,m'}\int \Psi _{m}(\mathbf {X} )\Psi _{m'}(\mathbf {X} )\;{\text{Cov}}(c_{m},c_{m'})\;p(\mathbf {X} )\;dV_{\mathbf {X} }} _{=I_{2}}$

Это уравнение суммирует приведенные выше умножения матрицы на вектор плюс маргинализацию по отношению к $\mathbf {X}$. Первый срок $I_{1}$ определяет первичную неопределенность интересующей величины $Y$, полученное на основе PCE, используемого в качестве суррогата. Второй срок $I_{2}$ представляет собой дополнительную неопределенность вывода (часто смешанного алеаторико-эпистемического типа) в интересующей величине. $Y$ это связано с конечной неопределенностью PCE. Если имеется достаточно данных с точки зрения качества и количества, можно показать, что ${\text{Var}}(c_{m})$ становится пренебрежимо малым и становится малым Об этом можно судить, просто построив отношения двух слагаемых, например ${\frac {I_{1}}{I_{1}+I_{2}}}$.Этот коэффициент количественно определяет величину собственной неопределенности PCE в общей неопределенности и находится в интервале $[0,1]$. Например, если ${\frac {I_{1}}{I_{1}+I_{2}}}\approx 0.5$, то половина неопределенности связана с самим PCE, и можно предпринять действия по улучшению PCE или собрать больше данных. Если ${\frac {I_{1}}{I_{1}+I_{2}}}\approx 1$, то неопределенность PCE невелика и PCE можно считать заслуживающим доверия.

При выборе суррогатной байесовской модели вероятность конкретной суррогатной модели, т. е. определенного набора $S$ коэффициентов расширения $c_{i}$ и базовые функции $\Psi _{i}$ , подтверждается данными $Z_{S}$,

$Z_{S}=\Omega _{N_{p}}\mid H\mid ^{-1/2}(\chi _{\text{min}}^{2})^{-{\frac {N_{s}-N_{p}}{2}}}{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {N_{p}}{2}}{\big )}\Gamma {\big (}{\frac {N_{s}-N_{p}}{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {N_{s}}{2}}{\big )}}}$

где $\Gamma$ – гамма-функция , $\mid H\mid$ является определяющим фактором $H$, $N_{s}$ количество данных, а $\Omega _{N_{p}}$телесный угол в $N_{p}$размеры, где $N_{p}$количество терминов в PCE.

Аналогичные выводы можно перенести и на расчет индексов чувствительности на основе PCE . Аналогичные результаты можно получить и для кригинга .

См. также

• Ортогональные полиномы
• Суррогатная модель
• Анализ чувствительности на основе отклонений
• Теорема Карунена – Лёва
• Гильбертово пространство
• Правильное ортогональное разложение
• Байесовская регрессия
• Сравнение байесовских моделей