Линия поля

Линия поля — это графическое наглядное средство визуализации векторных полей . Он состоит из воображаемой интегральной кривой вектора , касающейся в поля каждой точке по своей длине. ^[1]^[2] Диаграмма, показывающая репрезентативный набор соседних силовых линий, является распространенным способом изображения векторного поля в научной и математической литературе; это называется диаграммой линий поля . Они используются для отображения электрических полей , магнитных полей и гравитационных полей , а также многих других типов. В механике жидкости силовые линии, показывающие скоростей поле потока жидкости, называются линиями тока .

Определение и описание

На рисунке слева показаны линии электрического поля двух изолированных равных положительных зарядов. На рисунке справа показаны линии электрического поля двух изолированных равных зарядов противоположного знака.

Векторное поле определяет направление и величину в каждой точке пространства. Линия поля представляет собой интегральную кривую для этого векторного поля и может быть построена, начиная с точки и прослеживая линию в пространстве, которая следует направлению векторного поля, делая линию поля касательной к вектору поля в каждой точке. ^[3]^[2]^[1] Линия поля обычно изображается в виде направленного сегмента линии со стрелкой, указывающей направление векторного поля. Для двумерных полей силовые линии представляют собой плоские кривые; поскольку плоский рисунок трехмерного набора линий поля может сбить с толку визуально, большинство диаграмм линий поля относятся к этому типу. Поскольку в каждой точке, где оно ненулевое и конечное, векторное поле имеет уникальное направление, линии поля никогда не могут пересекаться, поэтому через каждую точку, в которой векторное поле ненулевое и конечное, проходит ровно одна силовая линия. ^[3]^[2] Точки, в которых поле равно нулю или бесконечно, не проходят через силовые линии, поскольку там невозможно определить направление, но они могут быть конечными точками силовых линий.

Поскольку в любой области существует бесконечное количество точек, можно нарисовать бесконечное количество силовых линий; но на диаграмме линий поля можно отобразить только ограниченное их количество. Следовательно, то, какие линии поля показаны, зависит от выбора человека или компьютерной программы, рисующей диаграмму, и одно векторное поле может быть изображено различными наборами линий поля. Диаграмма линий поля обязательно является неполным описанием векторного поля, поскольку она не дает никакой информации о поле между нарисованными линиями поля, а выбор того, сколько и какие линии отображать, определяет, сколько полезной информации дает диаграмма.

Отдельная линия поля показывает направление векторного поля, но не его величину . Чтобы также отобразить величину поля, часто рисуют диаграммы линий поля так, чтобы каждая линия представляла одну и ту же величину потока . Тогда плотность силовых линий (количество силовых линий на единицу перпендикулярной площади) в любом месте пропорциональна величине векторного поля в этой точке. Области, в которых соседние линии поля сходятся (сближаются), указывают на то, что поле становится сильнее в этом направлении.

В векторных полях, которые имеют ненулевую дивергенцию , линии поля начинаются в точках положительной дивергенции ( источники ) и заканчиваются в точках отрицательной дивергенции ( стоки ) или простираются до бесконечности. Например, линии электрического поля начинаются на положительных электрических зарядах и заканчиваются отрицательными зарядами. В бездивергентных ( соленоидальных ) полях, таких как магнитные поля , силовые линии не имеют конечных точек; они либо представляют собой замкнутые циклы, либо бесконечны. ^[4]^[5]

В физике изображения силовых линий в основном полезны в тех случаях, когда источники и стоки, если таковые имеются, имеют физический смысл, в отличие, например, от случая силового поля радиальной гармоники . Например, закон Гаусса гласит, что электрическое поле имеет источники при положительных зарядах , токи при отрицательных зарядах и нигде больше, поэтому линии электрического поля начинаются у положительных зарядов и заканчиваются у отрицательных зарядов. Гравитационное поле не имеет источников, оно имеет стоки в массах и не имеет ни в каком другом месте, силовые линии гравитационного поля приходят из бесконечности и заканчиваются в массах. Магнитное поле не имеет источников и стоков ( закон Гаусса для магнетизма ), поэтому его силовые линии не имеют начала и конца: они могут лишь образовывать замкнутые петли, простираться до бесконечности в обоих направлениях или продолжаться бесконечно, никогда не пересекаясь. Однако, как указано выше, особая ситуация может возникнуть вокруг точек, где поле равно нулю (которые не могут пересекаться силовыми линиями, поскольку их направление не будет определено) и происходит одновременное начало и конец силовых линий. Такая ситуация возникает, например, посередине между двумя одинаковыми положительными электрическими точечными зарядами. Здесь поле исчезает и линии, идущие аксиально от зарядов, заканчиваются. В то же время в поперечной плоскости, проходящей через среднюю точку, бесконечное число силовых линий расходится радиально. Одновременное наличие заканчивающихся и начинающихся линий сохраняет бездивергентный характер поля в точке. ^[5]

Обратите внимание, что для такого типа чертежей, где плотность силовых линий должна быть пропорциональна величине поля, важно представить все три измерения. Например, рассмотрим электрическое поле, возникающее из-за одного изолированного точечного заряда . Силовые линии электрического поля в данном случае представляют собой прямые линии, исходящие от заряда равномерно во всех направлениях в трехмерном пространстве. Это означает, что их плотность пропорциональна $1/r^{2}$ , правильный результат соответствует закону Кулона для этого случая. Однако если бы линии электрического поля для этой установки были просто нарисованы на двумерной плоскости, их двумерная плотность была бы пропорциональна $1/r$ , неправильный результат для этой ситуации. ^[6]

Строительство

Учитывая векторное поле $\mathbf {F} (\mathbf {x} )$ и отправная точка $\mathbf {x} _{\text{0}}$ линия поля может быть построена итеративно, найдя вектор поля в этой точке $\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})$ . Единичный касательный вектор в этой точке: $\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})/|\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})|$ . Передвигаясь на небольшое расстояние $ds$ вдоль направления поля можно найти новую точку на линии $\mathbf {x} _{\text{1}}=\mathbf {x} _{\text{0}}+{\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}}) \over |\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})|}ds$ Тогда поле в этой точке $\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{1}})$ найден и перемещается на большее расстояние $ds$ в этом направлении следующая точка $\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{2}})$ линии поля находится. В каждой точке $\mathbf {x} _{\text{i}}$ следующую точку можно найти с помощью $\mathbf {x} _{\text{i+1}}=\mathbf {x} _{\text{i}}+{\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{i}}) \over |\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{i}})|}ds$ Повторив это и соединив точки, линию поля можно продлить настолько, насколько это необходимо. Это лишь приближение к фактической линии поля, поскольку каждый прямой сегмент на самом деле не касается поля по своей длине, а только в своей начальной точке. Но используя достаточно маленькое значение для $ds$ , делая большее количество более коротких шагов, линию поля можно аппроксимировать настолько точно, насколько это необходимо. Линию поля можно продолжить в направлении, противоположном от $\mathbf {x} _{\text{0}}$ делая каждый шаг в противоположном направлении, используя отрицательный шаг $-ds$ .

Примеры

Если векторное поле описывает скорости поле , то линии поля следуют линиям тока в потоке. Возможно, наиболее знакомым примером векторного поля, описываемого силовыми линиями, является магнитное поле , которое часто изображается с помощью силовых линий, исходящих от магнита .

Дивергенция и завиток

Линии поля можно использовать для отслеживания знакомых величин из векторного исчисления :

Расхождение можно легко увидеть через силовые линии, если предположить, что линии нарисованы так, что плотность силовых линий пропорциональна величине поля (см. Выше). В этом случае расхождение можно рассматривать как начало и конец силовых линий. Если векторное поле является результирующей радиальных полей закона обратных квадратов относительно одного или нескольких источников, то это соответствует тому факту, что дивергенция такого поля равна нулю вне источников. В соленоидальном векторном поле (т. е. векторном поле, в котором дивергенция всюду равна нулю) силовые линии не начинаются и не заканчиваются; они либо образуют замкнутые петли, либо уходят в бесконечность в обоих направлениях. Если векторное поле имеет положительную дивергенцию в некоторой области, из точек в этой области будут начинаться линии поля. Если векторное поле имеет отрицательную дивергенцию в какой-то области, то линии поля заканчиваются в точках этой области.
Теорема Кельвина-Стокса показывает, что силовые линии векторного поля с нулевым ротором (т. е. консервативного векторного поля , например гравитационного поля или электростатического поля ) не могут быть замкнутыми контурами. Другими словами, завиток присутствует всегда, когда линия поля образует замкнутый контур. Он может присутствовать и в других ситуациях, например, при спиральной форме силовых линий.

Физическое значение

При случайном падении (как в случае с шейкером) железные опилки располагаются так, чтобы приблизительно изображать некоторые линии магнитного поля. Магнитное поле создается постоянным магнитом под поверхностью стекла.

Хотя линии поля представляют собой «просто» математическую конструкцию, в некоторых случаях они приобретают физическое значение. В механике жидкости линии поля скорости ( линии тока ) в установившемся потоке представляют собой пути частиц жидкости. В контексте плазмы физики электроны или ионы , находящиеся на одной силовой линии, сильно взаимодействуют, тогда как частицы на разных силовых линиях вообще не взаимодействуют. Такое же поведение проявляют частицы железных опилок в магнитном поле.

Кажется, что железные опилки на фотографии выравниваются по дискретным силовым линиям, но ситуация более сложная. Это легко представить как двухэтапный процесс: сначала опилки равномерно распределяются по магнитному полю, но все выровнены в направлении поля. Затем, в зависимости от масштаба и ферромагнитных свойств опилок, они ослабляют поле с обеих сторон, создавая кажущиеся промежутки между линиями, которые мы видим. ^{[ нужна ссылка ]} Конечно, две описанные здесь стадии происходят одновременно, пока не будет достигнуто равновесие. Поскольку собственный магнетизм опилок изменяет поле, линии, показанные опилками, являются лишь приближением силовых линий исходного магнитного поля. Магнитные поля непрерывны и не имеют дискретных линий.

См. также

Силовое поле (физика)
Линии поля множеств Джулии
Внешний луч — силовые линии потенциала Дуади – Хаббарда множества Мандельброта или заполненные множества Жюлиа.
Силовая линия
Векторное поле
Линейная интегральная свертка

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Тоу, Стивен (2011). Визуализация областей и приложений в технике . Джон Уайли и сыновья. п. 64. ИСБН 9780470978467 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Даррант, Алан (1996). Векторы в физике и технике . ЦРК Пресс. стр. 129–130. ISBN 9780412627101 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Хаус, Герман А.; Мечиор, Джеймс Р. (1998). «Раздел 2.7: Визуализация полей, расхождения и закручивания» . Электромагнитные поля и энергия . Учебный центр гипермедиа Массачусетского технологического института . Проверено 9 ноября 2019 г.
^ Либерхерр, Мартин (6 июля 2010 г.). «Линии магнитного поля спиральной катушки не являются простыми петлями» . Американский журнал физики . 78 (11): 1117–1119. Бибкод : 2010AmJPh..78.1117L . дои : 10.1119/1.3471233 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Зилберти, Лука (25 апреля 2017 г.). «Заблуждение о замкнутых линиях магнитного потока» . Буквы IEEE Magnetics . 8 : 1–5. дои : 10.1109/LMAG.2017.2698038 . hdl : 11696/56339 . S2CID 39584751 – через Zenodo.
^ А. Вольф, С. Дж. Ван Хук, ER Weeks, Линейные диаграммы электрического поля не работают . Am. J. Phys., Vol. 64, № 6. (1996), стр. 714–724 DOI 10.1119/1.18237.

Дальнейшее чтение

Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.) . Прентис Холл. стр. 65–67 и 232 . ISBN 978-0-13-805326-0 .

Внешние ссылки

Интерактивный Java-апплет, показывающий линии электрического поля выбранных пар зарядов. Архивировано 13 августа 2011 г. в Wayback Machine Вольфгангом Бауэром.
Конспекты курса «Визуализация полей, расхождение и завихрение» из курса Массачусетского технологического института.

[Tou-1] Перейти обратно: ^а ^б Тоу, Стивен (2011). Визуализация областей и приложений в технике . Джон Уайли и сыновья. п. 64. ИСБН 9780470978467 .

[Durrant-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Даррант, Алан (1996). Векторы в физике и технике . ЦРК Пресс. стр. 129–130. ISBN 9780412627101 .

[Haus-3] Перейти обратно: ^а ^б Хаус, Герман А.; Мечиор, Джеймс Р. (1998). «Раздел 2.7: Визуализация полей, расхождения и закручивания» . Электромагнитные поля и энергия . Учебный центр гипермедиа Массачусетского технологического института . Проверено 9 ноября 2019 г.

[lieb-4] Либерхерр, Мартин (6 июля 2010 г.). «Линии магнитного поля спиральной катушки не являются простыми петлями» . Американский журнал физики . 78 (11): 1117–1119. Бибкод : 2010AmJPh..78.1117L . дои : 10.1119/1.3471233 .

[:0-5] Перейти обратно: ^а ^б Зилберти, Лука (25 апреля 2017 г.). «Заблуждение о замкнутых линиях магнитного потока» . Буквы IEEE Magnetics . 8 : 1–5. дои : 10.1109/LMAG.2017.2698038 . hdl : 11696/56339 . S2CID 39584751 – через Zenodo.

[6] А. Вольф, С. Дж. Ван Хук, ER Weeks, Линейные диаграммы электрического поля не работают . Am. J. Phys., Vol. 64, № 6. (1996), стр. 714–724 DOI 10.1119/1.18237.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]