Система дробного порядка

В области динамических систем и теории управления система дробного порядка — это динамическая система, которую можно смоделировать дробным дифференциальным уравнением , содержащим производные нецелого порядка . Говорят, что такие системы обладают дробной динамикой . Производные и интегралы дробных порядков используются для описания объектов, которые могут характеризоваться степенной нелокальностью. степенная дальнодействующая зависимость или фрактальные свойства. Системы дробного порядка полезны при изучении аномального поведения динамических систем в физике, электрохимии , биологии, вязкоупругости и хаотических системах .

Определение

Общую динамическую систему дробного порядка можно записать в виде

$H(D^{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}})(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{l})=G(D^{\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n}})(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k})$

где $H$ и $G$ являются функциями дробной производной оператора $D$ заказов $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}$ и $\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n}$ и $y_{i}$ и $u_{j}$ являются функциями времени. Распространенным частным случаем этого является линейная нестационарная (LTI) система с одной переменной:

$\left(\sum _{k=0}^{m}a_{k}D^{\alpha _{k}}\right)y(t)=\left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}D^{\beta _{k}}\right)u(t)$

Заказы $\alpha _{k}$ и $\beta _{k}$ вообще говоря, это сложные количества, но есть два интересных случая, когда заказы соизмеримы.

$\alpha _{k},\beta _{k}=k\delta ,\quad \delta \in R^{+}$

и когда они также рациональны :

$\alpha _{k},\beta _{k}=k\delta ,\quad \delta ={\frac {1}{q}},q\in Z^{+}$

Когда $q=1$, производные имеют целочисленный порядок и система становится обыкновенным дифференциальным уравнением . Таким образом, за счет увеличения специализации системы LTI могут иметь общий порядок, соизмеримый порядок, рациональный порядок или целочисленный порядок.

Передаточная функция

Применяя преобразование Лапласа к приведенной выше системе LTI, передаточная функция становится

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {\sum _{k=0}^{n}b_{k}s^{\beta _{k}}}{\sum _{k=0}^{m}a_{k}s^{\alpha _{k}}}}$

Для общих заказов $\alpha _{k}$ и $\beta _{k}$ это нерациональная передаточная функция. Нерациональные передаточные функции не могут быть записаны как разложение по конечному числу членов (например, биномиальное разложение будет иметь бесконечное число членов), и в этом смысле можно сказать, что системы дробных порядков обладают потенциалом неограниченной памяти.

изучению систем дробного

Экспоненциальные законы — это классический подход к изучению динамики плотности населения, но существует множество систем, в которых динамика подчиняется более быстрым или медленным законам, чем экспоненциальные. В таком случае аномальные изменения динамики лучше всего могут быть описаны функциями Миттаг-Леффлера .

Аномальная диффузия — еще одна динамическая система, в которой системы дробного порядка играют важную роль для описания аномального потока в процессе диффузии.

Вязкоупругость — это свойство материала, при котором материал проявляет свою природу между чисто упругим и чистой жидкостью. В случае реальных материалов взаимосвязь между напряжением и деформацией, определяемая законом Гука и законом Ньютона, имеет очевидные недостатки. Поэтому GW Скотт Блэр представил новую взаимосвязь между стрессом и напряжением, определяемую формулой

$\sigma (t)=E{D_{t}^{\alpha }}\varepsilon (t),\quad 0<\alpha <1.$

В теории хаоса было замечено, что хаос возникает в динамических системах порядка 3 и более. С введением систем дробного порядка некоторые исследователи изучают хаос в системах с общим порядком менее 3.

В нейробиологии было обнаружено, что одиночные пирамидные нейроны неокортекса крысы адаптируются со временной шкалой, которая зависит от временной шкалы изменений в статистике стимулов. Эта адаптация в нескольких временных масштабах согласуется с дифференциацией дробного порядка, так что скорость срабатывания нейрона является дробной производной медленно меняющихся параметров стимула.

Анализ дробных дифференциальных уравнений

дробного порядка Рассмотрим задачу начального значения :

${_{0}^{C}D_{t}^{\alpha }}x(t)=f(t,x(t)),\quad t\in [0,T],\quad x(0)=x_{0},\quad 0<\alpha <1.$

Существование и уникальность

Здесь при условии непрерывности функции f можно преобразовать приведенное выше уравнение в соответствующее интегральное уравнение.

$x(t)=x_{0}+{_{0}^{C}D_{t}^{-\alpha }}f(t,x(t))=x_{0}+{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f(s,x(s))\,ds}{(t-s)^{1-\alpha }}},$

Можно построить пространство решений и определить с помощью этого уравнения непрерывное собственное отображение в пространстве решений, а затем применить теорему о фиксированной точке , чтобы получить фиксированную точку , которая является решением приведенного выше уравнения.

Численное моделирование

Для численного моделирования решения приведенных выше уравнений Кай Дитхельм предложил дробный линейный многошаговый метод Адамса – Башфорта или квадратурные методы .

См. также

• Акустическое затухание
• Дифференциальный
• Дробное исчисление
• Дробный контроль порядка
• Интегратор дробного порядка
• Дробное уравнение Шредингера
• Дробная квантовая механика

Дальнейшее чтение

• Уэст, Брюс; Болонья, Мауро; Григолини, Паоло (2003). «3. Дробная динамика» . Физика фрактальных операторов . Спрингер. стр. 77–120. ISBN  978-0-387-95554-4 .
• Заславский, Джордж М. (23 декабря 2004 г.). Гамильтонов хаос и дробная динамика . ОУП Оксфорд. ISBN  978-0-19-852604-9 .
• Лакшмикантам, В.; Лила, С.; Деви, Дж. Васундхара (2009). Теория дробных динамических систем . Кембриджский научный.
• Тарасов, В.Е. (2010). Дробная динамика: приложения дробного исчисления к динамике частиц, полей и сред . Спрингер. ISBN  978-3-642-14003-7 .
• Капонетто, Р.; Донгола, Г.; Фортуна, Л.; Пятрас, И. (2010). Системы дробного порядка: приложения для моделирования и управления . Всемирная научная. Бибкод : 2010fosm.book.....C . Архивировано из оригинала 25 марта 2012 г. Проверено 17 октября 2016 г.
• Клафтер, Дж.; Лим, Южная Каролина; Мецлер Р., ред. (2011). Дробная динамика. Последние достижения . Всемирная научная. дои : 10.1142/8087 . ISBN  978-981-4340-58-8 .

• Ли, Чанпин; Ву, Юйцзян; Йе, Руисонг, ред. (2013). Последние достижения в области прикладной нелинейной динамики с численным анализом: дробная динамика, сетевая динамика, классическая динамика и фрактальная динамика с их численным моделированием . Междисциплинарные математические науки. Том. 15. Всемирная научная. дои : 10.1142/8637 . ISBN  978-981-4436-45-8 .
• Игорь Подлубный (27 октября 1998 г.). Дробные дифференциальные уравнения: введение в дробные производные, дробные дифференциальные уравнения, методы их решения и некоторые их приложения . Эльзевир. ISBN  978-0-08-053198-4 .
• Миллер, Кеннет С. (1993). Росс, Бертрам (ред.). Введение в дробное исчисление и дробные дифференциальные уравнения . Уайли. ISBN  0-471-58884-9 .
• Олдхэм, Кейт Б.; Спаниер, Джером (1974). Дробное исчисление; Теория и приложения дифференциации и интеграции в произвольном порядке . Математика в науке и технике. Том. В. Академическая пресса. ISBN  0-12-525550-0 .

Внешние ссылки

• Применение дробного исчисления в автоматическом управлении и робототехнике Учебное пособие по дробному исчислению, системам дробного порядка и теории управления дробного порядка.