Вложение Сегре

В математике используется вложение Сегре в проективной геометрии для рассмотрения декартова произведения (множеств) двух проективных пространств как проективного многообразия . Он назван в честь Коррадо Сегре .

Определение

Карту Сегре можно определить как карту

$\sigma :P^{n}\times P^{m}\to P^{(n+1)(m+1)-1}\$

забираю пару очков $([X],[Y])\in P^{n}\times P^{m}$ к их продукту

$\sigma :([X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}],[Y_{0}:Y_{1}:\cdots :Y_{m}])\mapsto [X_{0}Y_{0}:X_{0}Y_{1}:\cdots :X_{i}Y_{j}:\cdots :X_{n}Y_{m}]\$

( X _i Y _j взяты в лексикографическом порядке ).

Здесь, $P^{n}$ и $P^{m}$ — проективные векторные пространства над некоторым произвольным полем , а обозначения

$[X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}]\$

это однородные координаты в пространстве. Изображение карты — это многообразие, называемое многообразием Сегре . Иногда это пишут как $\Sigma _{n,m}$.

Обсуждение

На языке линейной алгебры для заданных векторных пространств U и V над одним и тем же полем K существует естественный способ отобразить их декартово произведение в их тензорное произведение .

$\varphi :U\times V\to U\otimes V.\$

В общем, это не обязательно должно быть инъективным , потому что для $u\in U$, $v\in V$ и любой ненулевой $c\in K$,

$\varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{-1}v=\varphi (cu,c^{-1}v).\$

Учитывая основные проективные пространства P ( U ) и P ( V ), это отображение становится морфизмом многообразий

$\sigma :P(U)\times P(V)\to P(U\otimes V).\$

Это не только инъективно в теоретико-множественном смысле: это замкнутое погружение в смысле алгебраической геометрии . То есть можно дать набор уравнений изображения. За исключением проблем с обозначениями, легко сказать, что представляют собой такие уравнения: они выражают два способа факторизации произведений координат из тензорного произведения, полученного двумя разными способами как нечто из U, умноженное на что-то из V .

Это отображение или морфизм σ является вложением Сегре . Подсчитав размерности, он показывает, как произведение проективных пространств размерностей m и n вкладывается в размерность.

$(m+1)(n+1)-1=mn+m+n.\$

Классическая терминология называет координаты произведения мультиоднородным , а произведение обобщенным на k факторов k-сторонним проективным пространством .

Характеристики

Сорт Сегре является примером детерминантного сорта ; это нулевой локус миноров матрицы 2 × 2. $(Z_{i,j})$. То есть многообразие Сегре является общим нулём квадратичных многочленов.

$Z_{i,j}Z_{k,l}-Z_{i,l}Z_{k,j}.\$

Здесь, $Z_{i,j}$ Под ним понимается естественная координата на изображении карты Сегре.

Сорт Сегре $\Sigma _{n,m}$ является категориальным произведением $P^{n}\$ и $P^{m}$. Проекция

$\pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\$

первому фактору можно задать с помощью m+1 отображений на открытых подмножествах, охватывающих многообразие Сегре, которые согласуются на пересечениях подмножеств. Для фиксированного $j_{0}$, карта предоставляется отправкой $[Z_{i,j}]$ к $[Z_{i,j_{0}}]$. Уравнения $Z_{i,j}Z_{k,l}=Z_{i,l}Z_{k,j}\$ убедиться, что эти карты согласуются друг с другом, потому что если $Z_{i_{0},j_{0}}\neq 0$ у нас есть $[Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{0}}Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{1}}Z_{i,j_{0}}]=[Z_{i,j_{0}}]$.

Слоями произведения являются линейные подпространства. То есть пусть

$\pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\$

быть проекцией на первый фактор; и аналогично $\pi _{Y}$ для второго фактора. Тогда изображение карты

$\sigma (\pi _{X}(\cdot ),\pi _{Y}(p)):\Sigma _{n,m}\to P^{(n+1)(m+1)-1}\$

для фиксированной точки p — линейное подпространство кодомена .

Примеры

Квадрик

Например, при m = n = 1 мы получаем вложение произведения проективной прямой на самого себя в P ³ . Изображение представляет собой квадрику и, как легко видеть, содержит два однопараметрических семейства линий. Над комплексными числами это вполне общая неособая квадрика. Сдача в аренду

$[Z_{0}:Z_{1}:Z_{2}:Z_{3}]\$

— однородные координаты на P ³ , эта квадрика задается как нулевое место квадратичного многочлена, заданного определителем

$\det \left({\begin{matrix}Z_{0}&Z_{1}\\Z_{2}&Z_{3}\end{matrix}}\right)=Z_{0}Z_{3}-Z_{1}Z_{2}.\$

Сегре тройной

Карта

$\sigma :P^{2}\times P^{1}\to P^{5}$

известно как тройка Сегре . Это пример рационального обычного прокрутки . Пересечение тройки Сегре и трехплоскости. $P^{3}$ представляет собой скрученную кубическую кривую .

Веронский сорт

Изображение диагонали $\Delta \subset P^{n}\times P^{n}$ под отображением Сегре — многообразие Веронезе второй степени

$\nu _{2}:P^{n}\to P^{n^{2}+2n}.\$

Приложения

Поскольку отображение Сегре представляет собой категориальное произведение проективных пространств, оно является естественным отображением для описания незапутанных состояний в квантовой механике и квантовой теории информации . Точнее, карта Сегре описывает, как брать произведения проективных гильбертовых пространств .

В алгебраической статистике многообразия Сегре соответствуют моделям независимости.

Вложение Сегре P ² × P ² в П ⁸ — единственное многообразие Севери размерности 4.

Ссылки

• Харрис, Джо (1995), Алгебраическая геометрия: первый курс , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-97716-4
• Хассетт, Брендан (2007), Введение в алгебраическую геометрию , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 154, номер домена : 10.1017/CBO9780511755224 , ISBN  978-0-521-69141-3 , МР   2324354