Алгебраическая статистика

Алгебраическая статистика — это использование алгебры для развития статистики . Алгебра была полезна для планирования экспериментов , оценки параметров и проверки гипотез .

Традиционно алгебраическая статистика ассоциировалась с планированием экспериментов и многомерным анализом (особенно временными рядами ). В последние годы термин «алгебраическая статистика» иногда ограничивался, а иногда использовался для обозначения использования алгебраической геометрии и коммутативной алгебры в статистике.

Традиция алгебраической статистики [ править ]

В прошлом статистики использовали алгебру для продвижения исследований в области статистики. Некоторая алгебраическая статистика привела к развитию новых тем в алгебре и комбинаторике, таких как схемы ассоциации .

План экспериментов [ править ]

Например, Рональд А. Фишер , Генри Б. Манн и Розмари А. Бэйли применяли абелевы группы для планирования экспериментов . Экспериментальные планы также изучались с использованием аффинной геометрии над конечными полями , а затем с введением схем ассоциации Р. К. Бозе . Ортогональные массивы были введены Ч.Р. Рао также для экспериментальных проектов.

Алгебраический анализ и абстрактные выводы статистические

^{[ соответствующий? ]}

Инвариантные меры на локально компактных группах уже давно используются в статистической теории , особенно в многомерном анализе . и Берлинга Теорема о факторизации большая часть работ по (абстрактному) гармоническому анализу были направлены на лучшее понимание Уолда разложения стационарных случайных процессов , что важно в статистике временных рядов .

Опираясь на предыдущие результаты по теории вероятностей алгебраических структур, Ульф Гренандер разработал теорию «абстрактного вывода». Абстрактные выводы Гренандера и его теория закономерностей полезны для пространственной статистики и анализа изображений ; эти теории опираются на теорию решетки .

Частично упорядоченные множества и решетки [ править ]

Частично упорядоченные векторные пространства и векторные решетки используются во всей статистической теории. Гаррет Биркгоф метризовал положительный конус, используя проективную метрику Гильберта , и доказал теорему Йентча, используя о сжимающемся отображении теорему . ^[1] Результаты Биркгофа использовались максимальной энтропии и его коллегами для оценки (которую можно рассматривать как линейное программирование в бесконечных измерениях ) Джонатаном Борвейном .

Векторные решетки и конические меры были введены в статистическую теорию принятия решений Люсьеном Ле Камом .

алгебры и Недавние работы с использованием коммутативной алгебраической геометрии

В последние годы термин «алгебраическая статистика» использовался более ограничительно, чтобы обозначить использование алгебраической геометрии и коммутативной алгебры для изучения проблем, связанных с дискретными случайными величинами с конечными пространствами состояний. Коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия имеют приложения в статистике, поскольку многие часто используемые классы дискретных случайных величин можно рассматривать как алгебраические многообразия .

Вводный пример [ править ]

Рассмотрим случайную величину X , которая может принимать значения 0, 1, 2. Такая переменная полностью характеризуется тремя вероятностями

p_{i}=\mathrm {Pr} (X=i),\quad i=0,1,2

и эти цифры удовлетворяют

\sum _{i=0}^{2}p_{i}=1\quad {\mbox{and}}\quad 0\leq p_{i}\leq 1.

И наоборот, любые три таких числа однозначно определяют случайную величину, поэтому мы можем отождествить случайную величину X с кортежем ( p ₀ , p ₁ , p ₂ )ε R ³.

Теперь предположим, что X — биномиальная случайная величина с параметром q и n = 2 , т.е. X представляет собой количество успехов при повторении определенного эксперимента два раза, где каждый эксперимент имеет индивидуальную вероятность успеха q . Затем

p_{i}=\mathrm {Pr} (X=i)={2 \choose i}q^{i}(1-q)^{2-i}

и нетрудно показать, что кортежи ( , _p0 p1 , _, p2 ) _{удовлетворяют} возникающие таким образом, являются именно теми, которые

4p_{0}p_{2}-p_{1}^{2}=0.\

Последнее представляет собой полиномиальное уравнение, определяющее алгебраическое многообразие (или поверхность) в R ³, и это многообразие при пересечении с симплексом , заданным формулой

\sum _{i=0}^{2}p_{i}=1\quad {\mbox{and}}\quad 0\leq p_{i}\leq 1,

дает часть алгебраической кривой , которую можно отождествить с набором всех переменных Бернулли с тремя состояниями. Определение параметра q сводится к нахождению одной точки на этой кривой; Проверка гипотезы о том, что данная переменная X является бернуллиевской, означает проверку того, лежит ли определенная точка на этой кривой или нет.

алгебраической геометрии к статистической теории Применение обучения

Алгебраическая геометрия также недавно нашла применение в статистической теории обучения , включая обобщение информационного критерия Акаике на сингулярные статистические модели . ^[2]

Ссылки [ править ]

↑
Пробел в Гаррета Биркгоффа первоначальном доказательстве был заполнен Александром Островским .
- Гаррет Биркгоф , 1967. Теория решеток , 3-е изд. Том. 25 публикаций коллоквиума AMS. Американское математическое общество .
^ Ватанабэ, Сумио. «Почему алгебраическая геометрия?» .

Р.А. Бэйли . Схемы ассоциации: спланированные эксперименты, алгебра и комбинаторика , издательство Кембриджского университета , Кембридж, 2004. 387 стр. ISBN 0-521-82446-X . (Главы из предварительного проекта доступны в Интернете)
Калинский, Тадеуш; Кагеяма, Санпей (2003). Блочные конструкции: подход к рандомизации, Том II : Проектирование . Конспект лекций по статистике. Том. 170. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95470-8 .
Хинкельманн, Клаус; Кемпторн, Оскар (2005). Планирование и анализ экспериментов, Том 2: Расширенный план экспериментов (Первое изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-55177-5 .
ХБ Манн . 1949. Анализ и планирование экспериментов: дисперсионный анализ и планы дисперсионного анализа . Дувр.
Рагхаварао, Дамараджу (1988). Конструкции и комбинаторные проблемы планирования экспериментов (исправленное переиздание издания Wiley 1971 года). Нью-Йорк: Дувр.
Рагхаварао, Дамараджу ; Пэджетт, Л.В. (2005). Блочные конструкции: анализ, комбинаторика и приложения . Всемирная научная.
Стрит, Энн Пенфолд ; Стрит, Дебора Дж. (1987). Комбинаторика планирования эксперимента . Оксфорд, UP [Кларендон]. ISBN 0-19-853256-3 .
Л. Пачтер и Б. Штурмфельс . Алгебраическая статистика для вычислительной биологии. Издательство Кембриджского университета, 2005.
Дж. Пистоне, Э. Риккоманго, Х. П. Винн. Алгебраическая статистика. ЦРК Пресс, 2001.
Дртон, Матиас, Штурмфельс, Бернд , Салливант, Сет. Лекции по алгебраической статистике , Springer 2009.
Ватанабэ, Сумио . Алгебраическая геометрия и статистическая теория обучения , Издательство Кембриджского университета, 2009.
Паоло Джилиско, Ева Риккоманьо, Мария-Пьера Рогантен, Генри П. Винн . Алгебраические и геометрические методы в статистике , Кембридж, 2009.

Внешние ссылки [ править ]