Jump to content

Алгебраическая статистика

Алгебраическая статистика — это использование алгебры для развития статистики . Алгебра была полезна для планирования экспериментов , оценки параметров и проверки гипотез .

Традиционно алгебраическая статистика ассоциировалась с планированием экспериментов и многомерным анализом (особенно временными рядами ). В последние годы термин «алгебраическая статистика» иногда ограничивался, а иногда использовался для обозначения использования алгебраической геометрии и коммутативной алгебры в статистике.

Традиция алгебраической статистики [ править ]

В прошлом статистики использовали алгебру для продвижения исследований в области статистики. Некоторая алгебраическая статистика привела к развитию новых тем в алгебре и комбинаторике, таких как схемы ассоциации .

План экспериментов [ править ]

Например, Рональд А. Фишер , Генри Б. Манн и Розмари А. Бэйли применяли абелевы группы для планирования экспериментов . Экспериментальные планы также изучались с использованием аффинной геометрии над конечными полями , а затем с введением схем ассоциации Р. К. Бозе . Ортогональные массивы были введены Ч.Р. Рао также для экспериментальных проектов.

Алгебраический анализ и абстрактные выводы статистические

[ соответствующий? ]

Инвариантные меры на локально компактных группах уже давно используются в статистической теории , особенно в многомерном анализе . и Берлинга Теорема о факторизации большая часть работ по (абстрактному) гармоническому анализу были направлены на лучшее понимание Уолда разложения стационарных случайных процессов , что важно в статистике временных рядов .

Опираясь на предыдущие результаты по теории вероятностей алгебраических структур, Ульф Гренандер разработал теорию «абстрактного вывода». Абстрактные выводы Гренандера и его теория закономерностей полезны для пространственной статистики и анализа изображений ; эти теории опираются на теорию решетки .

Частично упорядоченные множества и решетки [ править ]

Частично упорядоченные векторные пространства и векторные решетки используются во всей статистической теории. Гаррет Биркгоф метризовал положительный конус, используя проективную метрику Гильберта , и доказал теорему Йентча, используя о сжимающемся отображении теорему . [1] Результаты Биркгофа использовались максимальной энтропии и его коллегами для оценки (которую можно рассматривать как линейное программирование в бесконечных измерениях ) Джонатаном Борвейном .

Векторные решетки и конические меры были введены в статистическую теорию принятия решений Люсьеном Ле Камом .

алгебры и Недавние работы с использованием коммутативной алгебраической геометрии

В последние годы термин «алгебраическая статистика» использовался более ограничительно, чтобы обозначить использование алгебраической геометрии и коммутативной алгебры для изучения проблем, связанных с дискретными случайными величинами с конечными пространствами состояний. Коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия имеют приложения в статистике, поскольку многие часто используемые классы дискретных случайных величин можно рассматривать как алгебраические многообразия .

Вводный пример [ править ]

Рассмотрим случайную величину X , которая может принимать значения 0, 1, 2. Такая переменная полностью характеризуется тремя вероятностями

и эти цифры удовлетворяют

И наоборот, любые три таких числа однозначно определяют случайную величину, поэтому мы можем отождествить случайную величину X с кортежем ( p 0 , p 1 , p 2 R 3 .

Теперь предположим, что X биномиальная случайная величина с параметром q и n = 2 , т.е. X представляет собой количество успехов при повторении определенного эксперимента два раза, где каждый эксперимент имеет индивидуальную вероятность успеха q . Затем

и нетрудно показать, что кортежи ( , p0 p1 , , p2 ) удовлетворяют возникающие таким образом, являются именно теми, которые

Последнее представляет собой полиномиальное уравнение, определяющее алгебраическое многообразие (или поверхность) в R 3 , и это многообразие при пересечении с симплексом , заданным формулой

дает часть алгебраической кривой , которую можно отождествить с набором всех переменных Бернулли с тремя состояниями. Определение параметра q сводится к нахождению одной точки на этой кривой; Проверка гипотезы о том, что данная переменная X является бернуллиевской, означает проверку того, лежит ли определенная точка на этой кривой или нет.

алгебраической геометрии к статистической теории Применение обучения

Алгебраическая геометрия также недавно нашла применение в статистической теории обучения , включая обобщение информационного критерия Акаике на сингулярные статистические модели . [2]

Ссылки [ править ]

  1. Пробел в Гаррета Биркгоффа первоначальном доказательстве был заполнен Александром Островским .
  2. ^ Ватанабэ, Сумио. «Почему алгебраическая геометрия?» .

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 464a496f55f9b9b51cd4612497b6d289__1684826400
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/46/89/464a496f55f9b9b51cd4612497b6d289.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Algebraic statistics - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)