Подгруппа фитингов

В математике , особенно в области алгебры , известной как теория групп , подгруппа Фиттинга F G конечной группы , названной в честь Фиттинга , является единственной наибольшей нормальной нильпотентной подгруппой группы G. Ганса Интуитивно понятно, что она представляет собой наименьшую подгруппу, которая «контролирует» структуру G когда G разрешима , . Когда группа G неразрешима, аналогичную роль играет обобщенная подгруппа Фиттинга F ^* , который порождается подгруппой Фиттинга компонентами G и .

Для произвольной (не обязательно конечной) группы G подгруппа Фиттинга определяется как подгруппа, порожденная нильпотентными нормальными подгруппами G. группы Для бесконечных групп подгруппа Фиттинга не всегда нильпотентна.

Оставшаяся часть этой статьи посвящена исключительно конечным группам .

Подгруппа фитингов

Нильпотентность , подгруппы Фиттинга конечной группы гарантируется теоремой Фиттинга которая гласит, что произведение конечного набора нормальных нильпотентных подгрупп группы G снова является нормальной нильпотентной подгруппой. Его также можно явно сконструировать как произведение p-ядер по G всем простым числам p, делящим порядок G .

Если G — конечная нетривиальная разрешимая группа, то подгруппа Фиттинга всегда нетривиальна, т. е. если G ≠1 конечно разрешима, то F ( G )≠1. Аналогично подгруппа Фиттинга группы G / F ( G ) будет нетривиальной, если G сама по себе не нильпотентна, что приводит к понятию длины Фиттинга . Поскольку подгруппа Фиттинга конечной разрешимой группы содержит собственный централизатор , это дает метод понимания конечных разрешимых групп как расширений нильпотентных групп с помощью точных групп автоморфизмов нильпотентных групп.

В нильпотентной группе каждый главный фактор централизован каждым элементом. Несколько ослабив условие и взяв подгруппу элементов общей конечной группы, которые централизуют каждый главный фактор, можно просто снова получить подгруппу Фиттинга ( Huppert 1967 , Kap.VI, Satz 5.4, стр.686):

$\operatorname {Fit} (G)=\bigcap \{C_{G}(H/K):H/K{\text{ a chief factor of }}G\}.$

Обобщение на p -нильпотентные группы аналогично.

Обобщенная подгруппа Фиттинга

Компонентом субнормальная группы является квазипростая подгруппа . (Группа является квазипростой , если она является совершенным центральным расширением простой группы.) Слой E ( G ) или L ( G ) группы — это подгруппа, порожденная всеми компонентами. Любые два компонента группы коммутируют, поэтому слой представляет собой идеальное центральное расширение произведения простых групп и самую большую нормальную подгруппу группы G с такой структурой. Обобщенная подгруппа Фиттинга F ^* ( G ) — подгруппа, порожденная слоем и подгруппой Фиттинга. Слой коммутирует с подгруппой Фиттинга, поэтому обобщенная подгруппа Фиттинга является центральным расширением произведения p -групп и простых групп .

Слой также является максимальной нормальной полупростой подгруппой, где группа называется полупростой, если она является совершенным центральным расширением произведения простых групп.

Это определение обобщенной подгруппы Фиттинга может быть мотивировано некоторыми из ее предполагаемых применений. Рассмотрим задачу идентификации нормальной подгруппы H группы G , содержащей собственный централизатор и группу Фиттинга. Если C является централизатором H, мы хотим доказать, что C содержится в H . Если нет, выберите минимальную характеристическую подгруппу M/Z(H) группы C/Z(H) , где Z(H) — центр H , что совпадает с пересечением C и H . Тогда M / Z ( H ) является произведением простых или циклических групп , поскольку оно характеристически просто. Если M / Z ( H ) — произведение циклических групп, то M должно находиться в подгруппе Фиттинга. Если M / Z ( H ) является произведением неабелевых простых групп, то производная подгруппа M является нормальной полупростой подгруппой, отображающейся на M / Z ( H ). Итак, если H содержит подгруппу Фиттинга и все нормальные полупростые подгруппы, то M / Z ( H ) должно быть тривиально, поэтому H содержит свой собственный централизатор. Обобщенная подгруппа Фиттинга — это наименьшая подгруппа, содержащая подгруппу Фиттинга и все нормальные полупростые подгруппы.

Обобщенную подгруппу Фиттинга также можно рассматривать как обобщенный централизатор главных факторов. Неабелева полупростая группа не может централизовать себя, но действует на себя как внутренние автоморфизмы. Группа называется квазинильпотентной, если каждый ее элемент действует как внутренний автоморфизм на каждом главном факторе. Обобщенная подгруппа Фиттинга является единственной наибольшей субнормальной квазинильпотентной подгруппой и равна множеству всех элементов, которые действуют как внутренние автоморфизмы на каждом главном факторе всей группы ( Huppert & Blackburn 1982 , глава X, теорема 5.4, с. 126):

$\operatorname {Fit} ^{*}(G)=\bigcap \{HC_{G}(H/K):H/K{\text{ a chief factor of }}G\}.$

Здесь элемент g находится в G HC ₍ H / K ) тогда и только тогда, когда существует некоторый h в H такой, что для каждого x в H , x ^г ≡ х ^час против К.

Характеристики

Если G — конечная разрешимая группа, то подгруппа Фиттинга содержит свой централизатор. Централизатор подгруппы Фиттинга является центром подгруппы Фиттинга. В этом случае обобщенная подгруппа Фиттинга равна подгруппе Фиттинга. В более общем смысле, если G — конечная группа, то обобщенная подгруппа Фиттинга содержит свой собственный централизатор. Это означает, что в некотором смысле обобщенная подгруппа Фиттинга управляет G , поскольку G по модулю централизатора F ^* ( G ) содержится в группе автоморфизмов F ^* ( G ) и централизатор F ^* ( G ) содержится в F ^* ( Г ). В частности, существует только конечное число групп с данной обобщенной подгруппой Фиттинга.

Приложения

Нормализаторы нетривиальных p -подгрупп конечной группы называются p -локальными подгруппами и в значительной степени контролируют структуру группы (позволяя то, что называется локальным анализом ). Конечная группа называется характеристической p- типом, если F ^* ( G ) является p -группой для каждой p -локальной подгруппы, поскольку этим свойством обладает любая группа лиева типа, определенная над полем характеристики p . При классификации конечных простых групп это позволяет угадать, по какому полю следует определить простую группу. Обратите внимание, что некоторые группы имеют характерный тип p для более чем одного p .

Если простая группа не имеет лиева типа над полем заданной характеристики p , то p -локальные подгруппы обычно имеют компоненты в обобщенной подгруппе Фиттинга, хотя есть много исключений для групп, которые имеют малый ранг, определены над малыми полями, или носят спорадический характер. Это используется для классификации конечных простых групп, поскольку, если p -локальная подгруппа имеет известный компонент, часто можно идентифицировать всю группу ( Aschbacher & Seitz 1976 ).

Анализ конечных простых групп посредством структуры и вложения обобщенных подгрупп Фиттинга в их максимальные подгруппы был начат Гельмутом Бендером ( Бендер, 1970 ) и стал известен как метод Бендера . Это особенно эффективно в исключительных случаях, когда компоненты или функторы сигнализаторов неприменимы.

Ссылки

• Ашбахер, Майкл (2000), Теория конечных групп , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-78675-1
• Ашбахер, Майкл ; Зейтц, Гэри М. (1976), «О группах со стандартным компонентом известного типа», Osaka J. Math. , 13 (3): 439–482
• Бендер, Гельмут (1970), «О группах с абелевыми силовскими 2-подгруппами», Mathematical Journal , 117 : 164–176, doi : 10.1007/BF01109839 , ISSN   0025-5874 , MR   0288180
• Хупперт, Б. (1967), Конечные группы (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-03825-2 , МР   0224703 , OCLC   527050
• Юппер, Бертрам ; Блэкберн, Норман (1982), Конечные группы. III. , Основы математических наук, вып. 243, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  3-540-10633-2 , МР   0650245