Критерий Рэлея – Куо

Рисунок 1: Модели горизонтальной и вертикальной циркуляции, вызванные горизонтальным сдвиговым потоком на поверхности жидкости. Горизонтальный сдвиг обозначается длиной и плотностью цвета стрелок на поверхности жидкости. Этот сдвиг скорости на поверхности приводит к образованию как вертикальной, так и горизонтальной циркуляции. За счет экмановского транспорта с правой стороны потока на левую происходит дивергенция (конвергенция) с правой (левой) стороны потока, что приводит к апвеллингу (даунвеллингу) и вместе с горизонтальным обратным потоком представляет собой полноценный Схема циркуляции. В горизонтальном направлении по обе стороны от потока могут образовываться водовороты, имеющие круговое вращение по часовой стрелке на правой стороне потока (синий) и против часовой стрелки на левой стороне потока (красный). Водовороты образуются на разных сторонах потока и движутся вместе с потоком.

Критерий Рэлея-Куо (иногда называемый критерием Куо ) является условием устойчивости жидкости . Этот критерий определяет, может ли возникнуть баротропная неустойчивость, приводящая к наличию вихрей (таких как вихри и штормы ). Критерий Куо утверждает, что для возникновения баротропной неустойчивости градиент абсолютной завихренности должен в какой-то момент изменить свой знак в пределах границ течения. Обратите внимание, что этот критерий является необходимым условием, поэтому, если он не выполняется, формирование баротропной неустойчивости невозможно. Но это не достаточное условие, а это означает, что если критерий выполняется, это не означает автоматически, что жидкость нестабильна. Если критерий не соблюдается, то можно быть уверенным, что поток устойчив.

Этот критерий был сформулирован Сяо-Ланом Го и основан на уравнении Рэлея, названном в честь лорда Рэлея, который впервые ввел это уравнение в гидродинамику .

Баротропная нестабильность

Рисунок 2: Напряжение сдвига в потоке жидкости вызывает завихрения. Верхняя левая панель (а) показывает разницу в скорости в зависимости от длины черных стрелок и плотности цветов (более темные цвета означают большую скорость). Когда этот поток становится неустойчивым (б), направление потока начинает меняться. Этот процесс еще более усиливается на панели (c), пока, наконец, не возникнут полные вихри (d). Эти вихри образуются на чередующихся сторонах поля потока с движением по часовой стрелке справа (синие кружки) и циркуляцией против часовой стрелки с левой стороны потока (красные кружки).

Вихри, подобные водоворотам, создаются нестабильностью потока. Когда в среднем потоке есть нестабильности, энергия может передаваться от среднего потока к небольшим возмущениям, которые затем могут расти. В баротропной жидкости плотность является функцией только давления , а не температуры (в отличие от бароклинной жидкости, где плотность является функцией как давления, так и температуры). ). Это означает, что поверхности постоянной плотности ( изопикны ) являются также поверхностями постоянного давления ( изобары ). Баротропная неустойчивость может формироваться по-разному. Два примера: когда существует взаимодействие между потоком жидкости и батиметрией или топографией области; при наличии фронтальной нестабильности (может также привести к бароклинной нестабильности). Эти нестабильности не зависят от плотности и могут возникать даже при постоянной плотности жидкости. Вместо этого большая часть нестабильностей вызвана сдвигом потока , как видно на рисунке 1. Этот сдвиг в поле скорости вызывает вертикальную и горизонтальную завихренность внутри потока. В результате справа от потока возникает апвеллинг, а слева – даунвеллинг. Такая ситуация может привести к баротропному неустойчивому течению. Вихри, образующиеся поочередно по обе стороны потока, являются частью этой нестабильности.

Другой способ добиться такой неустойчивости — сместить волны Россби в горизонтальном направлении (см. рисунок 2). Это приводит к передаче кинетической энергии (а не потенциальной энергии ) от среднего потока к малым возмущениям (вихрям). Критерий Рэлея-Куо утверждает, что градиент абсолютной завихренности должен менять знак внутри области. В примере с вихрями, вызванными сдвигом справа, это означает, что вторая производная потока в направлении поперечного потока где-то должна быть равна нулю. Это происходит в центре вихрей, где ускорение потока, перпендикулярное потоку, меняет направление.

Примеры

Наличие этих неустойчивостей во вращающейся жидкости наблюдалось в лабораторных экспериментах. Настройки эксперимента были основаны на условиях Гольфстрима и показали, что внутри океанских течений, таких как Гольфстрим, возможно возникновение баротропной нестабильности. Но баротропные неустойчивости наблюдались и в других Западных пограничных течениях (ЗПТ). В течении Агульяса баротропная неустойчивость приводит к разрыву колец . Течение Агульяс рефлексирует (поворачивает назад) у берегов Южной Африки. В этом же месте несколько антициклонических колец теплой воды отрываются от среднего течения и движутся вдоль побережья Африки. Образование этих колец является проявлением баротропной неустойчивости.

Вывод

Вывод критерия Рэлея-Куо был впервые записан Сяо-Ланом Куо в его статье под названием « Динамическая неустойчивость двумерного недивергентного потока в баротропной атмосфере» от 1949 года . Этот вывод повторяется и упрощается ниже.

Сначала обсуждаются предположения, выдвинутые Сяо-Лан Го. Во-вторых, уравнение Рэлея выводится для продолжения вывода критерия Рэлея-Куо. Интегрируя это уравнение и заполняя граничные условия, можно получить критерий Куо.

Предположения

Чтобы вывести критерий Рэлея–Куо, делаются некоторые предположения о свойствах жидкости. Мы рассматриваем недивергентную двумерную баротропную жидкость . Жидкость имеет среднее зональное направление течения, которое может изменяться в меридиональном направлении. На этот средний поток накладываются небольшие возмущения как в зональном, так и в меридиональном направлении: $u(y,t)=U(y)+u^{*}(y,t)$ и $v=v^{*}$. Возмущения должны быть небольшими, чтобы линеаризовать уравнение завихренности. Вертикальным движением, расхождением и сближением жидкости пренебрегаем. При учете этих факторов аналогичный результат был бы получен лишь при небольшом смещении положения критерия внутри профиля скорости.

Вывод критерия Куо будет выполнен в пределах области $L=[0,y]$. На северной и южной границе этой области меридиональная жидкость равна нулю.

Уравнение Рэлея

Уравнение баротропной завихренности

Для вывода уравнения Рэлея для баротропной жидкости уравнение баротропной завихренности используется . Это уравнение предполагает, что абсолютная завихренность сохраняется: ${\frac {d\zeta _{a}}{dt}}=0$ здесь, ${\frac {d}{dt}}$ является материальной производной . Абсолютная завихренность — это относительная завихренность плюс планетарная завихренность: $\zeta _{a}=\zeta +f$. Относительная завихренность, $\zeta$, — вращение жидкости относительно Земли. Планетарная завихренность (также называемая частотой Кориолиса ), $f$, — завихренность объекта, вызванная вращением Земли. При применении приближения бета-плоскости к планетарной завихренности сохранение абсолютной завихренности выглядит следующим образом:

$${\frac {d\zeta _{a}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\zeta +\beta y\right)=0$$ Относительная завихренность определяется как $\zeta ={\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}.$ Поскольку поле течения представляет собой средний поток с малыми возмущениями, его можно записать как $\zeta ={\overline {\zeta }}+\zeta ^{*}$ с ${\overline {\zeta }}=-{\frac {\partial U}{\partial y}}$ и $\zeta ^{*}={\frac {\partial v^{*}}{\partial x}}-{\frac {\partial u^{*}}{\partial y}}.$ Эта формулировка используется в уравнении завихренности:

$${\begin{aligned}0&={\frac {d}{dt}}\left(\zeta +\beta y\right)\\0&={\frac {d}{dt}}\left(\zeta '+{\overline {\zeta }}+\beta y\right)\\0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+u{\frac {\partial }{\partial x}}+v{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\left(\zeta ^{*}-{\frac {\partial U}{\partial y}}+\beta y\right)\end{aligned}}$$Здесь, $u$ и $v$ – зональная и меридиональная составляющие потока и $\zeta '$ – относительная завихренность, вызванная возмущениями потока ( $u'$ и $v'$). $U$ – средний зональный поток и $\beta$ является производной планетарной завихренности $f$ относительно $y$ .

Линеаризация

Предполагалось зональное среднее течение с малыми возмущениями: $u=U+u^{*}$, и меридиональный поток с нулевым средним, $v=v^{*}$. Поскольку предполагалось, что возмущения малы, можно выполнить линеаризацию приведенного выше уравнения баротропной завихренности, игнорируя все нелинейные члены (члены, в которых присутствуют две или более малые переменные, т.е. $u^{*},v^{*},\zeta ^{*}$, перемножаются друг с другом). Также производная от $u$ в зональном направлении производная по времени среднего расхода $U$ и производная по времени $\beta y$ равны нулю. В результате получается упрощенное уравнение:

$${\begin{aligned}0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\zeta '-v'{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial U}{\partial y}}+v'{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\beta y\right)\\0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\zeta '+v'\left(\beta -{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right).\end{aligned}}$$

С $\zeta '$ как определено выше ( $\zeta ^{*}={\frac {\partial v^{*}}{\partial x}}-{\frac {\partial u^{*}}{\partial y}}$) и $u^{*}$ и $v^{*}$ малые возмущения зональной и меридиональной составляющих потока.

Функция потока

Для нахождения решения линеаризованного уравнения лордом Рэлеем была введена функция тока для возмущений скорости потока:

$$u^{*}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\;\;\;\;v^{*}={\frac {-\partial \psi }{\partial x}}.$$Эти новые определения функции тока используются для переписывания линеаризованного уравнения баротропной завихренности. $${\begin{aligned}0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left({\frac {\partial v^{*}}{\partial x}}-{\frac {\partial u^{*}}{\partial y}}\right)+v^{*}\left(\beta -{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)\\0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\left(\beta -U''\right)\\0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\nabla ^{2}\psi +{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\left(\beta -U''\right)\end{aligned}}$$Здесь, $U''$ является второй производной от $U$ относительно $y$ $(U''={\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}})$. Для решения этого уравнения для функции тока Рэлей предложил волновое решение, которое гласит: $\psi (x,y,t)=\Psi (y)e^{i\alpha \left(x-ct\right)}$. Амплитуда $\Psi (y)$ может быть комплексным числом , $\alpha$ волновое число , которое является действительным числом и $c$ — фазовая скорость , которая также может быть комплексной. Вставка этого предложенного решения приводит нас к уравнению, известному как уравнение Рэлея .

$${\begin{aligned}0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\nabla ^{2}\psi +{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\left(\beta -U''\right)\\[14pt]0&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+U{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left((i\alpha )^{2}\Psi e^{i\alpha \left(x-ct\right)}+\Psi ''e^{i\alpha \left(x-ct\right)}\right)+i\alpha \Psi e^{i\alpha (x-ct)}(\beta -U'')\\[14pt]0&=(i\alpha )^{2}\Psi e^{i\alpha (x-ct)}(-i\alpha c+i\alpha U)+\Psi ''e^{i\alpha (x-ct)}(-i\alpha c+i\alpha U)+i\alpha \Psi e^{i\alpha (x-ct)}(\beta -U'')\\[14pt]0&=i\alpha e^{i\alpha (x-ct)}[(\alpha ^{2}c-\alpha ^{2}U)\Psi +\Psi ''(-c+U)+\Psi (\beta -U'')]\\[14pt]0&=(U-c)(\Psi ''-\alpha ^{2}\Psi )+(\beta -U'')\Psi )\\[14pt]\end{aligned}}$$Чтобы получить это уравнение, на последнем шаге было использовано следующее: $\alpha$ не может быть нулем, как и экспонента. Это означает, что члены в квадратных скобках должны быть равны нулю. Символ $\Psi ''$ обозначает вторую производную амплитуды функции тока, $\Psi$ относительно $y$ $(\Psi ''={\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}})$. Это последнее полученное уравнение известно как уравнение Рэлея, которое представляет собой линейное обыкновенное дифференциальное уравнение . Решить это уравнение в явном виде очень сложно. Поэтому Сяо-Лань Го придумал критерий устойчивости этой проблемы, не решая ее фактически.

Критерий Куо

Вместо решения уравнения Рэлея Сяо-Лан Куо придумал необходимое условие устойчивости, которое должно было соблюдаться, чтобы жидкость могла стать нестабильной. Чтобы прийти к этому критерию, уравнение Рэлея было переписано и использованы граничные условия поля течения.

Первый шаг — разделить уравнение Рэлея на $(U-c)$ и умножив уравнение на комплексно-сопряженное число $\Psi \;\;(\Psi ^{*}=\Psi _{r}-i\Psi _{i})$.

$${\begin{aligned}0&=(\Psi ''-\alpha ^{2}\Psi )+\left({\frac {\beta -U''}{U-c}}\right)\Psi \\0&=\Psi ^{*}(\Psi _{r}''+i\Psi _{i}''-\alpha ^{2}\Psi _{r}-\alpha ^{2}i\Psi _{i})+\Psi ^{*}\left({\frac {\beta -U''}{U-c}}\right)(\Psi _{r}-i\Psi _{i})\\0&=\Psi _{r}\Psi _{r}''+\Psi _{i}\Psi _{i}''-\alpha ^{2}(\Psi _{r}^{2}-\Psi _{i}^{2})+\left({\frac {\beta -U''}{U-c}}\right)(\Psi _{r}^{2}-\Psi _{i}^{2})+i(-\Psi _{i}\Psi _{r}''+\Psi _{r}\Psi _{i}'')\\0&=\Psi _{r}''\Psi _{r}+\Psi _{i}''\Psi _{i}+\left(-\alpha ^{2}+{\frac {U-c_{r}}{|U-c|^{2}}}(\beta -U'')\right)|\Psi |^{2}+i\left({\frac {c_{i}}{|U-c|^{2}}}(\beta -U'')|\Psi |^{2}-\Psi _{r}''\Psi _{i}+\Psi _{i}''\Psi _{r}\right)\end{aligned}}$$На последнем этапе $(U-c)$ умножается на его комплексно-сопряженное выражение, что приводит к следующему равенству: ${\frac {1}{U-c}}={\frac {1}{U-c_{r}-ic_{i}}}={\frac {U-c_{r}+ic_{i}}{|U-c|^{2}}}$. Чтобы решение уравнения Рэлея существовало, как действительная, так и мнимая часть приведенного выше уравнения должны быть равны нулю.

Граничные условия

Чтобы получить критерий Куо, мнимая часть интегрируется по области определения ( $y=[0,L]$) . Функция тока на границах области равна нулю, $\Psi (0)=\Psi (L)=0$, как уже говорилось в предположениях. Зональный поток должен исчезать на границах области. Это приводит к функции постоянного потока, которая для удобства установлена ​​на ноль.

$\int _{0}^{L}(\Psi _{r}\Psi _{i}''-\Psi _{i}\Psi _{r}'')dy+\int _{0}^{L}\left(c_{i}{\frac {|\Psi |^{2}}{|U-c|}}(\beta -U'')\right)=0$

Первый интеграл можно решить:

${\begin{aligned}\int _{0}^{L}(\Psi _{r}\Psi _{i}''-\Psi _{i}\Psi _{r}'')dy&=\int _{0}^{L}{\frac {\partial }{\partial y}}(\Psi _{r}\Psi _{i}'-\Psi _{i}\Psi _{r}')dy\\[8pt]&=(\Psi _{r}\Psi _{i}'-\Psi _{i}\Psi _{r}')|_{0}^{L}\\[8pt]&=0\\[12pt]\end{aligned}}$

Значит, первый интеграл равен нулю. Это означает, что второй интеграл также должен быть равен нулю, что позволяет решить этот интеграл численно.

${\begin{aligned}\int _{0}^{L}\left(c_{i}{\frac {|\Psi |^{2}}{|U-c|}}(\beta -U'')\right)dy&=0\\\end{aligned}}$

Когда $c_{i}$ равно нулю, мы имеем дело со стабильной амплитудой решения, это означает, что решение устойчиво. Мы ищем нестабильную ситуацию, поэтому тогда ${\frac {|\Psi |^{2}}{|U-c|}}(\beta -U'')$ должно быть равно нулю. Поскольку дробь перед $(\beta -U'')$ ненулевое и положительное, это приводит к выводу, что $(\beta -U'')$ должно быть равно нулю. Это приводит к окончательной формулировке критерия Куо:

$${\begin{aligned}\beta -U''&=0\\[10pt]\beta &=U''\\[10pt]{\frac {\partial (\beta y)}{\partial y}}&={\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\end{aligned}}$$Здесь, $U$ – средний зональный поток и $\beta$ является производной планетарной завихренности $f$ относительно $y$.