Взорвать

Эта статья о математической концепции взрыва. Информацию о физическом/химическом процессе см. в разделе Взрыв . Чтобы узнать о других значениях слова «Увеличить», см. « Увеличение (значения)» .

Разрушение аффинной плоскости.

В математике . раздутие или раздутие — это тип геометрического преобразования, при котором подпространство данного пространства заменяется пространством всех направлений, указывающих из этого подпространства Например, раздутие точки на плоскости заменяет точку проективизированным касательным пространством в этой точке. Метафора заключается в увеличении фотографии для увеличения ее части, а не в отсылке к взрыву .

Раздутия — наиболее фундаментальное преобразование в бирациональной геометрии , поскольку каждый бирациональный морфизм между проективными многообразиями является раздутием. Теорема о слабой факторизации гласит, что любое бирациональное отображение можно факторизовать как композицию особенно простых раздутий. Группа Кремоны — группа бирациональных автоморфизмов плоскости — порождается раздутиями.

Помимо важности для описания бирациональных преобразований, раздутия также являются важным способом построения новых пространств. Например, большинство процедур разрешения особенностей основаны на раздутии особенностей до тех пор, пока они не станут гладкими. Следствием этого является то, что раздутия можно использовать для разрешения особенностей бирациональных отображений.

Классически раздутия определялись внешне: сначала определялись раздутия в таких пространствах, как проективное пространство, с использованием явной конструкции в координатах, а затем определялись раздутия в других пространствах с точки зрения вложения. Это отражено в некоторых терминах, таких как классический термин «моноидальное преобразование» . Современная алгебраическая геометрия рассматривает разрушение как внутреннюю операцию над алгебраическим многообразием. С этой точки зрения раздутие — это универсальный (в смысле теории категорий ) способ превратить подмногообразие в дивизор Картье .

Раздутие также можно назвать моноидальным преобразованием , локально квадратичным преобразованием , дилатацией , σ- процессом или отображением Хопфа .

Раздутие точки на плоскости

Простейший случай раздутия — это раздутие точки на плоскости. Большинство общих особенностей взрыва можно увидеть на этом примере.

Раздутие имеет синтетическое описание как соответствие инцидентности. Напомним, что Грассманиан G (1,2) параметризует множество всех прямых, проходящих через точку плоскости. Раздутие проективной плоскости P ² в точке P , которую мы обозначим X , является

$X=\{(Q,\ell )\mid P,\,Q\in \ell \}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {G} (1,2).$

Здесь Q обозначает другую точку и $\ell$ является элементом грассманиана. X — проективное многообразие, поскольку оно является замкнутым подмногообразием произведения проективных многообразий. Он имеет естественный морфизм π на P ² для этого нужна пара $(Q,\ell )$ к К. ​Этот морфизм является изоморфизмом на открытом подмножестве всех точек $(Q,\ell )$ с Q ≠ P, поскольку линия $\ell$ определяется этими двумя точками. Однако когда Q = P линия $\ell$ может быть любой линией, проходящей P. через Эти линии соответствуют пространству направлений через P , которое изоморфно P ¹ . Это П ¹ называется исключительным дивизором и по определению является проективизированным нормальным пространством в P. точке Поскольку P — точка, нормальное пространство совпадает с касательным пространством, поэтому исключительный дивизор изоморфен проективизированному касательному пространству в P. точке

Чтобы задать координаты разрушения, мы можем записать уравнения для указанного выше соответствия инцидентности. Дайте П ² координаты [ X0 _, : X1 _— : X2 _P1 в которых точка [ P0 _: ] P _: однородные P2 _] . В силу двойственности проективной G (1,2) изоморфна P ² , поэтому мы можем дать ему однородные координаты [ L ₀ : L ₁ : L ₂ ]. линия $\ell _{0}=[L_{0}:L_{1}:L_{2}]$ — это множество всех [ X ₀ : X ₁ : X ₂ ] таких, что X ₀ L ₀ + X ₁ L ₁ + X ₂ L ₂ = 0. Следовательно, разрушение можно описать как

$X=\{([X_{0}:X_{1}:X_{2}],[L_{0}:L_{1}:L_{2}])\mid P_{0}L_{0}+P_{1}L_{1}+P_{2}L_{2}=0,\,X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0\}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}.$

Раздутие является изоморфизмом, отличным от P , и, работая в аффинной плоскости вместо проективной, мы можем дать более простые уравнения для раздутия. После проективного преобразования мы можем предположить, что P = [0:0:1]. Запишите x и y для координат на аффинной плоскости X ₂ ≠0. Условие P ∈ $\ell$ следует, что L ₂ = 0, поэтому мы можем заменить грассманиан на P ¹ . Тогда раздутие - это разновидность

$\{((x,y),[z:w])\mid xz+yw=0\}\subseteq \mathbf {A} ^{2}\times \mathbf {P} ^{1}.$

Чаще всего координаты меняют так, чтобы перевернуть один из знаков. Тогда раздутие можно записать как

$\left\{((x,y),[z:w])\mid \det {\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}}=0\right\}.$

Это уравнение легче обобщить, чем предыдущее.

Раздутие можно легко визуализировать, если мы удалим точку бесконечности грассманиана, например, установив w = 1, и получим стандартную седловую поверхность y = xz в трехмерном пространстве.

Раздутие также можно описать, используя координаты в нормальном пространстве к точке. Снова работаем на аффинной плоскости A. ² . Нормальное пространство к началу координат — это векторное пространство m / m. ² , где m = ( x , y ) — максимальный идеал начала координат. Алгебраически проективизация этого векторного пространства есть Proj его симметрической алгебры, т.е.

$X=\operatorname {Proj} \bigoplus _{r=0}^{\infty }\operatorname {Sym} _{k[x,y]}^{r}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}.$

В этом примере это имеет конкретное описание как

$X=\operatorname {Proj} k[x,y][z,w]/(xz-yw),$

где x и y имеют степень 0, а z и w имеют степень 1.

В отношении действительных или комплексных чисел раздутие имеет топологическое описание как связная сумма. $\mathbf {P} ^{2}\#\mathbf {P} ^{2}$. Предположим, что P — начало координат в A ² ⊆ П ² и напишите L для линии, находящейся на бесконечности. А ² \ {0} имеет карту инверсии t , которая переводит ( x , y ) в ( x /(| x | ² + | и | ² ) и /(| x | ² + | и | ² )). t — инверсия круга по отношению к единичной сфере S : она фиксирует S , сохраняет каждую линию, проходящую через начало координат, и заменяет внутреннюю часть сферы внешней. t продолжается до непрерывного отображения P ² \ {0} → А ² отправив линию на бесконечность в начало координат. Это расширение, которое мы также обозначаем t , можно использовать для построения раздутия. Обозначим через C дополнение единичного шара. Раздутие X полученное соединением двух копий C вдоль S. — это многообразие , X поставляется с отображением π в P ² который является идентификатором первой копии C и t во второй копии C . Это отображение является изоморфизмом от P слой над P — это линия на бесконечности во второй копии C. , а Каждая точка этой линии соответствует уникальной линии, проходящей через начало координат, поэтому слой над π соответствует возможным направлениям нормали, проходящим через начало координат.

Для КП ² этот процесс должен создать ориентированное многообразие. Чтобы это произошло, двум копиям C следует придать противоположные ориентации. В символах X — это $\mathbf {CP} ^{2}\#{\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}$, где ${\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}$ это КП ² с противоположной стандартной ориентацией.

Взрыв точек в сложном пространстве

Пусть Z — начало координат в n -мерном комплексном пространстве, C ^н . То есть Z — это точка, в которой n координатных функций $x_{1},\ldots ,x_{n}$ одновременно исчезнуть. Пусть P ^{н - 1} быть ( n - 1)-мерным комплексным проективным пространством с однородными координатами $y_{1},\ldots ,y_{n}$. Позволять ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}$ быть подмножеством C ^н × П ^{н - 1} удовлетворяющее одновременно уравнениям $x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}$ для i, j = 1, ..., n . Проекция

$\pi :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}$

естественно индуцирует голоморфное отображение

$\pi :{\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {C} ^{n}.$

Это отображение π (или, чаще, пространство ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}$) называется раздутием (по-разному пишется раздутием или раздутием ) C ^н .

Исключительный дивизор E определяется как прообраз множеству разрушения Z относительно π. Это легко увидеть

$E=Z\times \mathbf {P} ^{n-1}\subseteq \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}$

является копией проективного пространства. Это эффективный делитель . Вдали от E π является изоморфизмом между ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\setminus E$ и С ^н \ З ; это бирациональное отображение между ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}$ и С ^н .

Если вместо этого мы рассмотрим голоморфную проекцию

$q\colon {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {P} ^{n-1}$

мы получаем тавтологическое линейное расслоение $\mathbf {P} ^{n-1}$ и мы можем определить исключительный делитель $\lbrace Z\rbrace \times \mathbf {P} ^{n-1}$ с его нулевым сечением, а именно $\mathbf {0} \colon \mathbf {P} ^{n-1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n-1}}$ который присваивает каждой точке $p$ нулевой элемент $\mathbf {0} _{p}$ в оптоволокне над $p$.

Раздутие подмногообразий в комплексных многообразиях

В более общем смысле, можно раздуть любое коразмерности k комплексное подмногообразие Z в C. ^н . Предположим, что Z — геометрическое место уравнений $x_{1}=\cdots =x_{k}=0$, и пусть $y_{1},\ldots ,y_{k}$ — однородные координаты на P ^{к - 1} . Затем взрыв ${\tilde {\mathbf {C} }}^{n}$ является местом уравнений $x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}$ для всех i и j в пространстве C ^н × П ^{к - 1} .

В более общем смысле можно раздуть любое подмногообразие любого комплексного многообразия X, локально применив эту конструкцию. Эффект, как и раньше, заключается в замене множества раздутия Z исключительным дивизором E . Другими словами, увеличенная карта

$\pi :{\tilde {X}}\to X$

— бирациональное отображение, которое вне E индуцирует изоморфизм, а на E — локально тривиальное расслоение со слоем P ^{к - 1} . Действительно, ограничение $\pi |_{E}:E\to Z$ рассматривается как проективизация нормального расслоения Z X в естественно .

Поскольку E — гладкий дивизор, его нормальное расслоение — линейное . Нетрудно показать, что E отрицательно пересекает само себя. Это означает, что его нормальное расслоение не имеет голоморфных сечений; E — единственный гладкий комплексный представитель своего класса гомологии в ${\tilde {X}}$. (Предположим, что E может быть преобразовано в другое комплексное подмногообразие того же класса. Тогда два подмногообразия будут пересекаться положительно - как всегда делают комплексные подмногообразия - вопреки отрицательному самопересечению E .) Вот почему дивизор называется исключительным.

Пусть V — некоторое подмногообразие X, от Z. отличное Если V не пересекается с Z , то на него практически не влияет раздутие Z. вдоль Однако если он пересекает Z есть два различных аналога V. , то в раздутии ${\tilde {X}}$. Одним из них является правильное (или строгое ) преобразование , которое является замыканием $\pi ^{-1}(V\setminus Z)$; это обычный комплект в ${\tilde {X}}$ обычно отличается от V в X . Другой — полное преобразование , которое включает в себя часть или всю E ; по сути, это возврат V в когомологиях .

Схемы взрыва

Чтобы рассмотреть разрушение в его наибольшей общности, пусть X — схема и пусть ${\mathcal {I}}$ быть связным пучком идеалов на X . Раздутие X относительно ${\mathcal {I}}$ это схема ${\tilde {X}}$ вместе с морфизмом

$\pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X$

такой, что $\pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}$ является обратимым пучком , характеризующимся этим универсальным свойством : для любого морфизма f : Y → X такого, что $f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}$ является обратимым пучком , f пропускается однозначно через π.

Обратите внимание, что

${\tilde {X}}=\mathbf {Proj} \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}$

имеет это свойство; вот так устроено раздутие. Здесь Proj — конструкция Proj на градуированных пучках коммутативных колец .

Исключительные делители

Исключительный делитель раздутия $\pi :\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X\to X$ — подсхема, определяемая прообразом идеального пучка ${\mathcal {I}}$, который иногда обозначают $\pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}$. Из определения раздутия в терминах Proj следует, что эта подсхема E определяется идеальным пучком $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n+1}$. Этот идеальный пучок является также относительным ${\mathcal {O}}(1)$ для п.

π является изоморфизмом, отличным от исключительного дивизора, но исключительный дивизор не обязательно должен находиться в исключительном локусе π. То есть π может быть изоморфизмом на E . Это происходит, например, в тривиальной ситуации, когда ${\mathcal {I}}$ уже обратимый пучок. В частности, в таких случаях морфизм π не определяет исключительный дивизор. Другая ситуация, когда исключительное локус может быть строго меньше исключительного дивизора, — это когда X имеет особенности. Например, пусть X — аффинный конус над P ¹ × П ¹ . X можно задать как исчезающее множество xw − yz в A ⁴ . Идеалы ( x , y ) и ( x , z ) две плоскости, каждая из которых проходит через вершину X. определяют Вдали от вершины эти плоскости являются гиперповерхностями в X , поэтому раздутие там является изоморфизмом. Таким образом, исключительное место раздутия любой из этих плоскостей сосредоточено над вершиной конуса и, следовательно, строго меньше исключительного дивизора.

Дальнейшие примеры

Раздутия линейных подпространств

Позволять $\mathbf {P} ^{n}$ быть n -мерным проективным пространством. Зафиксируем линейное подпространство L коразмерности d . Существует несколько явных способов описания разрушения $\mathbf {P} ^{n}$ вдоль Л. ​Предположим, что $\mathbf {P} ^{n}$ имеет координаты $X_{0},\dots ,X_{n}$. После замены координат можно считать, что $L=\{X_{n-d+1}=\dots =X_{n}=0\}$. Раздутие может быть встроено в $\mathbf {P} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-d}$. Позволять $Y_{0},\dots ,Y_{n-d}$ быть координатами второго фактора. Поскольку L определяется регулярной последовательностью, разрушение определяется исчезновением миноров два на два матрицы $${\begin{pmatrix}X_{0}&\cdots &X_{n-d}\\Y_{0}&\cdots &Y_{n-d}\end{pmatrix}}.$$Эта система уравнений эквивалентна утверждению, что две строки линейно зависимы. точка $P\in \mathbf {P} ^{n}$ находится в L тогда и только тогда, когда при подстановке его координат в первую строку приведенной выше матрицы эта строка равна нулю. нет В этом случае условий на Q . Однако если эта строка не равна нулю, то линейная зависимость означает, что вторая строка является скалярным кратным первой и, следовательно, существует единственная точка. $Q\in \mathbf {P} ^{n-d}$ такой, что $(P,Q)$ находится в раздутии.

Этому раздутию можно также дать синтетическое описание как соответствие инцидентности $$\{(P,M)\colon P\in M,\,L\subseteq M\}\subseteq \mathbf {P} ^{n}\times \operatorname {Gr} (n,n-d+1),$$где $\operatorname {Gr}$ обозначает грассманиан ​ $(n-d+1)$-мерные подпространства в $\mathbf {P} ^{n}$. Чтобы увидеть связь с предыдущей координатизацией, заметим, что набор всех $M\in \operatorname {Gr} (n,n-d+1)$ которые содержат L, изоморфно проективному пространству $\mathbf {P} ^{n-d}$. Это связано с тем, что каждое подпространство M является линейным соединением L и точки Q, не принадлежащей L , а две точки Q и Q' определяют одно и то же M тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый образ под проекцией $\mathbf {P} ^{n}$ от Л. вдали Следовательно, грассманиан можно заменить копией $\mathbf {P} ^{n-d}$. Когда $P\not \in L$, существует только одно подпространство M , содержащее P , линейное соединение P и L . В приведенных выше координатах это тот случай, когда $(X_{0},\dots ,X_{n-d})$ не является нулевым вектором. Дело $P\in L$ соответствует $(X_{0},\dots ,X_{n-d})$ является нулевым вектором, и в этом случае любое Q допускается любое M, содержащее L. , то есть возможно

Разрушение пересечений кривых теоретически схемно

Позволять $f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]$ — общие однородные полиномы степени $d$ (это означает, что связанные с ними проективные многообразия пересекаются в точках $d^{2}$ точки по теореме Безу ). Следующий проективный морфизм схем дает модель разрушения $\mathbb {P} ^{2}$ в $d^{2}$ баллы: $${\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow \\{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}$$Глядя на волокна, можно понять, почему это так: если мы возьмем точку $p=[x_{0}:x_{1}:x_{2}]$ тогда диаграмма отката $${\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t]}{sf(p)+tg(p)}}\right)&\rightarrow &{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\{\textbf {Spec}}(\mathbb {C} )&{\xrightarrow {[x_{0}:x_{1}:x_{2}]}}&{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}$$говорит нам, что волокно является точкой всякий раз, когда $f(p)\neq 0$ или $g(p)\neq 0$ и волокно $\mathbb {P} ^{1}$ если $f(p)=g(p)=0$.

Связанные конструкции

В результате взрыва C ^н как описано выше, в использовании комплексных чисел не было ничего существенного; раздутия можно выполнять над любым полем . Например, настоящее разрушение R ² в начале координат получается лента Мёбиуса ; соответственно, разрушение двухсферы S ² приводит к реальной проективной плоскости .

Деформация до нормального конуса — это метод разрушения, используемый для доказательства многих результатов алгебраической геометрии. Учитывая схему X и замкнутую подсхему V , мы терпим крах.

$V\times \{0\}\ {\text{in}}\ Y=X\times \mathbf {C} \ {\text{or}}\ X\times \mathbf {P} ^{1}$

Затем

${\tilde {Y}}\to \mathbf {C}$

является расслоением. Общий слой естественно изоморфен X , а центральный слой представляет собой объединение двух схем: одна представляет собой раздутие X вдоль V , а другая представляет собой нормальный конус V . со слоями, дополненными до проективных пространств

Раздутия также можно выполнить в симплектической категории, наделив симплектическое многообразие совместимой почти комплексной структурой и приступив к комплексному разрушению. Это имеет смысл чисто топологического уровня; однако придание раздутию симплектической формы требует некоторой осторожности, поскольку нельзя произвольно расширить симплектическую форму на исключительный дивизор E . Нужно изменить симплектическую форму в окрестности E или выполнить разрушение, вырезав окрестность Z и схлопнув границу четко определенным образом. Лучше всего это понять, используя формализм симплектического разрезания , частным случаем которого является симплектическое разрушение. Симплектическое разрезание вместе с обратной операцией симплектического суммирования является симплектическим аналогом деформации нормального конуса вдоль гладкого дивизора.

См. также

• Бесконечно близкая точка
• Разрешение особенностей

Ссылки

• Фултон, Уильям (1998). Теория пересечений . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-98549-2 .
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1978). Основы алгебраической геометрии . Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-32792-1 .
• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-90244-9 .
• Макдафф, Дуса; Саламон, Дитмар (1998). Введение в симплектическую топологию . Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-850451-9 .