Переход Березинского–Костерлица–Таулсса

Березинского -Костерлица-Таулесса ( БКТ ) Переход — это фазовый переход двумерной (2-D) модели XY в статистической физике . Это переход от связанных пар вихрь-антивихрь при низких температурах к неспаренным вихрям и антивихрям при некоторой критической температуре. Переход назван в честь конденсированного состояния физиков Вадима Березинского , Джона М. Костерлица и Дэвида Дж. Таулесса . Переходы БКТ можно обнаружить в нескольких двумерных системах физики конденсированного состояния, которые аппроксимируются XY-моделью, включая массивы джозефсоновских переходов и тонкие неупорядоченные сверхпроводящие гранулированные пленки. Совсем недавно этот термин был применен сообществом двумерных сверхпроводниковых изоляторных переходов к закреплению куперовских пар в изолирующем режиме из-за сходства с исходным вихревым переходом БКТ.

Критическая плотность перехода БКТ в слабовзаимодействующей системе равна

$n_{\text{c}}={\frac {mT}{2\pi }}\ln {\frac {\xi }{mU}}$

где безразмерная константа оказалась равной $\xi =380\pm 3$.

Работа над переходом привела к тому, Нобелевскую премию по физике что Таулесс и Костерлиц получили 2016 года; Березинский умер в 1981 году.

XY-модель

Модель XY — это двумерная модель векторного спина, обладающая U (1) или круговой симметрией. Ожидается, что в этой системе не будет нормального фазового перехода второго рода . Это происходит потому, что ожидаемая упорядоченная фаза системы разрушается поперечными флуктуациями, то есть модами Намбу-Голдстоуна, связанными с этой нарушенной непрерывной симметрией , которые логарифмически расходятся с размером системы. Это частный случай того, что называется теоремой Мермина–Вагнера в спиновых системах.

Строго говоря, переход до конца не изучен, но существование двух фаз было доказано Макбрайаном и Спенсером (1977) и Фрелихом и Спенсером (1981) .

Неупорядоченные фазы с разными корреляциями

В XY-модели в двух измерениях фазовый переход второго рода не наблюдается. Однако обнаруживается низкотемпературная квазиупорядоченная фаза с корреляционной функцией (см. статистическую механику ), убывающей с расстоянием как степень, зависящая от температуры. Переход от высокотемпературной неупорядоченной фазы с экспоненциальной корреляцией к этой низкотемпературной квазиупорядоченной фазе представляет собой переход Костерлица-Таулесса. Это фазовый переход бесконечного порядка.

Роль вихрей

В двумерной модели XY вихри представляют собой топологически стабильные конфигурации. Установлено, что высокотемпературная неупорядоченная фаза с экспоненциальным корреляционным затуханием является результатом образования вихрей. Генерация вихрей становится термодинамически выгодной при критической температуре. $T_{\text{c}}$ перехода Костерлица–Таулесса. При температурах ниже этой корреляция генерации вихрей имеет степенной закон.

Переходы Костерлица-Таулесса описываются как диссоциация связанных вихревых пар с противоположными циркуляциями, называемых парами вихрь-антивихрь, впервые описанная Вадимом Березинским . В этих системах тепловая генерация вихрей приводит к образованию четного числа вихрей противоположного знака. Связанные пары вихрь-антивихрь имеют меньшую энергию, чем свободные вихри, но также имеют меньшую энтропию. Чтобы минимизировать свободную энергию, $F=E-TS$, система претерпевает переход при критической температуре, $T_{\text{c}}$. Ниже $T_{\text{c}}$, существуют только связанные пары вихрь–антивихрь. Выше $T_{\text{c}}$, существуют свободные вихри.

Неофициальное описание

Существует элегантный термодинамический аргумент в пользу перехода Костерлица – Таулеса. Энергия отдельного вихря равна $\kappa \ln(R/a)$, где $\kappa$ – параметр, зависящий от системы, в которой находится вихрь, $R$ размер системы, и $a$ – радиус ядра вихря. Предполагается, что $R\gg a$. В 2D-системе количество возможных положений вихря примерно равно $(R/a)^{2}$. Из формулы энтропии Больцмана : $S=k_{\rm {B}}\ln W$ (где W — число состояний), энтропия равна $S=2k_{\rm {B}}\ln(R/a)$, где $k_{\rm {B}}$ — постоянная Больцмана . Таким образом, свободная энергия Гельмгольца равна

$F=E-TS=(\kappa -2k_{\rm {B}}T)\ln(R/a).$

Когда $F>0$, в системе не будет вихря. С другой стороны, когда $F<0$энтропийные соображения благоприятствуют образованию вихря. Критическую температуру, выше которой могут образовываться вихри, можно найти, полагая $F=0$ и дается

$T_{\text{c}}={\frac {\kappa }{2k_{\rm {B}}}}.$

Переход Костерлица-Таулесса можно наблюдать экспериментально в таких системах, как массивы двумерных джозефсоновских переходов, путем измерения тока и напряжения (IV). Выше $T_{\text{c}}$, зависимость будет линейной $V\sim I$. Чуть ниже $T_{c}$, отношение будет $V\sim I^{3}$, поскольку число свободных вихрей будет иметь вид $I^{2}$. Этот скачок от линейной зависимости свидетельствует о переходе Костерлица–Таулесса и может быть использован для определения $T_{\text{c}}$. Этот подход был использован Resnick et al. для подтверждения перехода Костерлица – Таулеса в массивах бесконтактных джозефсоновских переходов .

Теоретико-полевой анализ

В следующем обсуждении используются методы теории поля. Предположим, что поле φ(x) определено на плоскости и принимает значения в $S^{1}$, так что $\phi (x)$ отождествляется с $\phi (x)+2\pi$. То есть круг реализуется как $S^{1}=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$.

Энергия определяется

$E=\int {\frac {1}{2}}\nabla \phi \cdot \nabla \phi \,d^{2}x$

а фактор Больцмана равен $\exp(-\beta E)$.

Принимая контурный интеграл $\textstyle \oint _{\gamma }d\phi =\oint _{\gamma }{\frac {d\phi }{dx}}dx$ по любому сжимаемому замкнутому пути $\gamma$, мы могли бы ожидать, что оно будет равно нулю (например, согласно фундаментальной теореме исчисления) . Однако это не так из-за сингулярной природы вихрей (которые дают сингулярности в $\phi$).

Чтобы сделать теорию четко определенной, она определена только до некоторой энергетической шкалы. $\Lambda$, чтобы можно было проколоть плоскость в точках расположения вихрей, удалив области размером порядка $1/\Lambda$. Если $\gamma$ один раз наматывается против часовой стрелки вокруг прокола, контурный интеграл $\textstyle \oint _{\gamma }d\phi$ является целым числом, кратным $2\pi$. Значение этого целого числа является индексом векторного поля. $\nabla \phi$.

Предположим, что данная конфигурация поля имеет $N$ проколы, расположенные в $x_{i},i=1,\dots ,N$ каждый с индексом $n_{i}=\pm 1$. Затем, $\phi$ раскладывается в сумму конфигурации поля без проколов, $\phi _{0}$ и $\textstyle \sum _{i=1}^{N}n_{i}\arg(z-z_{i})$, где для удобства мы перешли на комплексные плоские координаты. Функция комплексного аргумента имеет ветвь, но, поскольку $\phi$ определяется по модулю $2\pi$, это не имеет никаких физических последствий.

Сейчас,

$E=\int {\frac {1}{2}}\nabla \phi _{0}\cdot \nabla \phi _{0}\,d^{2}x+\sum _{1\leq i<j\leq N}n_{i}n_{j}\int {\frac {1}{2}}\nabla \ \arg(z-z_{i})\cdot \nabla \arg(z-z_{j})\,d^{2}x$

Если $\textstyle \sum _{i=1}^{N}n_{i}\neq 0$, второе слагаемое положительно и расходится в пределе $\Lambda \to \infty$: конфигурации с несбалансированным числом вихрей каждой ориентации никогда не являются энергетически выгодными.

Однако если нейтральное состояние $\textstyle \sum _{i=1}^{N}n_{i}=0$ имеет место второе слагаемое равно $\textstyle -2\pi \sum _{1\leq i<j\leq N}n_{i}n_{j}\ln(|x_{j}-x_{i}|/L)$, которая представляет собой полную потенциальную энергию двумерного кулоновского газа . Масштаб L представляет собой произвольный масштаб, который делает аргумент логарифма безразмерным.

Предположим случай, когда имеются только вихри кратности $\pm 1$. При низких температурах и больших $\beta$ расстояние между парой вихря и антивихря имеет тенденцию быть чрезвычайно малым, по существу порядка $1/\Lambda$. При больших температурах и малых $\beta$ это расстояние увеличивается, и предпочтительная конфигурация фактически становится конфигурацией газа свободных вихрей и антивихрей. Переход между двумя разными конфигурациями представляет собой фазовый переход Костерлица–Таулесса, а точка перехода связана с рассоединением пар вихрь-антивихрь.

См. также

• Теория КТНИ
• Голдстоун бозон
• Композитный фермион
• Лямбда-переход
• Модель Изинга
• Модель Поттса
• Топологический дефект
• Квантовый вихрь
• Сверхтекучая пленка
• Гексатическая фаза

Ссылки

• Березинский, В. Л. (1970), "Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии I. Классические системы", ЖЭТФ (in Russian), 59 (3): 907–920 . Translation available: Березинский В.Л. (1971), "Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах, имеющих непрерывную группу симметрии I. Классические системы" (PDF) , Сов. Физ. ЖЭТФ , 32 (3): 493–500, Биб .: 1971ЖЭТФ...32..493Б
• Березинский, В. Л. (1971), "Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии II. Квантовые системы", ЖЭТФ (in Russian), 61 (3): 1144–1156 . Translation available: Березинский, В.Л. (1972), "Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах, имеющих непрерывную группу симметрии II. Квантовые системы" (PDF) , Сов. Физ. ЖЭТФ , 34 (3): 610–616, Биб .: 1972ЖЭТФ...34..610Б
• Костерлиц, Дж. М.; Таулесс, DJ (1973), «Упорядочение, метастабильность и фазовые переходы в двумерных системах», Journal of Physics C: Solid State Physics , 6 (7): 1181–1203, Bibcode : 1973JPhC....6.1181K , doi : 10.1088/0022-3719/6/7/010
• МакБрайан, О.; Спенсер, Т. (1977), "О распаде корреляций в SO(n)-симметричных ферромагнетиках", Сообщение. Математика. Физ. , 53 (3): 299, Bibcode : 1977CMaPh..53..299M , doi : 10.1007/BF01609854 , S2CID   119587247
• Б.И. Гальперин , Д.Р. Нельсон , Физ. Преподобный Летт. 41, 121 (1978)
• А. П. Янг, Phys. Ред. Б 19, 1855 г. (1979 г.)
• Резник, диджей; Гарланд, Джей Си; Бойд, Дж. Т.; Шумейкер, С.; Ньюрок, Р.С. (1981), "Переход Костерлица Таулеса в сверхпроводящих массивах с бесконтактной связью", Phys. Преподобный Летт. , 47 (21): 1542, Bibcode : 1981PhRvL..47.1542R , doi : 10.1103/PhysRevLett.47.1542
• Фрелих, Юрг; Спенсер, Томас (1981), «Переход Костерлица – Таулесса в двумерных абелевых спиновых системах и кулоновском газе» , Comm. Математика. Физ. , 81 (4): 527–602, Bibcode : 1981CMaPh..81..527F , doi : 10.1007/bf01208273 , S2CID   73555642
• З. Хаджибабич; и др. (2006), «Кроссовер Березинского-Костерлица-Таулеса в захваченном атомном газе», Nature , 41 (7097): 1118–21, arXiv : cond-mat/0605291 , Bibcode : 2006Natur.441.1118H , doi : 10.1038/nature04851 , ПМИД   16810249 , S2CID   4314014
• М. Мондаль; и др. (2011), «Роль энергии вихревого ядра на переходе Бересинского-Костерлица-Таулесса в тонких пленках NbN», Phys. Преподобный Летт. , 107 (21): 217003, arXiv : 1108.0912 , Bibcode : 2011PhRvL.107u7003M , doi : 10.1103/PhysRevLett.107.217003 , PMID   22181915 , S2CID   34729666

Книги

• Дж. В. Хосе, 40 лет теории Березинского–Костерлица–Таулеса , World Scientific , 2013, ISBN   978-981-4417-65-5
• Х. Кляйнерт , Калибровочные поля в конденсированном состоянии , Vol. I, «СУПЕРПОТОКИ И ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ», стр. 1–742, World Scientific (Сингапур, 1989) ; Мягкая обложка ISBN   9971-5-0210-0 (также доступен в Интернете: Том I. Прочтите стр. 618–688);
• Х. Кляйнерт , Многозначные поля в конденсированном веществе, электродинамике и гравитации , World Scientific (Сингапур, 2008) (также доступно онлайн: здесь )