Теорема Атьи–Ботта о неподвижной точке

Чтобы узнать о других значениях, см. формулу Атьи – Ботта .

В математике теорема Атьи -Ботта о неподвижной точке , доказанная Майклом Атьей и Раулем Боттом в 1960-х годах, представляет собой общую форму теоремы Лефшеца о неподвижной точке для гладких многообразий M которая использует эллиптический комплекс на M. , Это система эллиптических дифференциальных операторов на векторных расслоениях , обобщающая комплекс де Рама, построенный из гладких дифференциальных форм , который появляется в исходной теореме Лефшеца о неподвижной точке.

Формулировка

Идея состоит в том, чтобы найти правильную замену числа Лефшеца , которое в классическом результате является целым числом, подсчитывающим правильный вклад неподвижной точки гладкого отображения.

$f\colon M\to M.$

Интуитивно понятно, что неподвижные точки — это точки пересечения графика функции f с диагональю (графиком тождественного отображения) в $M\times M$, и число Лефшеца тем самым становится числом пересечения . Теорема Атьи-Ботта представляет собой уравнение, в котором LHS должна быть результатом глобального топологического (гомологического) расчета, а RHS - суммой локальных вкладов в фиксированных точках f .

Подсчет коразмерностей в $M\times M$, предположение трансверсальности графика f и диагонали должно гарантировать, что множество неподвижных точек является нульмерным. Предполагая, что M должно замкнутое многообразие, гарантировать, что множество пересечений конечно, что дает конечное суммирование в качестве правой части ожидаемой формулы. Дополнительные необходимые данные относятся к эллиптическому комплексу векторных расслоений. $E_{j}$, а именно карта расслоения

$\varphi _{j}\colon f^{-1}(E_{j})\to E_{j}$

для каждого j , такие, что полученные отображения на сечениях порождают эндоморфизм эллиптического комплекса $T$. Поиск эндоморфизма $T$ имеет число Лефшеца

$L(T),$

который по определению является попеременной суммой его следов на каждой градуированной части гомологий эллиптического комплекса.

Тогда вид теоремы будет

$L(T)=\sum _{x}\left(\sum _{j}(-1)^{j}\mathrm {trace} \,\varphi _{j,x}\right)/\delta (x).$

Здесь проследить $\varphi _{j,x}$ означает след $\varphi _{j}$ в фиксированной точке x функции f и $\delta (x)$ является определителем эндоморфизма $I-Df$ в х , с $Df$ производная f (ее ненулевое значение является следствием трансверсальности). Внешнее суммирование проводится по фиксированным точкам x , а внутреннее суммирование по индексу j в эллиптическом комплексе.

Специализация теоремы Атьи – Ботта на комплексе де Рама гладких дифференциальных форм дает исходную формулу Лефшеца для неподвижной точки. Знаменитое применение теоремы Атьи-Ботта представляет собой простое доказательство формулы характера Вейля в теории групп Ли .

История

Ранняя история этого результата связана с историей теоремы об индексе Атьи-Зингера . Был и другой исходный материал, о чем свидетельствует альтернативное название «Теорема Вудса Хоула о неподвижной точке» , которое использовалось в прошлом (собственно, относится к случаю изолированных неподвижных точек). Встреча 1964 года в Вудс-Хоуле собрала разнообразную группу:

Эйхлер начал взаимодействие между теоремами о неподвижной точке и автоморфными формами . Шимура сыграл важную роль в этом развитии, объяснив это Ботту на конференции в Вудс-Хоуле в 1964 году.

Как говорит Атья:

[на конференции]... Ботт и я узнали о гипотезе Шимуры относительно обобщения формулы Лефшеца для голоморфных отображений. После долгих усилий мы убедили себя, что должна быть общая формула такого типа [...]; .

и они пришли к версии для эллиптических комплексов.

По воспоминаниям Уильяма Фултона , который также присутствовал на конференции, первым, кто представил доказательство, был Жан-Луи Вердье .

Доказательства

В контексте алгебраической геометрии это утверждение применимо для гладких и собственных многообразий над алгебраически замкнутым полем. Этот вариант формулы Атьи-Ботта с неподвижной точкой был доказан Кондыревым и Приходько (2018) , выразив обе части формулы в виде правильно выбранных категориальных следов .

См. также

• Формула остатка Ботта

Ссылки

• Атья, Майкл Ф .; Ботт, Рауль (1966), «Формула Лефшеца с фиксированной точкой для эллиптических дифференциальных операторов» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 72 (2): 245–50, doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11483- 0 . Это формулирует теорему о вычислении числа Лефшеца эндоморфизма эллиптического комплекса.
• Атья, Майкл Ф .; Ботт, Рауль (1967), «Формула Лефшеца с фиксированной точкой для эллиптических комплексов: I», Annals of Mathematics , Second Series, 86 (2): 374–407, doi : 10.2307/1970694 , JSTOR   1970694 и Атья, Майкл Ф .; Ботт, Рауль (1968), «Формула Лефшеца с фиксированной точкой для эллиптических комплексов: II. Приложения», Annals of Mathematics , Second Series, 88 (3): 451–491, doi : 10.2307/1970721 , JSTOR   1970721 . Здесь приведены доказательства и некоторые приложения результатов, анонсированных в предыдущей статье.

• Кондырев, Григорий; Приходько, Артем (2018), «Категорическое доказательство голоморфной формулы Атьи – Ботта», J. Inst. Математика. Жюсье : 1–25, arXiv : 1607.06345 , doi : 10.1017/S1474748018000543

Внешние ссылки

• Ту, Лоринг В. (21 декабря 2005 г.). «Теорема Атьи-Ботта о неподвижной точке» . Жизнь и творчество Рауля Ботта .
• Ту, Лоринг В. (ноябрь 2015 г.). «О происхождении теоремы Вудса о неподвижной точке» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 1200–1206.