Производные Помпея

В математическом анализе производная Помпейю — это вещественная функция производной одной действительной переменной, которая является всюду дифференцируемой функции и обращается в нуль в плотном множестве . В частности, производная Помпейю разрывна в каждой точке, где она не равна 0. Могут ли существовать неидентично нулевые такие функции, возникла проблема, возникшая в контексте исследований функциональной дифференцируемости и интегрируемости в начале 1900-х годов . На этот вопрос утвердительно ответил Дмитрий Помпейу , приведя явный пример; поэтому эти функции названы в его честь.

Строительство Помпея

Строительство Помпея описано здесь. Позволять ${\sqrt[{3}]{x}}$ обозначают действительный кубический корень действительного числа $x$ . Позволять $\{q_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ быть перечислением рациональных чисел в единичном интервале $[0, 1]$ . Позволять $\{a_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ быть положительными действительными числами с $\sum _{j}a_{j}<\infty$ . Определять $g\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ к

g(x):=a_{0}+\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{x-q_{j}}}.

Для каждого $x$ в $[0, 1]$ каждый член ряда меньше или равен $a j$ по абсолютной величине, поэтому ряд равномерно сходится к непрерывной, строго возрастающей функции $g (x)$ по Вейерштрасса $M$ -тесту . Более того, оказывается, что функция $g$ дифференцируема, причем

g'(x):={\frac {1}{3}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {a_{j}}{\sqrt[{3}]{(x-q_{j})^{2}}}}>0,

в каждой точке, где сумма конечна; также во всех остальных точках, в частности, в каждой из $q j$ , $g'(x) := +\infty$ . Поскольку образ g $замкнутый$ представляет собой ограниченный интервал с левым концом

g(0)=a_{0}-\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{q_{j}}},

вплоть до выбора $a_{0}$ , мы можем предположить $g(0)=0$ и с точностью до выбора мультипликативного множителя можно считать, что $g$ отображает интервал $[0, 1]$ на себя. Поскольку $g$ строго возрастает, она инъективна и, следовательно, является гомеоморфизмом ; и по теореме о дифференцировании обратной функции ее обратная $f := g -1$ имеет конечную производную в каждой точке, которая обращается в нуль по крайней мере в точках $\{g(q_{j})\}_{j\in \mathbb {N} }.$ Они образуют плотное подмножество $[0, 1]$ (на самом деле оно обращается в нуль во многих других точках; см. ниже).

Характеристики

Известно, что нулевое множество производной любой всюду дифференцируемой функции (и, вообще, любой функции Бэра класса один ) является $G δ$ подмножеством действительной прямой. По определению, для любой функции Помпейю это множество является плотным $множеством G δ$ ; следовательно, это остаточный набор . В частности, он обладает бесчисленным множеством пунктов.
Линейная комбинация $af (x) + bg (x)$ функций Помпейю является производной и обращается в нуль на множестве ${f = 0} \cap {g = 0}$ , которое является плотным $G_{\delta }$ устанавливается теоремой Бэра о категориях. Таким образом, функции Помпейю образуют векторное пространство функций.
Предельная функция равномерно сходящейся последовательности производных Помпейю является производной Помпейю. Действительно, это производная в силу теоремы о пределе под знаком производной. При этом оно обращается в нуль при пересечении нулевых множеств функций последовательности: поскольку это плотные $G δ-$ множества, то и нулевое множество предельной функции плотно.
Как следствие, класс $E$ всех ограниченных производных Помпейю на интервале $[a, b]$ является замкнутым линейным подпространством банахова пространства всех ограниченных функций на равномерном расстоянии (следовательно, это банахово пространство).
функции Помпейю Приведенная выше конструкция положительной является довольно своеобразным примером функции Помпейю: теорема Вейля утверждает, что в общем случае производная Помпейю принимает как положительные, так и отрицательные значения в плотных множествах, в том точном смысле, что такие функции составляют остаточное множество Банахово пространство $E$ .

Ссылки

Помпей, Дмитрий (1907). «О производных функциях». Mathematische Annalen (на французском языке). 63 (3): 326–332. дои : 10.1007/BF01449201 . МР 1511410 .
Эндрю М. Брукнер, «Дифференцирование действительных функций»; Серия монографий CRM, Монреаль (1994).