Золотой треугольник (математика)

Золотой треугольник. Отношение a/b — это золотое сечение φ. Угол при вершине $\theta =36^{\circ }$. Базовые углы составляют по 72° каждый.

Золотой гномон, имеющий длину стороны 1, 1 и $\phi$

Золотой треугольник , также называемый возвышенным треугольником , представляет собой равнобедренный треугольник , в котором двойная сторона находится в золотом сечении $\varphi$ в сторону основания:

${a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\approx 1.618034~.$

Углы

• при вершине Угол равен:

$\theta =2\arcsin {b \over 2a}=2\arcsin {1 \over 2\varphi }=2\arcsin {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.$

Следовательно, золотой треугольник является остроугольным (равнобедренным) треугольником.

• Так как сумма углов треугольника равна $\pi$ радиан, каждый из основных углов (CBX и CXB) равен:

$\beta ={{\pi -{\pi \over 5}} \over 2}~{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.$

Примечание:

$\beta =\arccos \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\,{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.$

• Золотой треугольник однозначно идентифицируется как единственный треугольник, три угла которого имеют соотношение 1:2:2 (36°, 72°, 72°).

В других геометрических фигурах

Золотой треугольник в правильном десятиугольнике

• Золотые треугольники можно найти в вершинах правильных пентаграмм .
• Золотые треугольники можно найти и в правильном десятиугольнике , равноугольном и равностороннем десятиугольнике , соединив любые две соседние вершины с центром. Это потому, что: 180(10−2)/10 = 144° — это внутренний угол, а делим его пополам через вершину к центру: 144/2 = 72°.
• Также золотые треугольники встречаются в сетках нескольких звездочек додекаэдров и икосаэдров .

Логарифмическая спираль

Золотые треугольники, вписанные в логарифмическую спираль.

Золотой треугольник используется для формирования некоторых точек логарифмической спирали . При делении одного из основных углов пополам создается новая точка, которая, в свою очередь, образует еще один золотой треугольник. Процесс деления пополам можно продолжать бесконечно, создавая бесконечное количество золотых треугольников. Через вершины можно провести логарифмическую спираль. Эта спираль также известна как равноугольная спираль — термин, придуманный Рене Декартом . «Если от полюса до любой точки кривой провести прямую линию, она разрезает кривую точно под тем же углом», следовательно, она равноугольная . Эта спираль отличается от золотой спирали : золотая спираль увеличивается на коэффициент золотого сечения за каждую четверть оборота, тогда как спираль, проходящая через эти золотые треугольники, требует угла 108 °, чтобы вырасти на тот же коэффициент.

Золотой гномон

Золотой треугольник, разделенный пополам треугольниками Робинсона: золотой треугольник и золотой гномон.

Золотой треугольник (красный), а также большой (синий) и маленький (зеленый) золотые гномоны в правильной пентаграмме.

С золотым треугольником тесно связан золотой гномон , который представляет собой равнобедренный треугольник, в котором отношение длин равных сторон к длине основания является обратным ${\tfrac {1}{\varphi }}$ золотого сечения $\varphi$.

«У золотого треугольника отношение длины основания к длине стороны равно золотому сечению φ, тогда как у золотого гномона отношение длины стороны к длине основания равно золотому сечению φ».

${a' \over b'}={1 \over \varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \over 2}\approx 0.618034.$

Углы

(Расстояния AX и CX равны a ′ = a = φ, а расстояние AC равно b ′ = φ², как показано на рисунке.)

• Угол при вершине AXC равен:

$\theta '=2\arcsin {b' \over {2a'}}=2\arcsin {{\varphi ^{2}} \over {2\varphi }}=2\arcsin {{1+{\sqrt {5}}} \over 4}={3\pi \over 5}~{\text{rad}}=108^{\circ }.$

Следовательно, золотой гномон представляет собой тупоугольный (равнобедренный) треугольник.

$($Примечание: $\theta '=\arccos \left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={3\pi \over 5}~{\text{rad}}=108^{\circ }.)$

• Так как сумма углов треугольника AXC равна $\pi$ радиан, каждый из основных углов CAX и ACX равен:

$\beta '=\theta ={\pi -{3\pi \over 5} \over 2}~{\text{rad}}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.$

Примечание: $\beta '=\theta =\arccos \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.$

• Золотой гномон однозначно идентифицируется как треугольник, имеющий три угла в соотношении 1:1:3 (36°, 36°, 108°). Его базовые углы составляют по 36° каждый, что соответствует вершине золотого треугольника.

биссектрисы

• Разделив один из основных углов пополам , золотой треугольник можно разделить на золотой треугольник и золотой гномон.
• Разделив угол при вершине на три части, золотой гномон можно разделить на золотой треугольник и золотой гномон.
• Золотой гномон и золотой треугольник, у которых равные стороны равны друг другу по длине, также называются тупым и острым треугольниками Робинсона.

плитки

• Золотой треугольник и два золотых гномона образуют правильный пятиугольник .
• Эти равнобедренные треугольники можно использовать для создания мозаики Пенроуза . Плитки Пенроуза сделаны из воздушных змеев и дротиков. Воздушный змей состоит из двух золотых треугольников, а дротик — из двух гномонов.

См. также

• Золотой прямоугольник
• Золотой ромб
• Треугольник Кеплера
• Золотой треугольник Кимберлинга
• Лютня Пифагора
• Пентаграмма
• Золотой треугольник (композиция)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Золотой треугольник» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Золотой гномон» . Математический мир .
• Треугольники Робинсона в энциклопедии Tilings
• Золотой треугольник по Евклиду
• Необычайная взаимность золотых треугольников в Тартапелаго, Джорджо Пьетрокола.