Инварианты Зайберга–Виттена

В математике, и особенно в калибровочной теории , инварианты Зайберга-Виттена представляют собой инварианты компактных гладких ориентированных 4-многообразий, введенных Эдвардом Виттеном ( 1994 ) с использованием теории Зайберга-Виттена , изученной Натаном Зайбергом и Виттеном ( 1994a , 1994b ) во время их исследований Калибровочная теория Зайберга–Виттена .

Инварианты Зайберга–Виттена подобны инвариантам Дональдсона и могут использоваться для доказательства аналогичных (но иногда немного более сильных) результатов о гладких 4-многообразиях. Технически с ними гораздо проще работать, чем с инвариантами Дональдсона; например, пространства модулей решений уравнений Зайберга – Виттена имеют тенденцию быть компактными, поэтому можно избежать сложных проблем, связанных с компактификацией пространств модулей в теории Дональдсона.

Подробное описание инвариантов Зайберга-Виттена см. ( Дональдсон 1996 ), ( Мур 2001 ), ( Морган 1996 ), ( Николаеску 2000 ), ( Скорпан 2005 , глава 10). Относительно симплектических многообразий и инвариантов Громова–Виттена см. ( Taubes 2000 ). О ранней истории см. ( Jackson 1995 ).

Вращаться ^с -структуры

Спин ^с группа (в размерности 4) есть

$(U(1)\times \mathrm {Spin} (4))/(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ).$

где $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ выступает знаком обоих факторов. Группа имеет естественный гомоморфизм к SO(4) = Spin(4)/±1 .

Для компактного ориентированного 4-многообразия выберите гладкую риманову метрику $g$ с подключением Леви Чивита $\nabla ^{g}$. Это сводит структурную группу от компонента связности GL(4) ₊ к SO(4) и безвредно с гомотопической точки зрения. Вращение ^с -структура или сложная спиновая структура на M представляет собой приведение структурной группы к Spin ^с , т.е. поднятие структуры SO(4) на касательном расслоении до группы Spin ^с . По теореме Хирцебруха и Хопфа каждое гладкое ориентированное компактное 4-многообразие $M$ допускает вращение ^с структура. Существование спина ^с структура эквивалентна существованию лифта второго класса Штифеля–Уитни. $w_{2}(M)\in H^{2}(M,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ в класс $K\in H^{2}(M,\mathbb {Z} ).$ И наоборот, такой подъем определяет вращение. ^с конструкция до 2 кручения в $H^{2}(M,\mathbb {Z} ).$ Собственно спиновая структура требует более ограничительных $w_{2}(M)=0.$

Вращение ^с структура определяет (и определяется) спинорное расслоение $W=W^{+}\oplus W^{-}$ исходя из 2-х комплексного положительного и отрицательного спинорного представления Spin(4), на которое U(1) действует путем умножения. У нас есть $K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})$. Спинорное расслоение $W$ поставляется с градуированным представлением расслоения алгебры Клиффорда, т.е. картой $\gamma :\mathrm {Cliff} (M,g)\to {\mathcal {E}}{\mathit {nd}}(W)$ такая, что для каждой 1 формы $a$ у нас есть $\gamma (a):W^{\pm }\to W^{\mp }$ и $\gamma (a)^{2}=-g(a,a)$. Существует уникальная эрмитова метрика $h$ на $W$ ул. $\gamma (a)$ является асимметричной эрмитовой формой для действительных 1 форм $a$. Это дает индуцированное действие форм $\wedge ^{*}M$ путем антисимметризации. В частности, это дает изоморфизм $\wedge ^{+}M\cong {\mathcal {E}}{\mathit {nd}}_{0}^{sh}(W^{+})$ двух самодвойственных форм с бесследовыми косыми эрмитовыми эндоморфизмами $W^{+}$ которые затем идентифицируются.

Уравнения Зайберга – Виттена

Позволять $L=\det(W^{+})\equiv \det(W^{-})$ быть детерминантным расслоением с $c_{1}(L)=K$. Для каждого соединения $\nabla _{A}=\nabla _{0}+A$ с $A\in iA_{\mathbb {R} }^{1}(M)$ на $L$, существует единственная спинорная связность $\nabla ^{A}$ на $W$ то есть соединение такое, что $\nabla _{X}^{A}(\gamma (a)):=[\nabla _{X}^{A},\gamma (a)]=\gamma (\nabla _{X}^{g}a)$ за каждую 1-форму $a$ и векторное поле $X$. Тогда связность Клиффорда определяет оператор Дирака. $D^{A}=\gamma \otimes 1\circ \nabla ^{A}=\gamma (dx^{\mu })\nabla _{\mu }^{A}$ на $W$. Группа карт ${\mathcal {G}}=\{u:M\to U(1)\}$ действует как калибровочная группа на множестве всех связностей на $L$. Действие ${\mathcal {G}}$ может быть «фиксированным калибром», например, по условию $d^{*}A=0$, оставляя эффективную параметризацию пространства всех таких связей $H^{1}(M,\mathbb {R} )^{\mathrm {harm} }/H^{1}(M,\mathbb {Z} )\oplus d^{*}A_{\mathbb {R} }^{+}(M)$ с остатком $U(1)$ оценить групповое действие.

Писать $\phi$ для спинорного поля положительной киральности, т.е. участка $W^{+}$. Уравнения Зайберга–Виттена для $(\phi ,\nabla ^{A})$ сейчас

$D^{A}\phi =0$

$F_{A}^{+}=\sigma (\phi )+i\omega$

Здесь $F^{A}\in iA_{\mathbb {R} }^{2}(M)$ является замкнутой 2-формой кривизны $\nabla ^{A}$, $F_{A}^{+}$ — его самодвойственная часть, а σ — возведение в квадрат. $\phi \mapsto \left(\phi h(\phi ,-)-{\tfrac {1}{2}}h(\phi ,\phi )1_{W^{+}}\right)$ от $W^{+}$ бесследному эрмитовому эндоморфизму $W^{+}$ отождествляется с воображаемой самодвойственной 2-формой, и $\omega$ представляет собой реальную самодвойственную форму, часто принимаемую за нулевую или гармоническую. Группа датчиков ${\mathcal {G}}$ действует в пространстве решений. После добавления условия крепления манометра $d^{*}A=0$ невязка U(1) действует свободно, за исключением «приводимых решений» с $\phi =0$. По техническим причинам уравнения фактически определяются в подходящих пространствах Соболева достаточно высокой регулярности.

Применение формулы Вайценбека

${\nabla ^{A}}^{*}\nabla ^{A}\phi =(D^{A})^{2}\phi -({\tfrac {1}{2}}\gamma (F_{A}^{+})+s)\phi$

и личность

$\Delta _{g}|\phi |_{h}^{2}=2h({\nabla ^{A}}^{*}\nabla ^{A}\phi ,\phi )-2|\nabla ^{A}\phi |_{g\otimes h}$

решениям уравнений дает равенство

$\Delta |\phi |^{2}+|\nabla ^{A}\phi |^{2}+{\tfrac {1}{4}}|\phi |^{4}=(-s)|\phi |^{2}-{\tfrac {1}{2}}h(\phi ,\gamma (\omega )\phi )$.

Если $|\phi |^{2}$ максимальное $\Delta |\phi |^{2}\geq 0$, поэтому это показывает, что для любого решения норма sup $\|\phi \|_{\infty }$ ограничена априори , причем граница зависит только от скалярной кривизны $s$ из $(M,g)$ и самодвойственная форма $\omega$. После добавления условия фиксации калибровки эллиптическая регулярность уравнения Дирака показывает, что решения фактически априори ограничены в соболевских нормах произвольной регулярности, что показывает, что все решения гладкие, и что пространство всех решений с точностью до калибровочной эквивалентности компактно.

Решения $(\phi ,\nabla ^{A})$ уравнений Зайберга–Виттена называются монополями , поскольку эти уравнения представляют собой уравнения поля безмассовых магнитных монополей на многообразии $M$.

Пространство модулей решений

На пространство решений действует калибровочная группа, а фактор по этому действию называется пространством модулей монополей.

Пространство модулей обычно представляет собой многообразие. Для общих метрик после фиксации калибровки уравнения поперечно вырезают пространство решений и, таким образом, определяют гладкое многообразие. Остаточная U(1) калибровочная группа U(1) с «фиксированной калибровкой» действует свободно, за исключением приводимых монополей, т.е. решений с $\phi =0$. По теореме об индексе Атьи – Зингера пространство модулей конечномерно и имеет «виртуальную размерность».

$(K^{2}-2\chi _{\mathrm {top} }(M)-3\operatorname {sign} (M))/4$

что для общих метрик является фактическим измерением вдали от приводимых величин. Это означает, что пространство модулей в общем случае пусто, если виртуальная размерность отрицательна.

Для самодвойной формы 2 $\omega$, приводимые решения имеют $\phi =0$, и поэтому определяются связями $\nabla _{A}=\nabla _{0}+A$ на $L$ такой, что $F_{0}+dA=i(\alpha +\omega )$ для какой-то антисамодуальной 2-формы $\alpha$. По разложению Ходжа , поскольку $F_{0}$ замкнуто, единственное препятствие для решения этого уравнения для $A$ данный $\alpha$ и $\omega$, является гармонической частью $\alpha$ и $\omega$, и гармоническая часть или, что то же самое, класс когомологий (де Рама) формы кривизны, т.е. $[F_{0}]=F_{0}^{\mathrm {harm} }=i(\omega ^{\mathrm {harm} }+\alpha ^{\mathrm {harm} })\in H^{2}(M,\mathbb {R} )$. Таким образом, поскольку $[{\tfrac {1}{2\pi i}}F_{0}]=K$ необходимым и достаточным условием приводимости решения является

$\omega ^{\mathrm {harm} }\in 2\pi K+{\mathcal {H}}^{-}\in H^{2}(X,\mathbb {R} )$

где ${\mathcal {H}}^{-}$ — пространство гармонических антиавтодуальных 2-форм. Две формы $\omega$ является $K$-допустимо, если это условие не выполнено и решения обязательно неприводимы. В частности, для $b^{+}\geq 1$пространство модулей представляет собой (возможно, пустое) компактное многообразие для метрик общего положения и допустимых $\omega$. Обратите внимание, что если $b_{+}\geq 2$ пространство $K$-допустимые две формы связаны, тогда как если $b_{+}=1$ он имеет две связные компоненты (камеры). Пространству модулей можно придать естественную ориентацию, исходя из ориентации на пространстве положительных гармонических 2-форм и первых когомологий.

Априорная граница решений также дает априорные границы $F^{\mathrm {harm} }$. Поэтому существуют (для фиксированных $\omega$) только конечное число $K\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )$, и, следовательно, только конечное число Spin ^с структуры с непустым пространством модулей.

Инварианты Зайберга–Виттена

Инвариант Зайберга–Виттена четырёхмногообразия M с b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2 — отображение спина ^с структуры М до Я. от Значение инварианта на спине ^с Структуру легче всего определить, когда пространство модулей нульмерно (для общей метрики). В этом случае значением является количество элементов пространства модулей, посчитанное со знаками.

Инвариант Зайберга–Виттена можно определить также, когда b ₂ ⁺ ( M ) = 1, но тогда это зависит от выбора камеры.

многообразие M Говорят, что имеет простой тип , если инвариант Зайберга–Виттена обращается в нуль всякий раз, когда ожидаемая размерность пространства модулей не равна нулю. Гипотеза простого типа утверждает, что если M односвязно и b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2, то многообразие имеет простой тип. Это верно для симплектических многообразий.

Если многообразие M имеет метрику положительной скалярной кривизны и b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2, то все инварианты Зайберга–Виттена M исчезают.

Если многообразие M является связной суммой двух многообразий, каждое из которых имеет b ₂ ⁺ ≥ 1, то все инварианты Зайберга–Виттена M исчезают.

Если многообразие M односвязно и симплектично и b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2, то он имеет спин ^с структура s , на которой инвариант Зайберга–Виттена равен 1. В частности, ее нельзя расщепить как связную сумму многообразий с b ₂ ⁺  ≥ 1.

Ссылки

• Дональдсон, Саймон К. (1996), «Уравнения Зайберга-Виттена и топология 4-многообразия», Бюллетень Американского математического общества , (NS), 33 (1): 45–70, doi : 10.1090/S0273-0979 -96-00625-8 , МР   1339810
• Джексон, Аллин (1995), Революция в математике , заархивировано из оригинала 26 апреля 2010 г.
• Морган, Джон В. (1996), Уравнения Зайберга – Виттена и приложения к топологии гладких четырехмногообразий , Математические заметки, том. 44, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , стр. viii+128, ISBN  978-0-691-02597-1 , МР   1367507
• Мур, Джон Дуглас (2001), Лекции по инвариантам Зайберга-Виттена , Конспекты лекций по математике, том. 1629 (2-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, стр. viii+121, CiteSeerX   10.1.1.252.2658 , doi : 10.1007/BFb0092948 , ISBN  978-3-540-41221-2 , МР   1830497
• Нэш, Ч. (2001) [1994], «Уравнения Зайберга-Виттена» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Николаеску, Ливиу И. (2000), Заметки по теории Зайберга-Виттена (PDF) , Аспирантура по математике , том. 28, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xviii+484, doi : 10.1090/gsm/028 , ISBN  978-0-8218-2145-9 , МР   1787219
• Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-3749-8 , МР   2136212 .
• Зайберг, Натан ; Виттен, Эдвард (1994a), «Электро-магнитная двойственность, монопольная конденсация и конфайнмент в суперсимметричной теории Янга-Миллса N = 2», Nuclear Physics B , 426 (1): 19–52, arXiv : hep-th/9407087 , Бибкод : 1994NuPhB.426...19S , номер doi : 10.1016/0550-3213(94)90124-4 , MR   1293681 , S2CID   14361074 ; «Ошибка», Nuclear Physics B , 430 (2): 485–486, 1994, Бибкод : 1994NuPhB.430..485. , doi : 10.1016/0550-3213(94)00449-8 , МР   1303306
• Зайберг, Н .; Виттен, Э. (1994b), «Монополи, дуальность и нарушение киральной симметрии в суперсимметричной КХД N = 2», Nuclear Physics B , 431 (3): 484–550, arXiv : hep-th/9408099 , Bibcode : 1994NuPhB.431 ..484S , doi : 10.1016/0550-3213(94)90214-3 , MR   1306869 , S2CID   17584951
• Таубс, Клиффорд Генри (2000), Вентворт, Ричард (редактор), Зайберг, Инварианты Виттена и Громова для симплектических 4-многообразий , Первая международная серия лекций для прессы, том. 2, Сомервилл, Массачусетс: International Press, стр. vi+401, ISBN.  978-1-57146-061-5 , МР   1798809
• Виттен, Эдвард (1994), «Монополи и четырехмногообразия». , Mathematical Research Letters , 1 (6): 769–796, arXiv : hep-th/9411102 , Bibcode : 1994MRLet...1..769W , doi : 10.4310/MRL.1994.v1.n6.a13 , MR   1306021 , S2CID   10611124 , заархивировано из оригинала 29 июня 2013 г.