Производная Фокса

В математике производная Фокса представляет собой алгебраическую конструкцию в теории свободных групп обычной производной исчисления , которая имеет много общего с . Производную Фокса и связанные с ней концепции часто называют исчислением Фокса или (исходный термин Фокса) свободным дифференциальным исчислением . Производная Фокса была разработана в серии из пяти статей математика Ральфа Фокса , опубликованных в журнале Annals of Mathematics начиная с 1953 года.

Определение

Если G — свободная группа с единичным элементом e и генераторами gi _в , то производная Фокса по gi _— это функция из G целочисленное групповое кольцо. $\mathbb {Z} G$ который обозначается ${\frac {\partial }{\partial g_{i}}}$и подчиняется следующим аксиомам :

• ${\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(g_{j})=\delta _{ij}$, где $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера
• ${\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(e)=0$
• ${\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(uv)={\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u)+u{\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(v)$ для любых элементов u и v из G .

Первые две аксиомы идентичны аналогичным свойствам частной производной исчисления, а третья представляет собой модифицированную версию правила произведения . Как следствие аксиом, имеем следующую формулу для обратных

• ${\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u^{-1})=-u^{-1}{\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u)$ для любого элемента u из G .

Приложения

Производная Фокса имеет приложения в когомологиях групп , теории узлов и теории покрывающих пространств , а также в других областях математики.

См. также

• полином Александера
• Бесплатная группа
• Кольцо (математика)
• Интегральная область
• Вывод (дифференциальная алгебра)

Ссылки

• Браун, Кеннет С. (1972). Когомологии групп . Тексты для аспирантов по математике . Том. 87. Спрингер Верлаг . ISBN  0-387-90688-6 . МР   0672956 .
• Фокс, Ральф (май 1953 г.). «Свободное дифференциальное исчисление, I: Вывод в кольце свободных групп». Анналы математики . 57 (3): 547–560. дои : 10.2307/1969736 . JSTOR   1969736 . МР   0053938 .
• Фокс, Ральф (март 1954 г.). «Свободное дифференциальное исчисление, II: проблема изоморфизма групп». Анналы математики . 59 (2): 196–210. дои : 10.2307/1969686 . JSTOR   1969686 . МР   0062125 .
• Фокс, Ральф (ноябрь 1956 г.). «Свободное дифференциальное исчисление, III: Подгруппы». Анналы математики . 64 (2): 407–419. дои : 10.2307/1969592 . JSTOR   1969592 . МР   0095876 .
• Чен, Го-Цай ; Ральф Фокс; Роджер Линдон (июль 1958 г.). «Свободное дифференциальное исчисление, IV: факторгруппы нижнего центрального ряда». Анналы математики . 68 (1): 81–95. дои : 10.2307/1970044 . JSTOR   1970044 . МР   0102539 .
• Фокс, Ральф (май 1960 г.). «Свободное дифференциальное исчисление, V: повторное исследование матриц Александра». Анналы математики . 71 (3): 408–422. дои : 10.2307/1969936 . JSTOR   1969936 . МР   0111781 .