Модуль без скручивания

В алгебре модуль без кручения — это модуль над кольцом, такой, что ноль — единственный элемент, аннулируемый ( регулярным элементом не делителем нуля ) кольца. Другими словами, модуль без кручения , если его подмодуль кручения содержит только нулевой элемент.

В областях целостности регулярными элементами кольца являются его ненулевые элементы, поэтому в этом случае модуль без кручения - это модуль, у которого нуль является единственным элементом, аннулируемым некоторым ненулевым элементом кольца. Некоторые авторы работают только над областями целостности и используют это условие в качестве определения модуля без кручения, но это не работает для более общих колец, поскольку, если кольцо содержит делители нуля, то единственным модулем, удовлетворяющим этому условию, является нулевой модуль. модуль .

Примеры модулей без кручения

Над коммутативным кольцом R с тотальным факторкольцом K модуль M не имеет кручения тогда и только тогда, когда Tor ₁ ( K / R , M ) обращается в нуль. Поэтому плоские модули , и в частности свободные и проективные модули , не имеют кручения, но обратное не обязательно верно. Примером модуля без кручения, который не является плоским, является идеал ( x , y ) кольца многочленов k [ x , y ] над полем k , интерпретируемый как модуль над k [ x , y ].

Любой модуль без кручения над областью является модулем без кручения, но обратное неверно, поскольку Q -модуль без кручения — Z , который не является без кручения.

Структура модулей без кручения

В нётеровой области целостности модули без кручения — это модули, единственное ассоциированное простое число которых равно нулю. В более общем смысле, над нётеровым коммутативным кольцом модули без кручения — это те модули, все ассоциированные простые числа которых содержатся в ассоциированных простых числах кольца.

Над нетеровой целозамкнутой областью любой конечно порожденный модуль без кручения имеет свободный подмодуль такой, фактор по которому изоморфен идеалу кольца.

В дедекиндовой области конечно порожденный модуль не имеет кручения тогда и только тогда, когда он проективен, но, вообще говоря, не свободен. Любой такой модуль изоморфен сумме конечно-порожденного свободного модуля и идеала, и класс идеала однозначно определяется модулем.

В области главных идеалов конечно порожденные модули не имеют кручения тогда и только тогда, когда они свободны.

Крышки без перекручивания

В области целостности каждый модуль M имеет накрытие без кручения F → M без кручения из модуля F на M со свойствами, что любой другой модуль без кручения, отображающийся на , факторизуется через F и любой эндоморфизм F M над M является автоморфизмом F . Такое накрытие M без кручения единственно с точностью до изоморфизма. Крышки без кручения тесно связаны с плоскими крышками .

Квазикогерентные пучки без кручения

Квазикогерентный пучок F над схемой X это пучок — ${\mathcal {O}}_{X}$ -модулей таких, что для любой открытой аффинной подсхемы U = Spec( R ) ограничение F | _U ассоциирован некоторым модулем M над R. с Пучок F называется без кручения, если все модули M не имеют кручения над своими соответствующими кольцами. Альтернативно, F не имеет кручения тогда и только тогда, когда он не имеет локальных крученых участков. ^[1]