Абелева группа без кручения

В математике , особенно в абстрактной алгебре , абелева группа без кручения — это абелева группа , не имеющая нетривиальных периодических элементов; то есть группа , в которой групповая операция коммутативна , а единичный элемент является единственным элементом с конечным порядком .

Хотя конечно порожденные абелевы группы полностью классифицированы, о бесконечно порожденных абелевых группах известно немного, даже в счетном случае без кручения. ^[1]

Определения

Абелева группа $\langle G,+,0\rangle$ называется без кручения, если ни один элемент, кроме тождественного $e$ имеет конечный порядок . ^[2]^[3]^[4] Явно для любого $n>0$ , единственный элемент $x\in G$ для чего $nx=0$ является $x=0$ .

Естественным примером группы без кручения является $\langle \mathbb {Z} ,+,0\rangle$ , поскольку только целое число 0 можно добавить к самому себе конечное число раз, чтобы получить 0. В более общем смысле, свободная абелева группа $\mathbb {Z} ^{r}$ не имеет кручения для любого $r\in \mathbb {N}$ . Важным шагом в доказательстве классификации конечно порожденных абелевых групп является то, что каждая такая группа без кручения изоморфна $\mathbb {Z} ^{r}$ .

Неконечно порожденный счетный пример даёт аддитивная группа кольца полиномов. $\mathbb {Z} [X]$ (свободная абелева группа счетного ранга).

Более сложные примеры - аддитивная группа рационального поля. $\mathbb {Q}$ или его подгруппы, такие как $\mathbb {Z} [p^{-1}]$ (рациональные числа, знаменатель которых является степенью $p$ ). Еще более сложные примеры дают группы более высокого ранга .

Группы 1 ранга

Классифицировать

Ранг группы абелевой $A$ это размерность $\mathbb {Q}$ -векторное пространство $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A$ . Эквивалентно, это максимальная мощность линейно независимого (над $\mathbb {Z}$ ) подмножество $A$ .

Если $A$ не имеет кручения, то он впрыскивается в $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A$ . Таким образом, абелевы группы без кручения ранга 1 являются в точности подгруппами аддитивной группы $\mathbb {Q}$ .

Классификация

Абелевы группы без кручения ранга 1 полностью классифицированы. Для этого нужно присоединиться к группе $A$ подмножество $\tau (A)$ простых чисел следующим образом: выберите любое $x\in A\setminus \{0\}$ , для простого числа $p$ мы говорим это $p\in \tau (A)$ тогда и только тогда, когда $x\in p^{k}A$ для каждого $k\in \mathbb {N}$ . Это не зависит от выбора $x$ так как для другого $y\in A\setminus \{0\}$ существует $n,m\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ такой, что $ny=mx$ . Бэр доказал ^[5]^[6] что $\tau (A)$ является полным изоморфизмом, инвариантным для абелевых групп без кручения ранга 1.

Проблема классификации в целом

Сложность задачи классификации для определенного типа структур на счетном множестве можно определить количественно с помощью теории моделей и дескриптивной теории множеств . В этом смысле доказано, что задача классификации счетных абелевых групп без кручения является максимально сложной. ^[7]

Примечания

^ См., например, введение в Томас, Саймон (2003), «Проблема классификации абелевых групп без кручения конечного ранга», J. Am. Математика. Соц. , 16 (1): 233–258, doi : 10.1090/S0894-0347-02-00409-5 , Збл 1021.03043
^ Фрэли (1976 , стр. 78)
^ Ланг (2002 , стр. 42)
^ Хангерфорд (1974 , стр. 78)
^ Рейнхольд Баер (1937). «Абелевы группы без элементов конечного порядка» . Математический журнал Дьюка . 3 (1): 68–122. дои : 10.1215/S0012-7094-37-00308-9 .
^ Филип А. Гриффит (1970). Теория бесконечной абелевой группы . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-30870-7 . Глава VII.
^ Паолини, Джанлука; Шела, Сахарон (2021). «Абелевы группы без кручения полны по Борелю». arXiv : 2102.12371 [ math.LO ].

Ссылки

Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Уолтем: издательство Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
Хангерфорд, Томас В. (1974), Алгебра , Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90518-9 .
Ланг, Серж (2002), Алгебра (пересмотренное 3-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-95385-Х .
Маккой, Нил Х. (1968), Введение в современную алгебру, исправленное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN 68-15225

[1] См., например, введение в Томас, Саймон (2003), «Проблема классификации абелевых групп без кручения конечного ранга», J. Am. Математика. Соц. , 16 (1): 233–258, doi : 10.1090/S0894-0347-02-00409-5 , Збл 1021.03043

[2] Фрэли (1976 , стр. 78)

[3] Ланг (2002 , стр. 42)

[4] Хангерфорд (1974 , стр. 78)

[5] Рейнхольд Баер (1937). «Абелевы группы без элементов конечного порядка» . Математический журнал Дьюка . 3 (1): 68–122. дои : 10.1215/S0012-7094-37-00308-9 .

[6] Филип А. Гриффит (1970). Теория бесконечной абелевой группы . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-30870-7 . Глава VII.

[7] Паолини, Джанлука; Шела, Сахарон (2021). «Абелевы группы без кручения полны по Борелю». arXiv : 2102.12371 [ math.LO ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Группы
Основные понятия	Подгруппа Нормальная подгруппа Подгруппа коммутатора Факторная группа Групповой гомоморфизм ( Полу- ) прямой продукт прямая сумма
Типы групп	Конечные группы Абелевы группы Циклические группы Бесконечная группа Простые группы Разрешимые группы Группа симметрии Космическая группа Группа точек Группа обоев Тривиальная группа
Дискретные группы	Классификация конечных простых групп Циклическая группа Z _n Переменная группа А _н Спорадические группы Группа Матье М _11..12 ,М _22..24 Группа Конвея Co _1..3 Группы Янко J ₁ , J ₂ , J ₃ , J ₄ Группа Фишера F _22..24 Малыш-монстр группы Б Группа монстров М Другие конечные группы Симметричная группа S _n Группа диэдра D _n Группа «Кубик Рубика».
Группы лжи	Общая линейная группа GL(n) Специальная линейная группа SL(n) Ортогональная группа O (n) Специальная ортогональная группа SO(n) Унитарная группа U(n) Особая унитарная группа СУ(н) Симплектическая группа Sp(n) Исключительные группы Ли Г ₂ F_F4 E_Е6 E ₇ E₈ Группа кругов группа Лоренца Группа Пуанкаре Группа кватернионов
Infinite dimensional groups	Conformal group Diffeomorphism group Loop group Quantum group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
History Applications Abstract algebra