Нутация

Нутация (от латинского nutātiō «кивание, покачивание») — это раскачивание, покачивание или кивание по оси вращения в значительной степени осесимметричного объекта, такого как гироскоп , планета или пуля в полете , или как намеренное поведение механизм. В соответствующей системе отсчета это можно определить как изменение второго угла Эйлера . Если оно не вызвано внешними по отношению к телу силами, оно называется свободной нутацией или эйлеровой нутацией . ^{[ 1 ]} Чистая нутация — это такое движение оси вращения, при котором первый угол Эйлера остается постоянным. ^{[ нужна ссылка ]} Таким образом, можно видеть, что круглая красная стрелка на диаграмме указывает на комбинированное воздействие прецессии и нутации, тогда как нутация в отсутствие прецессии только изменит наклон от вертикали (второй угол Эйлера). Однако в динамике космических аппаратов прецессию (изменение первого угла Эйлера) иногда называют нутацией. ^{[ 2 ]}

В твёрдом теле

Если волчок установить под наклоном на горизонтальную поверхность и быстро вращать, его ось вращения начнет прецессировать вокруг вертикали. Через небольшой промежуток времени волчок приходит в движение, при котором каждая точка на его оси вращения следует по круговой траектории. Вертикальная сила тяжести создает горизонтальный крутящий момент $τ$ вокруг точки контакта с поверхностью; волчок вращается в направлении этого момента с угловой скоростью $Ω$ такой, что в любой момент

{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {L} ,

(векторное векторное произведение )

где $L$ — мгновенный момент импульса волчка. ^{[ 3 ]}

Однако вначале прецессии нет, и верхняя часть волчка падает вбок и вниз, тем самым наклоняясь. Это приводит к дисбалансу моментов, который запускает прецессию. При падении вершина превышает угол наклона, при котором она могла бы устойчиво прецессировать, а затем колеблется около этого уровня. Это колебание называется нутацией . Если движение затухает, колебания будут затухать до тех пор, пока движение не станет устойчивой прецессией. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Физику нутации в волчках и гироскопах можно исследовать на модели тяжелого симметричного волчка с закрепленным кончиком. (Симметричным волчком считается волчок, обладающий вращательной симметрией, или, в более общем плане, волчок, у которого два из трех главных моментов инерции равны.) Первоначально эффект трения игнорируется. Движение волчка можно описать тремя углами Эйлера : углом наклона $θ$ между осью симметрии волчка и вертикалью (второй угол Эйлера); азимут φ $;$ вершины относительно вертикали (первый угол Эйлера) и угол поворота $ψ$ волчка вокруг своей оси (третий угол Эйлера). Таким образом, прецессия — это изменение $φ$ , а нутация — это изменение $θ$ . ^{[ 5 ]}

Если волчок имеет массу $M$ и его центр масс находится на расстоянии $l$ от точки поворота, его гравитационный потенциал относительно плоскости опоры равен

V=Mgl\cos(\theta ).

В системе координат, где $ось z$ является осью симметрии, вершина имеет угловые скорости $ω 1, ω 2, ω 3$ и моменты инерции $I 1, I 2, I 3$ относительно $осей x, y$ и $z$ . Поскольку мы берем симметричный волчок, имеем $I 1$ = $I 2$ . Кинетическая энергия

E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left(\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}.

В терминах углов Эйлера это

E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}(\theta )\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\left({\dot {\psi }}+{\dot {\phi }}\cos(\theta )\right)^{2}.

Если для этой системы решить уравнения Эйлера-Лагранжа , окажется, что движение зависит от двух констант $a$ и $b$ (каждая из которых связана с константой движения ). Скорость прецессии связана с наклоном соотношением

{\dot {\phi }}={\frac {b-a\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}.

Наклон определяется дифференциальным уравнением для $u = cos(θ)$ вида

{\dot {u}}^{2}=f(u)

где $f$ — кубический полином , зависящий от параметров $a$ и $b,$ а также констант, связанных с энергией и гравитационным моментом. Корни $f$ представляют собой углов , при которых скорость изменения θ $косинусы$ равна нулю. Один из них не связан с физическим углом; два других определяют верхнюю и нижнюю границы угла наклона, между которыми колеблется гироскоп. ^{[ 6 ]}

Астрономия

Нутация планеты происходит потому, что гравитационное воздействие других тел приводит к изменению скорости ее осевой прецессии с течением времени, поэтому скорость не является постоянной. Английский астроном Джеймс Брэдли обнаружил нутацию земной оси в 1728 году.

Земля

Нутация слегка изменяет осевой наклон Земли по отношению к плоскости эклиптики , смещая основные круги широты , которые определяются наклоном Земли ( тропические круги и полярные круги ).

В случае с Землей основными источниками приливной силы являются Солнце и Луна , которые постоянно меняют положение относительно друг друга и, таким образом, вызывают нутацию земной оси. Самый крупный компонент нутации Земли имеет период 18,6 лет, такой же, как и период прецессии узлов орбиты Луны . ^{[ 1 ]} Однако существуют и другие важные периодические члены, которые необходимо учитывать в зависимости от желаемой точности результата. Математическое описание (набор уравнений), представляющее нутацию, называется ^{[ кем? ]} «теория нутации». ^{[ нужна ссылка ]} Теоретически параметры корректируются более или менее специальным методом, чтобы обеспечить наилучшее соответствие данным. Простая динамика твердого тела не дает лучшей теории; приходится учитывать деформации Земли, в том числе неупругость мантии и изменения границы ядро-мантия . ^{[ 7 ]}

Основной срок нутации обусловлен регрессией узловой линии Луны и имеет тот же период 6798 дней (18,61 года). Она достигает плюс-минус 17 дюймов по долготе и 9,2 дюйма по наклону . ^{[ 8 ]} Все остальные члены намного меньше; следующий по величине, с периодом 183 дня (0,5 года), имеет амплитуды 1,3″ и 0,6″ соответственно. Периоды всех термов размером более 0,0001 дюйма (примерно с той точностью, которую могут измерить доступные технологии) лежат между 5,5 и 6798 днями; по какой-то причине (как и в случае с периодами океанских приливов) они избегают диапазона от 34,8 до 91 дня, так что это принято ^{[ по мнению кого? ]} разделить нутацию на долгопериодную и короткопериодическую. Долгопериодные члены рассчитываются и упоминаются в альманахах, а дополнительная поправка за короткопериодные обычно берется из таблицы. Их также можно рассчитать от юлианского дня по методологии IAU 2000B. ^{[ 9 ]}

В популярной культуре

В фильме-катастрофе 1961 года « День, когда Земля загорелась » почти одновременный взрыв двух суперводородных бомб вблизи полюсов вызывает изменение нутации Земли, а также сдвиг осевого наклона на 11° и изменение орбиты Земли. вокруг Солнца.

В «Звездном пути: Следующее поколение » быстрое «зацикливание» или «изменение» «нутации щита» часто упоминается как средство, позволяющее задержать антагониста в его попытках прорвать оборону и разграбить «Энтерпрайз» или другой космический корабль.

См. также

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Лоури, Уильям (2007). Основы геофизики (2-е изд.). Кембридж [ua]: Издательство Кембриджского университета . стр. 58–59 . ISBN 9780521675963 .
^ Касдин, Н. Джереми; Пейли, Дерек А. (2010). Инженерная динамика: всестороннее введение . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . стр. 526–527. ISBN 9780691135373 .
^ Jump up to: ^а ^б Фейнман, Лейтон и Сэндс, 2011 , стр. 20–7. ^{&#91, необходимы пояснения &#93,}
^ Гольдштейн 1980 , с. 220
^ Гольдштейн 1980 , с. 217
^ Гольдштейн 1980 , стр. 213–217.
^ «Резолюция 83 о теории нутации нежесткой Земли» . Международная служба вращения Земли и систем отсчета . Федеральное агентство картографии и геодезии. 2 апреля 2009 года . Проверено 6 августа 2012 г.
^ «Основы космического полета, глава 2» . Лаборатория реактивного движения /НАСА. 28 августа 2013 года . Проверено 26 марта 2015 г.
^ «Неопрограммика — научные вычисления» .

Ссылки

Фейнмановские лекции по физике Vol. Я Ч. 20: Вращение в пространстве
Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Паб Addison-Wesley. компании ISBN 0201029189 .
Ламбек, Курт (2005). Переменное вращение Земли: геофизические причины и последствия (1-е издание в цифровой печати). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 9780521673303 .
Мунк, Уолтер Х.; Макдональд, Гордон Дж. Ф. (1975). Вращение Земли: геофизическая дискуссия . Перепечатка. с корр. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521207782 .

[Lowrie-1] Jump up to: ^а ^б Лоури, Уильям (2007). Основы геофизики (2-е изд.). Кембридж [ua]: Издательство Кембриджского университета . стр. 58–59 . ISBN 9780521675963 .

[2] Касдин, Н. Джереми; Пейли, Дерек А. (2010). Инженерная динамика: всестороннее введение . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . стр. 526–527. ISBN 9780691135373 .

[Feynman-3] Jump up to: ^а ^б Фейнман, Лейтон и Сэндс, 2011 , стр. 20–7. ^{&#91, необходимы пояснения &#93,}

[Goldstein220-4] Гольдштейн 1980 , с. 220

[Goldstein217-5] Гольдштейн 1980 , с. 217

[6] Гольдштейн 1980 , стр. 213–217.

[7] «Резолюция 83 о теории нутации нежесткой Земли» . Международная служба вращения Земли и систем отсчета . Федеральное агентство картографии и геодезии. 2 апреля 2009 года . Проверено 6 августа 2012 г.

[8] «Основы космического полета, глава 2» . Лаборатория реактивного движения /НАСА. 28 августа 2013 года . Проверено 26 марта 2015 г.

[9] «Неопрограммика — научные вычисления» .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]