Проблема момента

Пример: Учитывая среднее значение и дисперсию $\sigma ^{2}$ (как и все дальнейшие кумулянты равны 0) нормальное распределение - это распределение, решающее проблему моментов.

В математике проблема моментов возникает в результате попытки инвертировать отображение, принимающее меру. $\mu$ к последовательности моментов

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)\,.$

В более общем плане можно рассмотреть

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }M_{n}(x)\,d\mu (x)\,.$

для произвольной последовательности функций $M_{n}$.

Введение

В классической обстановке $\mu$ является мерой на действительной прямой , а $M$ это последовательность $\{x^{n}:n=1,2,\dotsc \}$. возникает вопрос В этой форме в теории вероятностей : существует ли вероятностная мера с заданным средним значением , дисперсией и т. д., и является ли она уникальной.

Есть три названные классические проблемы моментов: проблема моментов Гамбургера в которой поддержка , $\mu$ может быть вся реальная строка; Стилтьеса проблема моментов , $[0,\infty )$; и проблема моментов Хаусдорфа для ограниченного интервала, которую без ограничения общности можно принять как $[0,1]$.

Проблема моментов также распространяется на комплексный анализ как тригонометрическая проблема моментов , в которой матрицы Ганкеля заменяются матрицами Теплица , а носителем µ является комплексный единичный круг вместо действительной прямой.

Существование

Последовательность чисел $m_{n}$ есть последовательность моментов меры $\mu$ тогда и только тогда, когда выполняется определенное условие положительности; а именно матрицы Ганкеля $H_{n}$,

$(H_{n})_{ij}=m_{i+j}\,,$

должно быть положительно полуопределенным . Это связано с тем, что положительно-полуопределенная матрица Ганкеля соответствует линейному функционалу $\Lambda$ такой, что $\Lambda (x^{n})=m_{n}$ и $\Lambda (f^{2})\geq 0$ (неотрицательный для суммы квадратов многочленов). Предполагать $\Lambda$ может быть расширен до $\mathbb {R} [x]^{*}$. В одномерном случае неотрицательный многочлен всегда можно записать как сумму квадратов. Итак, линейный функционал $\Lambda$ положителен для всех неотрицательных полиномов в одномерном случае. По теореме Хэвиленда линейный функционал имеет вид меры, т.е. $\Lambda (x^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d\mu$. Условие аналогичного вида необходимо и достаточно для существования меры $\mu$ поддерживается на заданном интервале $[a,b]$.

Один из способов доказательства этих результатов — рассмотреть линейный функционал $\varphi$ который отправляет полином

$P(x)=\sum _{k}a_{k}x^{k}$

к

$\sum _{k}a_{k}m_{k}.$

Если $m_{k}$ это моменты некоторой меры $\mu$ поддерживается на $[a,b]$, то очевидно

$\varphi (P)\geq 0$ для любого многочлена $P$ это неотрицательно $[a,b]$. ( 1 )

И наоборот, если ( 1 ) выполнено, можно применить теорему М. Рисса о продолжении и расширить $\varphi$ к функционалу в пространстве непрерывных функций с компактным носителем $C_{c}([a,b])$), так что

$\varphi (f)\geq 0$ для любого $f\in C_{c}([a,b]),\;f\geq 0.$ ( 2 )

По теореме о представлении Рисса ( 2 ) выполняется тогда и только тогда, когда существует мера $\mu$ поддерживается на $[a,b]$, такой, что

$\varphi (f)=\int f\,d\mu$

для каждого $f\in C_{c}([a,b])$.

Таким образом, существование меры $\mu$ эквивалентно ( 1 ). Используя теорему о представлении положительных многочленов на $[a,b]$, можно переформулировать ( 1 ) как условие на матрицу Ганкеля.

Уникальность (или определенность)

Смотрите также: состояние Карлемана и состояние Крейна.

Уникальность $\mu$ в проблеме моментов Хаусдорфа следует из аппроксимационной теоремы Вейерштрасса , которая утверждает, что при равномерной многочлены плотны норме в пространстве непрерывных функций на $[0,1]$. Для задачи на бесконечном интервале единственность является более деликатным вопросом. Существуют распределения, такие как логнормальные распределения , которые имеют конечные моменты для всех натуральных чисел, но другие распределения имеют те же моменты.

Формальное решение

Если решение существует, его можно формально записать с использованием производных дельта- функции Дирака как

$d\mu (x)=\rho (x)dx,\quad \rho (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\delta ^{(n)}(x)m_{n}$.

Выражение может быть получено путем обратного преобразования Фурье его характеристической функции .

Вариации

См. Также: неравенства Чебышева – Маркова – Стилтьеса.

Важным вариантом является усеченная проблема моментов , изучающая свойства мер с фиксированными первыми k моментами (при конечном k ). Результаты по проблеме усеченных моментов имеют многочисленные приложения к экстремальным задачам , оптимизации и предельным теоремам теории вероятностей .

Вероятность

Проблема моментов имеет приложения к теории вероятностей. Обычно используется следующее:

Теорема (Фреше-Шоа) — Если ${\textstyle \mu }$ является определенной мерой (т. е. ее моменты определяют ее однозначно), а меры ${\textstyle \mu _{n}}$ таковы, что $$\forall k\geq 0\quad \lim _{n\rightarrow \infty }m_{k}\left[\mu _{n}\right]=m_{k}[\mu ],$$ затем ${\textstyle \mu _{n}\rightarrow \mu }$ в распределении.

Проверяя условие Карлемана , мы знаем, что стандартное нормальное распределение является определенной мерой, поэтому мы имеем следующую форму центральной предельной теоремы :

Следствие . Если последовательность вероятностных распределений ${\textstyle \nu _{n}}$ удовлетворить $$m_{2k}[\nu _{n}]\to {\frac {(2k)!}{2^{k}k!}};\quad m_{2k+1}[\nu _{n}]\to 0$$ затем ${\textstyle \nu _{n}}$ сходится к ${\textstyle N(0,1)}$ в распределении.

См. также

• Состояние Карлемана
• Проблема момента гамбургера
• Матрица Ханкеля
• Проблема моментов Хаусдорфа
• Момент (математика)
• Проблема моментов Стилтьеса
• Проблема тригонометрических моментов

Ссылки

• Шохат, Джеймс Александр; Тамаркин, Яков Д. (1943). Проблема моментов . Нью-Йорк: Американское математическое общество. ISBN  978-1-4704-1228-9 .
• Ахиезер, Наум И. (1965). Классическая проблема моментов и некоторые связанные с ней вопросы анализа . Нью-Йорк: Hafner Publishing Co. (перевод с русского Н. Кеммера)
• Крейн, М.Г.; Нудельман, А.А. (1977). Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи . Переводы математических монографий. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/ммоно/050 . ISBN  978-0-8218-4500-4 . ISSN   0065-9282 .
• Шмюдген, Конрад (2017). Проблема момента . Тексты для аспирантов по математике. Том. 277. Чам: Международное издательство Springer. дои : 10.1007/978-3-319-64546-9 . ISBN  978-3-319-64545-2 . ISSN   0072-5285 .