Циклида Дюпена

Циклида Дюпена

В математике циклидой Дюпена или циклидой Дюпена называется любая геометрическая инверсия стандартного тора , цилиндра или двойного конуса . В частности, последние сами являются примерами циклидов Дюпена. Они были обнаружены ок. 1802 год, написанный (и названный в честь) Шарлем Дюпеном , когда он еще учился в Политехнической школе после Гаспара Монжа . лекций Ключевое свойство циклиды Дюпена состоит в том, что она представляет собой поверхность канала (оболочку однопараметрического семейства сфер) двумя разными способами. Это свойство означает, что циклиды Дюпена являются естественными объектами в геометрии сферы Ли .

Циклиды Дюпена часто называют просто циклидами , но последний термин также используется для обозначения более общего класса поверхностей четвертой степени , которые важны в теории разделения переменных для уравнения Лапласа в трех измерениях.

Циклиды Дюпена исследовали не только Дюпен, но и А. Кэли , Дж. К. Максвелл и Мейбл М. Янг .

Циклиды Дюпена используются в компьютерном проектировании, поскольку циклидные заплаты имеют рациональное представление и подходят для сглаживания поверхностей каналов (цилиндров, конусов, торов и других).

Определения и свойства

Существует несколько эквивалентных определений циклидов Дюпена. В $\mathbb {R} ^{3}$, их можно определить как изображения при любом обращении торов, цилиндров и двойных конусов. Это показывает, что класс циклид Дюпена инвариантен относительно преобразований Мёбиуса (или конформных) .В сложном пространстве $\mathbb {C} ^{3}$ эти три последние разновидности можно сопоставить друг с другом путем инверсии, поэтому циклиды Дюпена можно определить как инверсии тора (или цилиндра, или двойного конуса).

Поскольку стандартный тор является орбитой точки под двумерной абелевой подгруппой группы Мёбиуса, отсюда следует, что циклиды также являются орбитой, и это дает второй способ их определения.

Третье свойство, которое характеризует циклиды Дюпена, заключается в том, что их линии кривизны представляют собой круги (возможно, проходящие через точку, находящуюся на бесконечности ). Эквивалентно, сферы кривизны , которые представляют собой сферы, касающиеся поверхности с радиусами, равными обратным главным кривизнам в точке касания, постоянны вдоль соответствующих линий кривизны: это касательные сферы, содержащие соответствующие линии кривизны, как большие круги . Опять-таки эквивалентно, что оба листа фокальной поверхности вырождаются в коники. Отсюда следует, что любая циклида Дюпена является поверхностью канала (т. е. оболочкой однопараметрического семейства сфер) в двух разных смыслах, и это дает другую характеристику.

Определение в терминах сфер показывает, что класс циклид Дюпена инвариантен относительно большей группы всех преобразований сферы Ли ; любые два циклида Дюпена лие-эквивалентны . Они образуют (в некотором смысле) простейший класс ли-инвариантных поверхностей после сфер и поэтому особенно важны в геометрии сфер Ли .

Определение также означает, что циклида Дюпена представляет собой оболочку однопараметрического семейства сфер, касающихся трех данных взаимно касательных сфер. Отсюда следует, что она касается бесконечного числа Содди гекслет- конфигураций сфер .

Параметрическое и неявное представление

(CS): Циклиду Дюпена можно представить двумя способами как оболочку однопараметрического пучка сфер, т. е. как поверхность канала с двумя направляющими . Пара директрис представляет собой фокальные коники и состоит либо из эллипса и гиперболы, либо из двух парабол. В первом случае циклиду определяют как эллиптическую , во втором — как параболическую . В обоих случаях коники содержатся в двух взаимно ортогональных плоскостях. В крайних случаях (если эллипс представляет собой круг) гипербола вырождается в прямую, а циклида представляет собой тор вращения.

Еще одним особым свойством циклиды является:

(CL): Любая линия кривизны циклиды Дюпена представляет собой окружность .

Эллиптические циклиды

Эллиптическую циклиду можно параметрически представить следующими формулами (см. раздел Циклида как поверхность канала ):

Значения расчетных параметров $a,b,c,d$:
$d$ - радиус образующей сферы в ко-вершинах эллипса
Два круга в плоскости xz с центрами $(\pm a,0,0)$ иметь радиусы $d\mp c$.
Здесь: $a=1,\;b=0.98\to c=0.199$ и $d=0.3$

$x={\frac {d(c-a\cos u\cos v)+b^{2}\cos u}{a-c\cos u\cos v}}\ ,$

$y={\frac {b\sin u(a-d\cos v)}{a-c\cos u\cos v}}\ ,$

$z={\frac {b\sin v(c\cos u-d)}{a-c\cos u\cos v}}\ ,$

$0\leq u,v<2\pi \ .$

Числа $a,b,c,d$ являются полубольшой и полумалой осями и $c$ линейный эксцентриситет эллипса:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,z=0\ .$

Гипербола ${\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1,y=0$является фокальной коникой эллипса. Это означает: фокусы/вершины эллипса являются вершинами/фокусами гиперболы. Две коники образуют две вырожденные фокальные поверхности циклиды.

$d$ можно рассматривать как средний радиус образующих сфер.

Для $u=const$ , $v=const$ соответственно получаются линии кривизны (круги) поверхности.

Соответствующее неявное представление :

$(x^{2}+y^{2}+z^{2}+b^{2}-d^{2})^{2}-4(ax-cd)^{2}-4b^{2}y^{2}=0\ .$

В случае $a=b$ каждый получает $c=0$, т.е. эллипс представляет собой круг, а гипербола вырождается в прямую. Соответствующие циклиды являются торами вращения.

(эллипт.) Циклиды Дюпена для расчетных параметров a,b,c,d
$d=0$	$0<d<c$	$d=c$	$c<d$	$d=a$	$a<d$
симм. роговая циклида	роговая циклида	роговая циклида	кольцевая циклида	кольцевая циклида	циклида шпинделя

Более интуитивные параметры проектирования — это пересечения циклиды с осью X. раздел Циклический переход через 4 точки по оси X. См .

Параболические циклиды

Параболическая циклида может быть представлена ​​следующим параметрическим представлением (см. раздел Циклида как поверхность канала ):

параболическая циклида со своими директрисами (фокальными параболами)

$x={\frac {p}{2}}\,{\frac {2v^{2}+k(1-u^{2}-v^{2})}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,$

$y=pu\,{\frac {v^{2}+k}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,$

$z=pv\,{\frac {1+u^{2}-k}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,$

$-\infty <u,v<\infty \ .$

Число $p$ определяет форму обеих парабол, которые являются фокальными кониками:

$y^{2}=p^{2}-2px,\ z=0\$ и $\ z^{2}=2px,\ y=0\ .$

$k$ определяет соотношение диаметров двух отверстий (см. схему). $k=0.5$ означает: оба диаметра равны. Ибо диаграмма $k=0.7$.

Соответствующее неявное представление:

$\left(x+\left({\frac {k}{2}}-1\right)p\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-{\frac {k^{2}p^{2}}{4}}\right)+pz^{2}=0\ .$

параболические циклиды Дюпена для расчетных параметров p=1, k
$k=0.5$	$k=1$	$k=1.5$
кольцевая циклида	роговая циклида	роговая циклида

Примечание : при отображении кружков появляются пробелы, вызванные необходимым ограничением параметров. $u,v$.

Циклид как поверхность канала

Циклида Дюпена как поверхность канала ( оболочка семейства сфер)

Есть два способа создать эллиптическую циклиду Дюпена в качестве поверхности канала . В первом в качестве направляющей используется эллипс, во втором — гипербола:

Эллипс как директриса

В плоскости xy направляющей является эллипс с уравнением

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\ z=0\quad$ и $\ a>b$.

Он имеет параметрическое представление

$\ x=a\cos \varphi \;,\ y=b\sin \varphi \;,\ z=0\ .$

$a$ это полумажор и $b$ малая полуось. $c$ - линейный эксцентриситет эллипса. Следовательно: $c^{2}=a^{2}-b^{2}$.Радиусы образующих сфер равны

$r(\varphi )=d-c\cos \varphi \ .$

$d$ является параметром конструкции. Его можно рассматривать как среднее значение радиусов сфер. В случае $c=0$ эллипс — это круг, а циклида — тор вращения с $d$ радиус образующей окружности (образующей).

На схеме: $\;a=1,\;b=0.99,\ d=0.25\;$.

Максвелл: Свойство фокусов эллипса директрисы. Эллипс представляет собой равноудаленные друг от друга набор синих и фиолетовых кругов.

недвижимость Максвелла

Следующее простое соотношение между фактическим центром сферы (точкой эллипса) и соответствующим радиусом сферы принадлежит Максвеллу:

• Разница/сумма радиусов сферы и расстояния центра сферы (точки эллипса) от одного (но фиксированного) фокуса постоянна.

Доказательство

Фокусы эллипса $\ E=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)\$ являются $\ F_{i}=(\pm c,0,0)\$. Если кто-то выбирает $\ F_{1}=(c,0,0)\$ и вычисляет расстояние $\ |EF_{1}|\$, человек получает $\ |EF_{1}|=a-c\cos \varphi \$. Вместе с радиусом реальной сферы (см. выше) получаем $\ |EF_{1}|-r=a-d\$.
Выбор другого фокуса дает: $\ |EF_{2}|+r=a+d\ .$

Следовательно:

В плоскости xy огибающими окружностей сфер являются две окружности с фокусами эллипса в качестве центров и радиусами $a\pm d$ (см. схему).

Циклическое перемещение по 4 точкам по оси X

Определение конструктивных параметров a,b,c,d, принадлежащих заданным реальным значениям. $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$

вверху: кольцевая циклида с $x_{1}=3,x_{2}=1,x_{3}=-3,x_{4}=-7$
посередине: рог циклида с $x_{1}=1,x_{2}=3,x_{3}=-3,x_{4}=-7$
внизу: шпиндель-циклида с $x_{1}=3,x_{2}=-3,x_{3}=1,x_{4}=-7$

Свойство Максвелла дает основание для определения кольцевой циклиды путем задания ее пересечений с осью x:

Дано: Четыре очка. $x_{1}>x_{2}>x_{3}>x_{4}$ по оси X (см. диаграмму).

Разыскивается: Центр $m_{0}$, полуоси $a,b$, линейный эксцентриситет $c$ и фокусы эллипса директрисы и параметра $d$ соответствующего кольцевого циклида.

Из свойства Максвелла получается

$2(a+d)=x_{1}-x_{4}\;,\quad \ 2(a-d)=x_{2}-x_{3}\ .$

Решение для $a,c$ урожайность

$a={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}\right),\quad$ $d={\frac {1}{4}}\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}\right)\ .$

Фокусы (по оси x) расположены

$f_{1}={\frac {1}{2}}(x_{2}+x_{3}),\quad f_{2}={\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{4})$ и, следовательно,

$c={\frac {1}{4}}\left(-x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}\right)\;,\quad \ b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\$

Центр фокальных коник (эллипса и гиперболы) имеет координату x

$m_{0}={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)\ .$

Если кто-то хочет отобразить циклиду с помощью приведенного выше параметрического представления, необходимо учитывать сдвиг $m_{0}$ центра!

Значение порядка чисел $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$

(Расчет выше предполагает $x_{1}>x_{2}>x_{3}>x_{4}$, см. схему.)

(H) Обмен $x_{1},x_{2}$ генерирует рупорную циклиду.
(S) Обмен $x_{2},x_{3}$, генерирует шпиндель-циклид.
(H1) Для $x_{1}=x_{2}=2$ получается однорогая циклида.
(R) Для $x_{2}=x_{3}=0$ получается кольцевая циклида, касающаяся самого себя в начале координат.

Параллельные поверхности

Параллельные поверхности кольцевой циклиды с параметрами $a=1,b=0.98,\ d=0.30,0.45,0.60$

Увеличивая или уменьшая параметр $d$, такой, что тип не меняется, получаются параллельные поверхности (похожие на параллельные кривые ) одного и того же типа (см. схему).

Гипербола как директриса

Второй способ создания кольцевой циклиды в качестве поверхности канала использует фокальную гиперболу в качестве направляющей. Оно имеет уравнение

Циклида с двумя соприкасающимися сферами с центрами на гиперболе директрисы.

${\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\ y=0\ .$

В этом случае сферы касаются циклиды снаружи у второго семейства окружностей (линий кривизны). Каждому плечу гиперболы принадлежит подсемейство окружностей. Сферы одного семейства окружают циклиду (на схеме: фиолетовый). Сферы другого семейства затрагиваются циклидой снаружи (синие).

Параметрическое представление гиперболы:

$(\pm c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\ .$

Радиусы соответствующих сфер равны

$R(\psi )=a\cosh \psi \mp d\ .$

В случае тора ( $c=0$) гипербола вырождается в ось тора.

Свойство Максвелла для случая гиперболы. Рука гиперболы $H_{+}$ представляет собой эквидистантную кривую обоих серых кругов.

Свойство Максвелла (случай гиперболы)

Фокусы гиперболы $\;H_{\pm }(\psi )=(\pm c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\;$ являются $\;F_{i}=(\pm a,0,0)\;$. Расстояние до точки гиперболы $\;H_{+}(\psi )=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\;$ в фокусе $F_{1}$ является $\;|H_{+}F_{1}|=a\cosh \psi -c\;$ и вместе с радиусом сферы $R_{+}(\psi )=a\cosh \psi -d$ каждый получает $\;|H_{+}F_{1}|-R_{+}=d-c\;$. Аналогично получается $\;|H_{+}F_{2}|-R_{+}=d+c\;$ . Для точки на втором плече гиперболы выводятся уравнения: $\;R_{-}-|H_{-}F_{1}|=d-c\;,\ R_{-}-|H_{-}F_{2}|=d+c\;.$

Следовательно:

В плоскости xz окружности сфер с центрами $H_{\pm }(\psi )$ и радиусы $R_{\pm }(\psi )$ есть два круга (на схеме серого цвета) с центрами $F_{1/2}=(\pm a,0,0)$ и радиусы $d\mp c$ как конверты.

Точечная конструкция

Вывод параметрического представления

Эллиптическая циклида

Эллипс и гипербола (фокальные коники) представляют собой вырожденные фокальные поверхности эллиптической циклиды. Для любой пары $E,H$ Для точек эллипса и гиперболы верно следующее (из-за определения фокальной поверхности):

1) Линия ${\overline {EH}}$ является нормалью циклиды и

2) соответствующая точка $P$ циклиды делит хорду $EH$ с отношением $r:R$ (см. схему).

Из параметрического представления фокальных коник и радиусов сфер

Эллипс: $\quad \ \ \ E(u)=(a\cos u,b\sin u,0),\quad r(u)=d-c\cos u\ \ ,$

Гипербола: $\quad H(v)=({\frac {c}{\cos v}},0,b\tan v),\quad R(u)={\frac {a}{\cos v}}-d\ .$

получаем соответствующую точку $P$ циклиды (см. схему):

$\ P(u,v)={\frac {R(v)}{r(u)+R(v)}}\;E(u)+{\frac {r(u)}{r(u)+R(v)}}\;H(v)\ .$

(О необычном, но удобном параметрическом представлении гиперболы: см. «Гипербола» .)

параметрическому представлению эллиптической циклиды Детальный расчет приводит к приведенному выше .

Если использовать приведенное в статье параметрическое представление о поверхностях каналов, то, вообще говоря, только одно семейство параметрических кривых состоит из окружностей.

Параболическая циклида

Генерация параболической циклиды как поверхности канала

Вывод параметрического представления для параболического случая происходит аналогично:

С параметрическими представлениями фокальных парабол (вырожденных фокальных поверхностей) и радиусов сфер:

$P_{1}(u)=\left({\frac {p}{2}}(1-u^{2}),pu,0\right),\quad r_{1}={\frac {p}{2}}(1-k+u^{2})\;$

$P_{2}(v)=\left({\frac {p}{2}}v^{2},0,pv\right),\qquad \qquad r_{2}={\frac {p}{2}}(k+v^{2})\$

каждый получает

$\ P(u,v)={\frac {r_{2}(v)}{r_{1}(u)+r_{2}(v)}}\;P_{1}(u)+{\frac {r_{1}(u)}{r_{1}(u)+r_{2}(v)}}\;P_{2}(v)$

что обеспечивает приведенное выше параметрическое представление параболической циклиды.

Циклиды Дюпена и геометрические инверсии

Преимуществом исследования циклидов является свойство:

(I): Любая циклида Дюпена представляет собой образ либо прямого кругового цилиндра , либо правильного кругового двойного конуса , либо тора вращения путем инверсии (отражения на сфере).

Инверсия на сфере с уравнением $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ можно описать аналитически:

$(x,y,z)\rightarrow {\frac {R^{2}\cdot (x,y,z)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\ .$

Наиболее важные свойства инверсии сферы:

1. Сферы и круги отображаются на одних и тех же объектах.
2. Плоскости и линии, содержащие начало координат (центр инверсии), сопоставляются сами с собой.
3. Плоскости и линии, не содержащие начало координат, отображаются на сферах или кругах, проходящих через начало координат.
4. Инверсия инволютивна (идентична обратному отображению).
5. Инверсия сохраняет углы.

С помощью инверсии можно отобразить произвольные поверхности. Приведенные выше формулы в любом случае дают параметрическое или неявное представление поверхности изображения, если поверхности заданы параметрически или неявно. В случае параметрической поверхности получаем:

$(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\rightarrow {\frac {R^{2}\cdot (x(u,v),y(u,v),z(u,v))}{x(u,v)^{2}+y(u,v)^{2}+z(u,v)^{2}}}\ .$

кольцевая циклида, возникающая в результате инверсии цилиндра на сфере (пурпурный)

параболический кольцевой циклид, порожденный инверсией цилиндра, содержащего начало координат

роговая циклида, возникающая в результате инверсии конуса

кольцевая циклида, порожденная инверсией тора

Но: только в случае правильных круговых цилиндров, конусов и торов вращения получаются циклиды Дюпена и наоборот.

Пример цилиндра

а) Поскольку линии, не содержащие начала координат, отображаются путем инверсии сферы (на рисунке: пурпурного цвета) на круги, содержащие начало координат, образ цилиндра представляет собой кольцевую циклиду с касающимися друг друга кругами в начале координат. В качестве изображений отрезков прямой, показанных на рисунке, на отрезках окружности линии появляются изображения. Сферы, которые касаются цилиндра с внутренней стороны, наносятся на первый пучок сфер, который образует циклиду как поверхность канала. Вторым пучком сфер, касающимся циклиды, становятся изображения касательных плоскостей цилиндра. Последние проходят через начало координат.
б) Второй пример переворачивает цилиндр, содержащий начало координат. Линии, проходящие через начало координат, сопоставляются сами с собой. Следовательно, поверхность неограничена и представляет собой параболическую циклиду.

Пример конуса

Линии, образующие конус, отображаются на окружностях, которые пересекаются в начале координат и изображении вершины конуса. Изображение конуса представляет собой двурогую циклиду. На рисунке показаны изображения отрезков прямых (конуса), которые на самом деле являются отрезками окружностей.

Пример тора

Оба пучка окружностей тора (показаны на рисунке) отображаются на соответствующие пучки окружностей циклиды. В случае самопересекающегося тора получится веретеноциклида.

круги Вильярсо

Кольцевая циклида с кругами Вильярсо

Поскольку циклиды Дюпена можно рассматривать как изображения торов с помощью подходящих инверсий, а инверсия отображает круг на круг или линию, изображения кругов Вильярсо образуют еще два семейства кругов на циклиде (см. Диаграмму).

Определение параметров конструкции $a,b,c,d$

Формула обращения параметрической поверхности (см. выше) дает параметрическое представление циклиды (как обращения тора) с окружностями как параметрическими кривыми. Но точки параметрической сети распределены плохо. Так что лучше рассчитать параметры конструкции $a,b,c,d$ и использовать параметрическое представление выше:

Циклид (синий) как изображение инверсии тора (черный) на единичной сфере (красный)

Дано: Тор, смещенный из стандартного положения по оси X. Пусть будет $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ пересечения тора с осью x (см. схему). Все не ноль. В противном случае инверсия тора не была бы кольцом-циклидой.
Требуются: полуоси $a,b$ и линейный эксцентриситет $c$ эллипса (директрисы) и параметра $d$ кольца-циклиды, являющегося образом тора при инверсии на единичной сфере.

Инверсионные карты $x_{i}$ на ${\tfrac {1}{x_{i}}}$, которые являются координатами x 4 точек кольца-циклиды (см. схему). Из раздела Циклида через 4 точки по оси X получаем

$a={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}-{\frac {1}{x_{3}}}-{\frac {1}{x_{4}}}\right),\quad$ $d={\frac {1}{4}}\left(-{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}-{\frac {1}{x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}}}\right)\$ и

$c={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}-{\frac {1}{x_{2}}}-{\frac {1}{x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}}}\right)\;,\quad \ b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\$

Центр фокальных коник имеет координату x.

$m_{0}={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+{\frac {1}{x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}}}\right)\ .$

Разделение переменных

Циклиды Дюпена — это частный случай более общего понятия циклиды, которое является естественным расширением понятия квадрики . В то время как квадрика может быть описана как множество нулей полинома второго порядка в декартовых координатах ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ), циклида задается набором нулей полинома второго порядка в ( x ₁ , x ₂ , х ₃ , р ² ), где р ² = х ₁ ² + _х2 ² + х ₃ ² . Таким образом, это поверхность четвертой степени в декартовых координатах с уравнением вида:

$Ar^{4}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}r^{2}+\sum _{i,j=1}^{3}Q_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}R_{i}x_{i}+B=0$

где Q — матрица 3x3, P и R — трехмерные векторы , а A и B — константы.

Семейства циклид порождают различные циклидические координатные геометрии.

В диссертации Максима Бошера 1891 года «Ueber die Reihenentwickelungen der Potentialtheorie » было показано, что уравнение Лапласа с тремя переменными можно решить, используя разделение переменных в 17 конформно различных квадричных и циклидических координатных геометриях. Многие другие циклидические геометрии можно получить, изучая R-разделение переменных для уравнения Лапласа.

См. также

• Инверсия кривых и поверхностей (немецкий)

Внешние ссылки

• Циклиды Дюпена на MathCurve

Ссылки

• Сесил, Томас Э. (1992), Геометрия сферы Ли , Нью-Йорк: Universitext, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97747-8 .
• Эйзенхарт, Лютер П. (1960), «§133 Циклиды Дюпена», Трактат о дифференциальной геометрии кривых и поверхностей , Нью-Йорк: Дувр, стр. 312–314 .
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1999), Геометрия и воображение , Американское математическое общество, ISBN  0-8218-1998-4 .
• Мун, Парри; Спенсер, Домина Эберле (1961), Справочник по теории поля: включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения , Springer, ISBN  0-387-02732-7 .
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (2000), «Пьер Шарль Франсуа Дюпен» , архив истории математики MacTutor .
• Пинкал, Ульрих (1986), «§3.3 Циклиды Дюпена», в Г. Фишере (редактор), «Математические модели из коллекций университетов и музеев» , Брауншвейг, Германия: Vieweg, стр. 28–30 .
• Миллер, Уиллард (1977), Симметрия и разделение переменных .
• А. Кэли (1873) «О циклиде», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики 12: с. 148–163.
• В. Чандру, Д. Дутта, К. М. Хоффманн (1989) «О геометрии циклид Дюпена», Визуальный компьютер. (5), с. 277–290.
• К. Дюпен (1822) Приложения геометрии и механики. Бакалавр, Париж.
• Ф. Кляйн, В. Бляшке (1926) Лекции по высшей геометрии. Спрингер Паблишинг, ISBN   978-3-642-98494-5 , с. 56.
• Дж. К. Максвелл (1868) «О циклиде», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики 9: стр. 111–126.
• М. Дж. Пратт (1989) Смешение циклидов в твердотельном моделировании. В: Вольфганг Штрассер, Ханс-Петер Зайдель (Hrsg.): Теория и практика геометрического моделирования. Спрингер-Верлаг, ISBN   0-387-51472-4 , с. 235.
• Ю. Л. Сринивас, В. Кумар, Д. Дутта (1996) «Дизайн поверхности с использованием циклидных участков», Компьютерное проектирование 28 (4): 263–276.
• Мейбл М. Янг (1916) «Циклида Дюпена как самодвойственная поверхность», American Journal of Mathematics 38 (3): 269–286.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Циклид» . Математический мир .
• Э. Берберих, М. Кербер: Расположение на поверхностях первого рода: циклиды Тори и Дюпена.