Функциональное поле алгебраического многообразия

В алгебраической геометрии функциональное поле алгебраического многообразия V которые интерпретируются как рациональные функции на V. состоит из объектов , В классической алгебраической геометрии они представляют собой отношения многочленов ; в сложной геометрии — это мероморфные функции и их многомерные аналоги; в современной алгебраической геометрии они являются элементами некоторого факторкольца поля частных .

Определение комплексных многообразий

В комплексной геометрии объектами изучения являются комплексные аналитические многообразия , на которых мы имеем локальное понятие комплексного анализа , с помощью которого мы можем определять мероморфные функции. В этом случае функциональное поле многообразия представляет собой множество всех мероморфных функций на многообразии. (Как и все мероморфные функции, они принимают значения в $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ .) Вместе с операциями сложения и умножения функций это поле в смысле алгебры.

Для сферы Римана , которая является многообразием $\mathbb {P} ^{1}$ над комплексными числами глобальные мероморфные функции являются в точности рациональными функциями (т. е. отношениями комплексных полиномиальных функций).

Построение в алгебраической геометрии

В классической алгебраической геометрии мы обобщаем вторую точку зрения. Для сферы Римана, указанной выше, понятие полинома определяется не глобально, а просто по отношению к аффинной координатной карте, а именно к карте, состоящей из комплексной плоскости (все, кроме северного полюса сферы). В общем многообразии V мы говорим, что рациональная функция на открытом аффинном подмножестве U определяется как отношение двух многочленов в аффинном координатном кольце U V и что рациональная функция на всем . состоит из таких локальных данных, которые согласуются между собой на пересечениях открытых аффинов. Мы можем определить функциональное поле V как поле частных аффинного координатного кольца любого открытого аффинного подмножества, поскольку все такие подмножества плотны.

Обобщение на произвольную схему

В самом общем контексте современной теории схем мы принимаем последнюю точку зрения, изложенную выше, в качестве отправной точки. А именно, если $X$ является интегральной схемой , то для любого открытого аффинного подмножества $U$ из $X$ кольцо секций ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ на $U$ является областью целостности и, следовательно, имеет поле частных. что все они одинаковы и равны стеблю общей точки Более того, можно убедиться , $X$ . Таким образом, функциональное поле $X$ это всего лишь стебель его родовой точки. Эта точка зрения получила дальнейшее развитие в функциональном поле (теории схем) . См. Робин Хартшорн ( 1977 ).

Геометрия функционального поля

Если V — многообразие, определенное над полем K , то функциональное поле K ( V ) — конечно порожденное расширение основного поля K ; его степень трансцендентности равна размерности многообразия. Все расширения K , которые конечно порождены как поля над K, возникают таким образом из некоторого алгебраического многообразия. Эти расширения полей также известны как поля алгебраических функций над K .

Свойства многообразия V , зависящие только от поля функций, изучаются в бирациональной геометрии .

Примеры

Функциональное поле точки над K есть K .

Поле функций аффинной прямой над K изоморфно полю K ( t ) рациональных функций одной переменной. Это также функциональное поле проективной прямой .

Рассмотрим аффинную алгебраическую плоскую кривую, определяемую уравнением $y^{2}=x^{5}+1$ . Его функциональное поле — это поле K ( x , y ), порожденное элементами x и y, которые трансцендентны над K и удовлетворяют алгебраическому соотношению $y^{2}=x^{5}+1$ .

См. также

Ссылки

Дэвид М. Гольдшмидт (2002). Алгебраические функции и проективные кривые . Тексты для аспирантов по математике . Том. 215. Шпрингер-Верлаг. ISBN 0-387-95432-5 .
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157 , OCLC 13348052 , раздел II.3 Первые свойства схем, упражнение 3.6