Формализм гравитационного линзирования

Для более широкого освещения этой темы см. Гравитационную линзу .

В общей теории относительности точечная масса отклоняет луч света с прицельным параметром $b~$ на угол, примерно равный

${\hat {\alpha }}={\frac {4GM}{c^{2}b}}$

где G — гравитационная постоянная , M — масса отклоняющего объекта и c — скорость света . Наивное применение ньютоновской гравитации может дать ровно половину этого значения, когда луч света предполагается как массовая частица и рассеивается гравитационной потенциальной ямой. Это приближение хорошо, когда $4GM/c^{2}b$ мал.

В ситуациях, когда общую теорию относительности можно аппроксимировать линеаризованной гравитацией , отклонение, вызванное пространственно расширенной массой, можно записать просто как векторную сумму по точечным массам. В пределе континуума это становится интегралом по плотности $\rho ~$, а если отклонение мало, мы можем аппроксимировать гравитационный потенциал вдоль отклоненной траектории потенциалом вдоль неотклоненной траектории, как в борновском приближении в квантовой механике. Тогда отклонение

${\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {\xi }})={\frac {4G}{c^{2}}}\int d^{2}\xi ^{\prime }\int dz\rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z){\frac {\vec {b}}{|{\vec {b}}|^{2}}},~{\vec {b}}\equiv {\vec {\xi }}-{\vec {\xi ^{\prime }}}$

где $z$ - координата прямой видимости, а ${\vec {b}}$ - векторный прицельный параметр фактического пути луча от бесконечно малой массы $d^{2}\xi ^{\prime }dz\rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z)$ находится по координатам $({\vec {\xi }}^{\prime },z)$.

Приближение тонкой линзы

В пределе «тонкой линзы», когда расстояния между источником, линзой и наблюдателем намного больше размера линзы (это почти всегда верно для астрономических объектов), мы можем определить проецируемую плотность массы

$\Sigma ({\vec {\xi }}^{\prime })=\int \rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z)dz$

где ${\vec {\xi }}^{\prime }$ — вектор в плоскости неба. Тогда угол отклонения

${\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {\xi }})={\frac {4G}{c^{2}}}\int {\frac {({\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime })\Sigma ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|^{2}}}d^{2}\xi ^{\prime }$

Углы, участвующие в тонкой системе гравитационных линз.

Как показано на диаграмме справа, разница между угловым положением без линзы ${\vec {\beta }}$ и наблюдаемое положение ${\vec {\theta }}$ это угол отклонения, уменьшенный на отношение расстояний, описываемый уравнением линзы

${\vec {\beta }}={\vec {\theta }}-{\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\vec {\theta }}-{\frac {D_{ds}}{D_{s}}}{\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {D_{d}\theta }})$

где $D_{ds}~$ — расстояние от линзы до источника, $D_{s}~$ - расстояние от наблюдателя до источника, а $D_{d}~$ — расстояние от наблюдателя до линзы. Для внегалактических линз это должны быть расстояния углового диаметра .

В условиях сильной гравитационной линзы это уравнение может иметь несколько решений, поскольку единственный источник на расстоянии ${\vec {\beta }}$ можно объединить в несколько изображений.

Потенциал конвергенции и отклонения

Уменьшенный угол отклонения ${\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})$ можно записать как

${\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\frac {1}{\pi }}\int d^{2}\theta ^{\prime }{\frac {({\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime })\kappa ({\vec {\theta }}^{\prime })}{|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime }|^{2}}}$

где мы определяем сходимость

$\kappa ({\vec {\theta }})={\frac {\Sigma ({\vec {\theta }})}{\Sigma _{cr}}}$

и критическая поверхностная плотность (не путать с критической плотностью Вселенной)

$\Sigma _{cr}={\frac {c^{2}D_{s}}{4\pi GD_{ds}D_{d}}}$

Мы также можем определить потенциал отклонения

$\psi ({\vec {\theta }})={\frac {1}{\pi }}\int d^{2}\theta ^{\prime }\kappa ({\vec {\theta }}^{\prime })\ln |{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime }|$

такой, что масштабированный угол отклонения представляет собой просто градиент потенциала, а сходимость равна половине лапласиана потенциала:

${\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}={\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\vec {\nabla }}\psi ({\vec {\theta }})$

$\kappa ({\vec {\theta }})={\frac {1}{2}}\nabla ^{2}\psi ({\vec {\theta }})$

Потенциал отклонения также можно записать как масштабированную проекцию ньютоновского гравитационного потенциала. $\Phi ~$ линзы

$\psi ({\vec {\theta }})={\frac {2D_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int \Phi (D_{d}{\vec {\theta }},z)dz$

Линзирующий якобиан

Якобиан равен между безлинзовой и линзированной системами координат

$A_{ij}={\frac {\partial \beta _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}-{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}}$

где $\delta _{ij}~$ это дельта Кронекера . Поскольку матрица вторых производных должна быть симметричной, якобиан можно разложить на диагональный член, включающий сходимость, и член без следов, включающий сдвиг. $\gamma ~$

$A=(1-\kappa )\left[{\begin{array}{c c }1&0\\0&1\end{array}}\right]-\gamma \left[{\begin{array}{c c }\cos 2\phi &\sin 2\phi \\\sin 2\phi &-\cos 2\phi \end{array}}\right]$

где $\phi ~$ это угол между ${\vec {\alpha }}$ и ось X. Термин, связанный с конвергенцией, увеличивает изображение за счет увеличения его размера при сохранении поверхностной яркости. Термин, включающий сдвиг, растягивает изображение по касательной вокруг линзы, как обсуждалось в разделе «Наблюдаемые слабого линзирования» .

Определенный здесь сдвиг не эквивалентен сдвигу, традиционно определяемому в математике, хотя оба растягивают изображение неравномерно.

Влияние компонентов конвергенции и сдвига на круговой источник, представленный сплошным зеленым кружком. Обозначение комплексного сдвига определено ниже .

Поверхность Ферма

Существует альтернативный способ вывода уравнения линзы, начиная с времени прибытия фотона (поверхность Ферма).

$t=\int _{0}^{z_{s}}{ndz \over c\cos \alpha (z)}$

где $dz/c$ — это время прохождения бесконечно малого линейного элемента по прямой линии источник-наблюдатель в вакууме, что равно затем корректируется коэффициентом

$1/\cos(\alpha (z))\approx 1+{\alpha (z)^{2} \over 2}$

чтобы получить элемент линии по изогнутому пути $dl={dz \over c\cos \alpha (z)}$ с переменным малым углом наклона $\alpha (z),$ и показатель преломления n для «эфира», т. е. гравитационного поля. Последнее можно получить из того факта, что фотон движется по нулевой геодезической слабовозмущенной статической Вселенной Минковского.

$ds^{2}=0=c^{2}dt^{2}\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)-\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)^{-1}dl^{2}$

где неравномерный гравитационный потенциал $\Phi \ll c^{2}$ приводит к изменению скорости света

$c'={dl/dt}=\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)c.$

Итак, показатель преломления

$n\equiv {c \over c'}\approx \left(1-{2\Phi \over c^{2}}\right).$

Показатель преломления больше единицы из-за отрицательного гравитационного потенциала. $\Phi$.

Соединив их вместе и сохранив ведущие члены, мы получим поверхность времени прибытия.

$t\approx \int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}+\int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}{\alpha (z)^{2} \over 2}-\int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}{2\Phi \over c^{2}}.$

Первый член — это время прохождения по прямому пути, второй — дополнительный геометрический путь, а третий — гравитационная задержка. Сделайте приближение треугольника, что $\alpha (z)=\theta -\beta$ для пути между наблюдателем и линзой, и $\alpha (z)\approx (\theta -\beta ){D_{d} \over D_{ds}}$ для пути между линзой и источником. Член геометрической задержки становится

${D_{d} \over c}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}+{D_{ds} \over c}{\left[({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}){D_{d} \over D_{ds}}\right]^{2} \over 2}={D_{d}D_{s} \over D_{ds}c}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}.$

(Как? Нет $D_{s}$ слева. Угловые расстояния между диаметрами, как правило, не складываются простым способом.) Таким образом, поверхность Ферма становится

$t=constant+{D_{d}D_{s} \over D_{ds}c}\tau ,~\tau \equiv \left[{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}-\psi \right]$

где $\tau$ – так называемая безразмерная задержка по времени и потенциал двумерного линзирования

$\psi ({\vec {\theta }})={\frac {2D_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int \Phi (D_{d}{\vec {\theta }},z)dz.$

Изображения лежат на экстремумах этой поверхности, поэтому изменение $\tau$ с ${\vec {\theta }}$ равен нулю,

$0=\nabla _{\vec {\theta }}\tau ={\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}-\nabla _{\vec {\theta }}\psi ({\vec {\theta }})$

что является уравнением линзы. Возьмите уравнение Пуассона для трехмерного потенциала.

$\Phi ({\vec {\xi }})=-\int {\frac {d^{3}\xi ^{\prime }\rho ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|}}$

и мы находим потенциал 2D-линзирования

$\psi ({\vec {\theta }})=-{\frac {2GD_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int dz\int {\frac {d^{3}\xi ^{\prime }\rho ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|}}=-\sum _{i}{\frac {2GM_{i}D_{is}}{D_{s}D_{i}c^{2}}}\left[\sinh ^{-1}{|z-D_{i}| \over D_{i}|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|}\right]|_{D_{i}}^{D_{s}}+|_{D_{i}}^{0}.$

Здесь мы предположили, что линза представляет собой набор точечных масс. $M_{i}$ по угловым координатам ${\vec {\theta }}_{i}$ и расстояния $z=D_{i}.$ Использовать $\sinh ^{-1}1/x=\ln(1/x+{\sqrt {1/x^{2}+1}})\approx -\ln(x/2)$ для очень малого x мы находим

$\psi ({\vec {\theta }})\approx \sum _{i}{\frac {4GM_{i}D_{is}}{D_{s}D_{i}c^{2}}}\left[\ln \left({|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}| \over 2}{D_{i} \over D_{is}}\right)\right].$

можно вычислить Сходимость , применив двумерный лапласиан потенциала двумерного линзирования.

$\kappa ({\vec {\theta }})={\frac {1}{2}}\nabla _{\vec {\theta }}^{2}\psi ({\vec {\theta }})={\frac {4\pi GD_{ds}D_{d}}{c^{2}D_{s}}}\int dz\rho (D_{d}{\vec {\theta }},z)={\Sigma \over \Sigma _{cr}}=\sum _{i}{4\pi GM_{i}D_{is} \over c^{2}D_{i}D_{s}}\delta ({\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i})$

в соответствии с предыдущим определением $\kappa ({\vec {\theta }})={\Sigma \over \Sigma _{cr}}$ как отношение проектируемой плотности к критической плотности. Здесь мы использовали $\nabla ^{2}1/r=-4\pi \delta (r)$ и $\nabla _{\vec {\theta }}=D_{d}\nabla .$

Мы также можем подтвердить ранее определенный приведенный угол отклонения.

${\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}=\nabla _{\vec {\theta }}\psi ({\vec {\theta }})=\sum _{i}{\theta _{Ei}^{2} \over |{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|},~\pi \theta _{Ei}^{2}\equiv {4\pi GM_{i}D_{is} \over c^{2}D_{s}D_{i}}$

где $\theta _{Ei}$ - так называемый угловой радиус Эйнштейна точечной линзы $M_{i}$. Для одноточечной линзы в начале координат мы восстанавливаем стандартный результат что у двух решений существенно квадратного уравнения будет два изображения

${\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}={\theta _{E}^{2} \over |{\vec {\theta }}|}.$

Матрица усиления может быть получена путем двойных производных безразмерной задержки по времени

$A_{ij}={\partial \beta _{j} \over \partial \theta _{i}}={\partial \tau \over \partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}=\delta _{ij}-{\partial \psi \over \partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}=\left[{\begin{array}{c c }1-\kappa -\gamma _{1}&\gamma _{2}\\\gamma _{2}&1-\kappa +\gamma _{1}\end{array}}\right]$

где мы определили производные

$\kappa ={\partial \psi \over 2\partial \theta _{1}\partial \theta _{1}}+{\partial \psi \over 2\partial \theta _{2}\partial \theta _{2}},~\gamma _{1}\equiv {\partial \psi \over 2\partial \theta _{1}\partial \theta _{1}}-{\partial \psi \over 2\partial \theta _{2}\partial \theta _{2}},~\gamma _{2}\equiv {\partial \psi \over \partial \theta _{1}\partial \theta _{2}}$

что принимает смысл схождения и сдвига. Усиление является обратным якобиану

$A=1/det(A_{ij})={1 \over (1-\kappa )^{2}-\gamma _{1}^{2}-\gamma _{2}^{2}}$

где позитив $A$ означает либо максимум, либо минимум, а отрицательный $A$ означает седловую точку на поверхности прибытия.

Для одноточечной линзы можно показать (хотя и с длительным расчетом), что

$\kappa =0,~\gamma ={\sqrt {\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}}}={\theta _{E}^{2} \over |\theta |^{2}},~\theta _{E}^{2}={4GMD_{ds} \over c^{2}D_{d}D_{s}}.$

Таким образом, усиление точечной линзы определяется выражением

$A=\left(1-{\theta _{E}^{4} \over \theta ^{4}}\right)^{-1}.$

Примечание. A расходится для изображений на радиусе Эйнштейна. $\theta _{E}.$

В случаях, когда имеется несколько точечных линз плюс гладкий фон из (темных) частиц поверхностной плотности. $\Sigma _{\rm {cr}}\kappa _{\rm {smooth}},$ поверхность времени прибытия равна

$\psi ({\vec {\theta }})\approx {1 \over 2}\kappa _{\rm {smooth}}|\theta |^{2}+\sum _{i}\theta _{E}^{2}\left[\ln \left({|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|^{2} \over 4}{D_{d} \over D_{ds}}\right)\right].$

Чтобы вычислить усиление, например, в начале координат (0,0), из-за идентичных точечных масс, распределенных в точках $(\theta _{xi},\theta _{yi})$ нам нужно сложить общий сдвиг и включить схождение гладкого фона,

$A=\left[(1-\kappa _{\rm {smooth}})^{2}-\left(\sum _{i}{(\theta _{xi}^{2}-\theta _{yi}^{2})\theta _{E}^{2} \over (\theta _{xi}^{2}+\theta _{yi}^{2})^{2}}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{(2\theta _{xi}\theta _{yi})\theta _{E}^{2} \over (\theta _{xi}^{2}+\theta _{yi}^{2})^{2}}\right)^{2}\right]^{-1}$

Обычно это создает сеть критических кривых, линий, соединяющих точки изображения с бесконечным усилением.

Общее слабое линзирование

При слабом линзировании крупномасштабной структурой приближение тонкой линзы может не работать, а протяженные структуры с низкой плотностью не могут быть хорошо аппроксимированы несколькими плоскостями тонких линз. В этом случае отклонение можно определить, предположив, что гравитационный потенциал повсюду медленно меняется (по этой причине это приближение неприменимо для сильного линзирования). Этот подход предполагает, что Вселенная хорошо описывается ньютоновской метрикой FRW , но не делает никаких других предположений о распределении линзирующей массы.

Как и в случае с тонкой линзой, эффект можно записать как отображение углового положения без линзы. ${\vec {\beta }}$ в положение линзы ${\vec {\theta }}$. Якобиан . преобразования можно записать в виде интеграла по гравитационному потенциалу $\Phi ~$ по линии взгляда

${\frac {\partial \beta _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}+\int _{0}^{r_{\infty }}drg(r){\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {x}}(r))}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}$

где $r~$ это приближающееся расстояние , $x^{i}~$ поперечные расстояния, а

$g(r)=2r\int _{r}^{r_{\infty }}dr'\left(1-{\frac {r^{\prime }}{r}}\right)W(r^{\prime })$

— ядро ​​линзирования , определяющее эффективность линзирования при распределении источников $W(r)~$.

Якобиан $A_{ij}~$ могут быть разложены на члены конвергенции и сдвига, как и в случае с тонкой линзой, а в пределе, когда линза одновременно тонкая и слабая, их физическая интерпретация одинакова.

Слабые наблюдаемые линзирования

При слабом гравитационном линзировании якобиан отображается путем наблюдения за влиянием сдвига на эллиптичность фоновых галактик. Этот эффект является чисто статистическим; в форме любой галактики будет доминировать ее случайная форма без линз, но линзирование приведет к пространственно когерентному искажению этих форм.

Меры эллиптичности

В большинстве областей астрономии эллиптичность определяется как $1-q~$, где $q={\frac {b}{a}}$ - соотношение осей эллипса . В слабой гравитационной линзе обычно используются два разных определения, и оба являются комплексными величинами, которые определяют как соотношение осей, так и позиционный угол. $\phi ~$:

$\chi ={\frac {1-q^{2}}{1+q^{2}}}e^{2i\phi }={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}e^{2i\phi }$

$\epsilon ={\frac {1-q}{1+q}}e^{2i\phi }={\frac {a-b}{a+b}}e^{2i\phi }$

Как и в случае традиционной эллиптичности, величины обеих этих величин варьируются от 0 (круг) до 1 (отрезок прямой). Угол положения кодируется в комплексной фазе, но из-за коэффициента 2 в тригонометрических аргументах эллиптичность инвариантна при повороте на 180 градусов. Этого следовало ожидать; эллипс не изменяется при повороте на 180 °. Действительная часть комплексной эллиптичности, взятая как мнимая и действительная части, описывает удлинение вдоль осей координат, а мнимая часть описывает удлинение на 45° от осей.

Эллиптичность часто записывается как двухкомпонентный вектор вместо комплексного числа, хотя это не настоящий вектор с точки зрения преобразований :

$\chi =\{\left|\chi \right|\cos 2\phi ,\left|\chi \right|\sin 2\phi \}$

$\epsilon =\{\left|\epsilon \right|\cos 2\phi ,\left|\epsilon \right|\sin 2\phi \}$

Реальные источники астрономического фона не являются идеальными эллипсами. Их эллиптичность можно измерить, найдя эллиптическую модель, наиболее подходящую к данным, или путем измерения вторых моментов изображения относительно некоторого центроида. $({\bar {x}},{\bar {y}})$

$q_{xx}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})^{2}I(x,y)}{\sum I(x,y)}}$

$q_{yy}={\frac {\sum (y-{\bar {y}})^{2}I(x,y)}{\sum I(x,y)}}$

$q_{xy}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})(y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum I(x,y)}}$

Тогда комплексные эллиптичности

$\chi ={\frac {q_{xx}-q_{yy}+2iq_{xy}}{q_{xx}+q_{yy}}}$

$\epsilon ={\frac {q_{xx}-q_{yy}+2iq_{xy}}{q_{xx}+q_{yy}+2{\sqrt {q_{xx}q_{yy}-q_{xy}^{2}}}}}$

Это можно использовать для связи вторых моментов с традиционными параметрами эллипса:

$q_{xx}=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \,$

$q_{yy}=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta \,$

$q_{xy}=(a^{2}-b^{2})\sin \theta \cos \theta \,$

и наоборот:

$a^{2}={\frac {q_{xx}+q_{yy}+{\sqrt {(q_{xx}-q_{yy})^{2}+4q_{xy}^{2}}}}{2}}$

$b^{2}={\frac {q_{xx}+q_{yy}-{\sqrt {(q_{xx}-q_{yy})^{2}+4q_{xy}^{2}}}}{2}}$

$\tan 2\theta ={\frac {2q_{xy}}{q_{xx}-q_{yy}}}$

Невзвешенные вторые моменты, приведенные выше, проблематичны при наличии шума, соседних объектов или расширенных профилей галактик, поэтому вместо них обычно используют аподизированные моменты:

$q_{xx}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})^{2}w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}$

$q_{yy}={\frac {\sum (y-{\bar {y}})^{2}w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}$

$q_{xy}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})(y-{\bar {y}})w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}$

Здесь $w(x,y)~$ — это весовая функция, которая обычно стремится к нулю или быстро приближается к нулю на некотором конечном радиусе.

Моменты изображения обычно не могут быть использованы для измерения эллиптичности галактик без поправки на эффекты наблюдений , особенно на функцию рассеяния точки .

Сдвиг и уменьшенный сдвиг

Напомним, что линзирующий якобиан можно разложить на сдвиговый $\gamma ~$ и конвергенция $\kappa ~$. Воздействие на круглый источник фона с радиусом $R~$, линзирование создает эллипс с большой и малой осями

$a={\frac {R}{1-\kappa -\gamma }}$

$b={\frac {R}{1-\kappa +\gamma }}$

до тех пор, пока сдвиг и конвергенция существенно не изменяются в зависимости от размера источника (в этом случае линзированное изображение не является эллипсом). Однако галактики не являются круглыми по своей сути, поэтому необходимо количественно оценить влияние линзирования на ненулевую эллиптичность.

Мы можем определить комплексный сдвиг по аналогии с комплексными эллиптичностями, определенными выше.

$\gamma =\left|\gamma \right|e^{2i\phi }$

а также уменьшенный сдвиг

$g\equiv {\frac {\gamma }{1-\kappa }}$

Линзовый якобиан теперь можно записать как

$A=\left[{\begin{array}{c c }1-\kappa -\mathrm {Re} [\gamma ]&-\mathrm {Im} [\gamma ]\\-\mathrm {Im} [\gamma ]&1-\kappa +\mathrm {Re} [\gamma ]\end{array}}\right]=(1-\kappa )\left[{\begin{array}{c c }1-\mathrm {Re} [g]&-\mathrm {Im} [g]\\-\mathrm {Im} [g]&1+\mathrm {Re} [g]\end{array}}\right]$

Для уменьшения сдвига $g~$ и безлинзовые комплексные эллиптичности $\chi _{s}~$ и $\epsilon _{s}~$, линзированные эллиптичности равны

$\chi ={\frac {\chi _{s}+2g+g^{2}\chi _{s}^{*}}{1+|g|^{2}+2\mathrm {Re} (g\chi _{s}^{*})}}$

$\epsilon ={\frac {\epsilon _{s}+g}{1+g^{*}\epsilon _{s}}}$

В пределе слабого линзирования $\gamma \ll 1$ и $\kappa \ll 1$, так

$\chi \approx \chi _{s}+2g\approx \chi _{s}+2\gamma$

$\epsilon \approx \epsilon _{s}+g\approx \epsilon _{s}+\gamma$

Если мы можем предположить, что источники ориентированы случайным образом, их комплексная эллиптичность в среднем равна нулю, поэтому

$\langle \chi \rangle =2\langle \gamma \rangle$ и $\langle \epsilon \rangle =\langle \gamma \rangle$.

Это основное уравнение слабого линзирования: средняя эллиптичность фоновых галактик является прямой мерой сдвига, вызванного массой переднего плана.

Увеличение

Хотя гравитационное линзирование сохраняет поверхностную яркость, как того требует теорема Лиувилля , линзирование действительно меняет видимый телесный угол источника. Величина увеличения определяется отношением площади изображения к площади источника. Для линзы с круговой симметрией коэффициент увеличения μ определяется выражением

$\mu ={\frac {\theta }{\beta }}{\frac {d\theta }{d\beta }}$

С точки зрения конвергенции и сдвига

$\mu ={\frac {1}{\det A}}={\frac {1}{[(1-\kappa )^{2}-\gamma ^{2}]}}$

По этой причине якобиан $A~$ также известна как «матрица обратного увеличения».

Приведенный сдвиг инвариантен к масштабированию якобиана. $A~$ по скаляру $\lambda ~$, что эквивалентно преобразованиям

$1-\kappa ^{\prime }=\lambda (1-\kappa )$

и

$\gamma ^{\prime }=\lambda \gamma$.

Таким образом, $\kappa$ можно определить только с точностью до преобразования $\kappa \rightarrow \lambda \kappa +(1-\lambda )$, известное как «вырождение массового листа». В принципе, это вырождение можно преодолеть, если доступно независимое измерение увеличения, поскольку увеличение не является инвариантным относительно вышеупомянутого преобразования вырождения. Конкретно, $\mu ~$ весы с $\lambda ~$ как $\mu \propto \lambda ^{-2}$.