Группа Мамфорда-Тейта

В алгебраической геометрии группа Мамфорда –Тейта (или группа Ходжа ) MT ( F построенная из структуры Ходжа F, является некоторой алгебраической группой G. ) , Когда F задано рациональным представлением алгебраического тора , определение G является замыканием Зариского образа в представлении группы кругов над рациональными числами . Мамфорд ( 1966 ) ввел группы Мамфорда–Тейта над комплексными числами под названием групп Ходжа. Серр (1967) ввел p -адический аналог конструкции Мамфорда для модулей Ходжа–Тейта , используя работу Тейта ( 1967 ) о p-делимых группах , и назвал их группами Мамфорда–Тейта.

Формулировка [ править ]

Алгебраический тор T, используемый для описания структур Ходжа, имеет конкретное матричное представление в виде обратимых матриц 2 × 2 формы, которая задается действием a + bi на основе {1, i } комплексных чисел C над R. :

{\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}}.

Группа кругов внутри этой группы матриц является унитарной группой U (1).

Структуры Ходжа, возникающие в геометрии, например на группах когомологий кэлеровых многообразий , имеют решетку, состоящую из целых классов когомологий. Для определения группы Мамфорда–Тейта требуется не так уж и много, но предполагается, что векторное пространство V, лежащее в основе структуры Ходжа, имеет заданную рациональную структуру, т. е. задано над рациональными числами Q . целей теории комплексное векторное пространство VC _Для , полученное расширением скаляров V от Q до C. используется

Вес k структуры Ходжа описывает действие диагональных матриц T , и V поэтому предполагается, что является однородным с весом k под этим действием. Под действием полной группы V _C распадается на подпространства V ^ПК, комплексно сопряженный попарно при переключении p и q . Рассматривая матрицу в терминах комплексного числа λ, которое она представляет, V ^ПК имеет действие λ в p- й степени и комплексно-сопряженного λ в q -й степени. Здесь обязательно

п + q знак равно k .

Говоря более абстрактно, тор T, лежащий в основе группы матриц, представляет собой ограничение Вейля мультипликативной группы GL (1) от комплексного поля к действительному полю, алгебраический тор, группа характеров которого состоит из двух гомоморфизмов в GL (1) , замененные комплексным сопряжением.

Будучи сформулировано таким образом, рациональное представление ρ группы на V , устанавливающее структуру Ходжа F, определяет образ ρ( U (1)) в GL ( VC _T ); и MT ( F ) по определению является наименьшей алгебраической группой, определенной над Q, содержащей этот образ. ^[1]

– Гипотеза Тейта Мамфорда

Исходным контекстом для формулировки рассматриваемой группы был вопрос о Галуа на модуле Тейта абелева многообразия A. представлении Гипотетически образ такого представления Галуа, которое является l-адической группой Ли для данного простого числа l , определяется соответствующей группой Мамфорда–Тейта G (происходящей из структуры Ходжа на H ¹( A )), поскольку знание G определяет алгебру Ли образа Галуа. Эта гипотеза известна лишь в частных случаях. ^[2] Посредством обобщений этой гипотезы группа Мамфорда-Тейта была связана с мотивной группой Галуа и, например, с общим вопросом расширения гипотезы Сато-Тейта (теперь это теорема).

периоде Гипотеза о

Связанная с этим гипотеза об абелевых многообразиях утверждает, что периодов матрица A над числовым полем имеет степень трансцендентности в смысле поля, порожденного ее элементами, предсказанного размерностью ее группы Мамфорда – Тейта, как в предыдущем разделе. Работа Пьера Делиня показала, что размерность ограничивает степень трансцендентности; так что группа Мамфорда–Тейта улавливает достаточно много алгебраических отношений между периодами. Это частный случай гипотезы о полном периоде Гротендика. ^[3]^[4]

Примечания [ править ]

^ http://www.math.columbia.edu/~thaddeus/seattle/voisin.pdf , стр. 7–9.
^ http://math.berkeley.edu/~ribet/Articles/mg.pdf , опрос Кена Рибета .
^ http://math.cts.nthu.edu.tw/Mathematics/preprints/prep2005-6-002.pdf , стр. 3.
^ https://arxiv.org/abs/0805.2569v1 , с. 7.

Ссылки [ править ]

Мамфорд, Дэвид (1966), «Семейства абелевых многообразий», Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Боулдер, Колорадо, 1965) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 347–351, МР 0206003
Серр, Жан-Пьер (1967), «О группах Галуа, присоединенных к p-делимым группам», в Springer, Тонни А. (ред.), Proceedings of the Conference on Local Fields (Driebergen, 1966) , Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг , стр. 118–131, ISBN 978-3-540-03953-2 МР 0242839
Тейт, Джон Т. (1967), «p-делимые группы», в Springer, Тонни А. (ред.), Proc. Конф. Местные поля (Дриберген, 1966) , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR 0231827

Внешние ссылки [ править ]

[1] ttp://www.math.columbia.edu/~thaddeus/seattle/voisin.pdf , стр. 7–9.

[2] ttp://math.berkeley.edu/~ribet/Articles/mg.pdf , опрос Кена Рибета .

[3] ttp://math.cts.nthu.edu.tw/Mathematics/preprints/prep2005-6-002.pdf , стр. 3.

[4] ttps://arxiv.org/abs/0805.2569v1 , с. 7.

[1]

[2]

[3]

[4]