Количественные модели потенциала действия

В нейрофизиологии несколько математических моделей потенциала действия разработано , которые делятся на два основных типа. Первый тип направлен на количественное моделирование экспериментальных данных, т.е. на точное воспроизведение измерений тока и напряжения. Известная Ходжкина-Хаксли модель аксона кальмара Лолиго является примером таких моделей. Хотя модель HH качественно правильна, она не описывает точно каждый тип возбудимой мембраны, поскольку она рассматривает только два иона (натрия и калия), каждый из которых имеет только один тип потенциал-чувствительного канала. Однако другие ионы, такие как кальций, могут быть важны, и для всех ионов существует большое разнообразие каналов. Например, сердечный потенциал действия иллюстрирует, как потенциалы действия различной формы могут генерироваться на мембранах с потенциал-чувствительными кальциевыми каналами и различными типами натриевых/калиевых каналов. Второй тип математической модели является упрощением первого типа; цель — не воспроизвести экспериментальные данные, а качественно понять роль потенциалов действия в нейронных цепях. Для этой цели подробные физиологические модели могут оказаться излишне сложными и затмить «лес за деревьями». Модель ФитцХью-Нагумо типична для этого класса, который часто изучается на предмет его поведения вовлекания . Увлечение обычно наблюдается в природе, например, при синхронном освещении светлячков , которое координируется вспышкой потенциалов действия; унос также можно наблюдать в отдельных нейронах. Оба типа моделей могут использоваться для понимания поведения небольших биологических нейронных сетей , таких как центральные генераторы шаблонов, ответственные за некоторые автоматические рефлекторные действия. Такие сети могут генерировать сложную временную структуру потенциалов действия, которая используется для координации мышечных сокращений, например, тех, которые участвуют в дыхании или быстром плавании, чтобы спастись от хищника.

Модель Ходжкина – Хаксли

Основная статья: модель Ходжкина – Хаксли

Эквивалентная электрическая схема для модели потенциала действия Ходжкина – Хаксли. I _m и V _m представляют ток через небольшой участок мембраны и напряжение на нем соответственно. C g _m представляет собой емкость мембранного участка, тогда как четыре представляют проводимость четырех типов ионов. Две проводимости слева, для калия (K) и натрия (Na), показаны стрелками, указывающими на то, что они могут меняться в зависимости от приложенного напряжения, что соответствует потенциалочувствительным ионным каналам .

В 1952 году Алан Ллойд Ходжкин и Эндрю Хаксли разработали набор уравнений, соответствующих их экспериментальным данным о фиксации напряжения на аксональной мембране. Модель предполагает, что емкость мембраны C постоянна; таким образом, трансмембранное напряжение V изменяется с общим трансмембранным током I _tot согласно уравнению

$C{\frac {dV}{dt}}=I_{\mathrm {tot} }=I_{\mathrm {ext} }+I_{\mathrm {Na} }+I_{\mathrm {K} }+I_{\mathrm {L} }$

где I _Na , I _K и I _L — токи, проходящие через локальные натриевые каналы, калиевые каналы и каналы «утечки» (объемные каналы) соответственно. Начальный член I _ext представляет собой ток, поступающий от внешних источников, таких как возбуждающие постсинаптические потенциалы от дендритов или электрода ученого.

Модель далее предполагает, что данный ионный канал либо полностью открыт, либо закрыт; если он закрыт, его проводимость равна нулю, тогда как если открыт, его проводимость равна некоторому постоянному значению g . Следовательно, чистый ток через ионный канал зависит от двух переменных: вероятности p _{открытия} канала и разницы напряжения от равновесного напряжения этого иона, V - V _eq . Например, ток через калиевый канал можно записать как

$I_{\mathrm {K} }=g_{\mathrm {K} }\left(V-E_{\mathrm {K} }\right)p_{\mathrm {open,K} }$

что эквивалентно закону Ома . По определению, чистый ток не течет ( I _K = 0), когда трансмембранное напряжение равно равновесному напряжению этого иона (когда V = E _K ).

Чтобы точно соответствовать своим данным, Ходжкин и Хаксли предположили, что каждый тип ионного канала имеет несколько «ворот», так что канал открыт, только если все ворота открыты, и закрыты в противном случае. Они также предположили, что вероятность открытия ворот не зависит от открытия других ворот; позже это предположение было подтверждено для ворот инактивации. Ходжкин и Хаксли смоделировали потенциал-чувствительный калиевый канал как имеющий четыре ворота; если p _n обозначает вероятность открытия одного такого вентиля, то вероятность открытия всего канала является произведением четырех таких вероятностей, т. е. p _{открыто, K} = n ⁴ . Аналогичным образом, вероятность потенциал-чувствительного натриевого канала была смоделирована так, чтобы иметь три одинаковых вентиля с вероятностью m и четвертый вентиль, связанный с инактивацией, с вероятностью h ; таким образом, p _{open, Na} = m ³ ч . Предполагается, что вероятности для каждых ворот подчиняются кинетике первого порядка.

${\frac {dm}{dt}}=-{\frac {m-m_{\mathrm {eq} }}{\tau _{m}}}$

где как равновесное значение m _eq, так и постоянная времени релаксации τ _m зависят от мгновенного напряжения V на мембране. Если V изменяется во временном масштабе медленнее, чем τ _m , вероятность m всегда будет примерно равна равновесному значению m _eq ; однако если V изменяется быстрее, то m будет отставать от m _eq . Сопоставив данные фиксации напряжения, Ходжкин и Хаксли смогли смоделировать, как эти равновесные значения и константы времени меняются в зависимости от температуры и трансмембранного напряжения. Формулы сложны и экспоненциально зависят от напряжения и температуры. Например, постоянная времени вероятности активации натриевых каналов h изменяется как 3 ^{(θ−6,3)/10} с температурой Цельсия θ и напряжением V как

${\frac {1}{\tau _{h}}}=0.07e^{-V/20}+{\frac {1}{1+e^{3-V/10}}}.$

Таким образом, уравнения Ходжкина-Хаксли представляют собой сложные нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения с четырьмя независимыми переменными : трансмембранным напряжением V и вероятностями m , h и n . Общего решения этих уравнений не обнаружено. Менее амбициозный, но общеприменимый метод исследования таких нелинейных динамических систем — рассмотрение их поведения вблизи фиксированной точки . Этот анализ показывает, что система Ходжкина–Хаксли претерпевает переход от устойчивого покоя к пачкам возбуждающего тока I _ext колебаний при постепенном увеличении ; Примечательно, что аксон снова становится стабильно неподвижным по мере дальнейшего увеличения стимулирующего тока. Также было проведено более общее исследование типов качественного поведения аксонов, предсказываемых уравнениями Ходжкина–Хаксли.

Модель ФитцХью – Нагумо

Основная статья: Модель ФитцХью – Нагумо

Рисунок FHN: Чтобы имитировать потенциал действия, модель ФитцХью-Нагумо и ее родственники используют функцию g ( V ) с отрицательным дифференциальным сопротивлением (отрицательный наклон на графике зависимости I от V ). Для сравнения, нормальный резистор будет иметь положительный наклон по закону Ома I = GV , где проводимость G является обратной величиной сопротивления G =1/ R .

Из-за сложности уравнений Ходжкина – Хаксли были разработаны различные упрощения, которые демонстрируют качественно подобное поведение. Модель ФитцХью-Нагумо является типичным примером такой упрощенной системы. Модель FHN, основанная на туннельном диоде , имеет только две независимые переменные, но демонстрирует поведение стабильности, аналогичное полным уравнениям Ходжкина – Хаксли. Уравнения

$C{\frac {dV}{dt}}=I-g(V),$

$L{\frac {dI}{dt}}=E-V-RI$

где g(V) — функция напряжения V , имеющая область отрицательного наклона в середине, окруженную одним максимумом и одним минимумом (рис. FHN). Хорошо изученным простым случаем модели ФитцХью–Нагумо является модель нерва Бонхёффера–ван дер Поля, которая описывается уравнениями

$C{\frac {dV}{dt}}=I-\epsilon \left({\frac {V^{3}}{3}}-V\right),$

$L{\frac {dI}{dt}}=-V$

где коэффициент ε предполагается малым. Эти уравнения можно объединить в дифференциальное уравнение второго порядка.

$C{\frac {d^{2}V}{dt^{2}}}+\epsilon \left(V^{2}-1\right){\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{L}}=0.$

Это уравнение Ван дер Поля стимулировало множество исследований в области математики нелинейных динамических систем . Схемы операционных усилителей , реализующие модели потенциала действия ФХН и Ван дер Поля, были разработаны Кинером.

Гибрид моделей Ходжкина-Хаксли и ФитцХью-Нагумо был разработан Моррисом и Лекаром в 1981 году и применен к мышечным волокнам ракообразных . Верная физиологии ракушек, модель Морриса-Лекара заменяет потенциалзависимый натриевый ток модели Ходжкина-Хаксли зависимым от напряжения кальциевым током. Инактивации нет (нет переменной h ), и кальциевый ток мгновенно уравновешивается, так что опять же, есть только две зависящие от времени переменные: трансмембранное напряжение V и вероятность калиевых ворот n . Взрыв, унос и другие математические свойства этой модели были подробно изучены.

Простейшими моделями потенциала действия являются модели «смыва и заполнения» (также называемые моделями «интеграции и запуска»), в которых входной сигнал суммируется (фаза «заполнения») до тех пор, пока не достигнет порогового значения, запуская импульс и обнуление суммирования (фаза «промывки»). Все эти модели способны проявлять увлечение , которое обычно наблюдается в нервных системах.

Внеклеточные потенциалы и токи

В то время как приведенные выше модели моделируют трансмембранное напряжение и ток на одном участке мембраны, другие математические модели относятся к напряжениям и токам в ионном растворе, окружающем нейрон. Такие модели полезны при интерпретации данных с внеклеточных электродов, которые были распространены до изобретения стеклянных электродов-пипеток, которые позволяли осуществлять внутриклеточную запись. Внеклеточная среда может быть смоделирована как нормальный изотропный ионный раствор ; в таких растворах ток следует линиям электрического поля в соответствии с континуальной формой закона Ома.

$\mathbf {j} =\sigma \mathbf {E}$

где j и E — векторы, представляющие плотность тока и электрическое поле соответственно, и где σ — проводимость . Таким образом, j можно найти из E , которое, в свою очередь, можно найти с помощью уравнений Максвелла . Уравнения Максвелла можно свести к относительно простой задаче электростатики , поскольку концентрации ионов изменяются слишком медленно (по сравнению со скоростью света ), чтобы магнитные эффекты были важны. Электрический потенциал φ( x ) в любой внеклеточной точке x можно решить, используя тождества Грина

$\phi (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi \sigma _{\mathrm {outside} }}}\oint _{\mathrm {membrane} }{\frac {\partial }{\partial n}}{\frac {1}{\left|\mathbf {x} -{\boldsymbol {\xi }}\right|}}\left[\sigma _{\mathrm {outside} }\phi _{\mathrm {outside} }({\boldsymbol {\xi }})-\sigma _{\mathrm {inside} }\phi _{\mathrm {inside} }({\boldsymbol {\xi }})\right]dS$

где интеграция происходит по всей поверхности мембраны; ${\boldsymbol {\xi }}$ — положение на мембране, σ _внутри и φ _внутри — проводимость и потенциал непосредственно внутри мембраны, а σ _{снаружи} и φ _{снаружи —} соответствующие значения сразу за пределами мембраны. Таким образом, учитывая эти значения σ и φ на мембране, внеклеточный потенциал φ( x ) можно рассчитать для любого положения x ; в свою очередь, электрическое поле E и плотность тока j можно рассчитать из этого потенциального поля.

См. также

• Модели биологических нейронов
• Уравнение тока GHK
• Модели нейронных вычислений
• Сальтаторная проводимость
• Биоэлектроника
• Теория кабеля

Дальнейшее чтение

• Гласс Л., Макки MC (1988). От часов к хаосу: ритмы жизни . Принстон, Нью-Джерси: Принстонский университет. ISBN  978-0-691-08496-1 .