Симмедиан

В геометрии связанные симмедианы — это три отдельные линии, с каждым треугольником . Они строятся путем взятия медианы треугольника (линии, соединяющей вершину с серединой противоположной стороны) и отражения этой линии через соответствующую биссектрису угла (линия, проходящая через ту же вершину, которая делит угол пополам). Угол, образованный симмедианой и биссектрисой угла, имеет ту же меру, что и угол между медианой и биссектрисой угла, но находится по другую сторону от биссектрисы угла.

Три симмедианы встречаются в центре треугольника, называемом точкой Лемуана . Росс Хонсбергер назвал его существование «одной из жемчужин современной геометрии». ^[1]

Изогональность

Часто в геометрии, если мы проведем через вершины треугольника три специальные линии, или чевианы , то их отражения относительно соответствующих биссектрис, называемые изогональными линиями , также будут иметь интересные свойства. Например, если три чевиана треугольника пересекаются в точке $P$ , то их изогональные линии также пересекаются в точке, называемой сопряженной точкой $P.$ изогонально -

Симмедианы иллюстрируют этот факт.

На диаграмме медианы (черные) пересекаются центроиде $G.$ в
Поскольку симмедианы (красные) изогональны медианам, симмедианы также пересекаются в одной точке $L$ .

треугольника Эта точка называется точкой симмедианы или, альтернативно, точкой Лемуана или точкой Гребе .

Пунктирные линии — биссектрисы угла; симмедианы и медианы симметричны относительно биссектрис (отсюда и название «симмедиана»).

Строительство симмедианы

Пусть $△ ABC$ — треугольник. Постройте точку $D$ , пересекая касательные от $B$ и $C$ к описанной окружности . Тогда $AD$ — симмедиана $△ ABC$ . ^[2]

первое доказательство. Пусть отражение $AD$ через биссектрису угла $∠ BAC$ пересекает $BC$ в точке $M'$ . Затем:

${\frac {|BM'|}{|M'C|}}={\frac {|AM'|{\frac {\sin \angle {BAM'}}{\sin \angle {ABM'}}}}{|AM'|{\frac {\sin \angle {CAM'}}{\sin \angle {ACM'}}}}}={\frac {\sin \angle {BAM'}}{\sin \angle {ACD}}}{\frac {\sin \angle {ABD}}{\sin \angle {CAM'}}}={\frac {\sin \angle {CAD}}{\sin \angle {ACD}}}{\frac {\sin \angle {ABD}}{\sin \angle {BAD}}}={\frac {|CD|}{|AD|}}{\frac {|AD|}{|BD|}}=1$

второе доказательство. Определите $'$ как изогональное сопряжение D $D$ . Легко видеть, что отражением $CD$ относительно биссектрисы является линия, проходящая через $C и$ параллельная $AB$ . То же самое верно и для $BD$ , следовательно, $ABD'C$ — параллелограмм. $AD'$ — это, очевидно, медиана, поскольку диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, а $AD$ — это его отражение относительно биссектрисы.

третье доказательство. Пусть $ω$ — окружность с центром $D,$ проходящая через $B$ и $C$ , и пусть $O$ — центр описанной окружности $△ ABC$ . Скажем, линии $AB, AC$ пересекают $ω$ в точках $P, Q$ соответственно. Поскольку $∠ ABC = ∠ AQP$ , треугольники $△ ABC$ и $△ AQP$ подобны. С

\angle PBQ=\angle BQC+\angle BAC={\frac {\angle BDC+\angle BOC}{2}}=90^{\circ },

мы видим, что $PQ$ является диаметром $ω$ и, следовательно, проходит через $D$ . Пусть $M$ — середина $BC$ . Поскольку $D$ — середина $PQ$ , из подобия следует, что $∠ BAM = ∠ QAD$ , откуда и следует результат.

четвертое доказательство. Пусть $S$ — середина дуги $BC$ . $| БС | = | СК |$ , поэтому $AS$ — биссектриса угла $∠ BAC$ . Пусть $M$ — середина $BC$ , и отсюда следует, что $D$ — обратная к $M$ относительно описанной окружности. Отсюда мы знаем, что описанная окружность представляет собой аполлонов круг с фокусами $M,$ D. Итак, $AS$ — биссектриса угла $∠ DAM$ , и мы достигли желаемого результата.

Тетраэдры

Понятие симмедианной точки распространяется на (неправильные) тетраэдры. В тетраэдре $ABCD$ две плоскости $P, Q,$ проходящие через $AB,$ являются изогонально сопряженными, если они образуют равные углы с плоскостями $ABC$ и $ABD$ . Пусть $M$ — середина стороны $CD$ . Плоскость, содержащая сторону $АВ$ , изогональную плоскости $АВМ,$ называется симмедианой плоскостью тетраэдра. Можно показать, что симмедианные плоскости пересекаются в одной точке — симмедиане. Это также точка, которая минимизирует квадрат расстояния от граней тетраэдра. ^[3]

Ссылки

^ Хонсбергер, Росс (1995), «Глава 7: Симмедиановая точка», Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки .
^ Юфэй, Чжао (2010). Три леммы по геометрии (PDF) . п. 5.
^ Садек, Джавад; Бани-Яхуб, Маджид; Ри, Ной (2016), «Изогональные сопряжения в тетраэдре» (PDF) , Forum Geometricorum , 16 : 43–50 .

Внешние ссылки

[h-1] Хонсбергер, Росс (1995), «Глава 7: Симмедиановая точка», Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки .

[2] Юфэй, Чжао (2010). Три леммы по геометрии (PDF) . п. 5.

[SBR-3] Садек, Джавад; Бани-Яхуб, Маджид; Ри, Ной (2016), «Изогональные сопряжения в тетраэдре» (PDF) , Forum Geometricorum , 16 : 43–50 .

[1]

[2]

[3]