Существование и гладкость Навье–Стокса.

Визуализация течения турбулентной струи, полученная методом лазерно-индуцированной флуоресценции . Струя имеет широкий диапазон масштабов длины, что является важной характеристикой турбулентных потоков.

Проблема существования и гладкости Навье -Стокса касается математических свойств решений уравнений Навье-Стокса , системы уравнений в частных производных , описывающих движение жидкости в пространстве. Решения уравнений Навье–Стокса используются во многих практических приложениях. Однако теоретическое понимание решений этих уравнений является неполным. В частности, решения уравнений Навье-Стокса часто включают турбулентность , которая остаётся одной из величайших нерешённых проблем в физике , несмотря на её огромную важность в науке и технике.

Даже более базовые (и, казалось бы, интуитивные) свойства решений Навье–Стокса никогда не были доказаны. Для трехмерной системы уравнений и при некоторых начальных условиях математики не доказали, что гладкие решения всегда существуют, и не нашли никаких контрпримеров. Это называется проблемой существования и гладкости Навье – Стокса .

Поскольку понимание уравнений Навье-Стокса считается первым шагом к пониманию неуловимого явления турбулентности , Математический институт Клея в мае 2000 года сделал эту задачу одной из семи удостоенных Премии тысячелетия задач по математике, . Он предложил приз в размере 1 000 000 долларов США первому, кто предложит решение для конкретной постановки задачи:

Докажите или приведите контрпример к следующему утверждению:

В трех измерениях пространства и времени, учитывая начальное поле скоростей, существуют векторная скорость и скалярное поле давления, которые являются одновременно гладкими и глобально определенными, которые решают уравнения Навье – Стокса.

Уравнения Навье–Стокса.

Основная статья: уравнения Навье – Стокса

В математике уравнения Навье – Стокса представляют собой систему нелинейных уравнений в частных производных для абстрактных векторных полей любого размера. В физике и технике они представляют собой систему уравнений, моделирующую движение жидкостей или неразреженных газов (в которой средняя длина свободного пробега достаточно коротка, поэтому ее можно рассматривать как среднее значение континуума, а не как совокупность частиц). с помощью механики сплошной среды . Уравнения представляют собой формулировку второго закона Ньютона , в котором силы моделируются в соответствии с действиями в вязкой ньютоновской жидкости — как сумма вкладов давления, вязкого напряжения и внешней объемной силы. Поскольку постановка задачи, предложенная Математическим институтом Клея, является трехмерной, для несжимаемой и однородной жидкости, ниже рассматривается только этот случай.

Позволять $\mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)$ — трехмерное векторное поле, скорость жидкости, и пусть $p({\boldsymbol {x}},t)$ быть давлением жидкости. Уравнения Навье – Стокса:

${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)$

где $\nu >0$ – кинематическая вязкость , $\mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)$ внешняя объемная сила, $\nabla$ — оператор градиента и $\displaystyle \Delta$ – оператор Лапласа , который также обозначается $\nabla \cdot \nabla$ или $\nabla ^{2}$. Обратите внимание, что это векторное уравнение, т. е. оно имеет три скалярных уравнения. Записываем координаты скорости и внешней силы

$\mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,v_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}\,,\qquad \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,f_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}$

тогда для каждого $i=1,2,3$ существует соответствующее скалярное уравнение Навье–Стокса:

${\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}v_{j}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\boldsymbol {x}},t).$

Неизвестные — это скорость $\mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)$ и давление $p({\boldsymbol {x}},t)$. Поскольку в трех измерениях имеется три уравнения и четыре неизвестных (три скалярные скорости и давление), то необходимо дополнительное уравнение. Это дополнительное уравнение представляет собой уравнение неразрывности для несжимаемых жидкостей, которое описывает сохранение массы жидкости:

$\nabla \cdot \mathbf {v} =0.$

Благодаря этому последнему свойству решения уравнений Навье–Стокса ищутся в множестве соленоидальных (« бездивергентных ») функций. Для этого течения однородной среды плотность и вязкость являются постоянными величинами.

Поскольку появляется только его градиент, давление p можно исключить, взяв ротор обеих частей уравнений Навье–Стокса. В этом случае уравнения Навье–Стокса сводятся к уравнениям переноса завихренности .

Уравнения Навье – Стокса являются нелинейными , поскольку члены в уравнениях не имеют простой линейной связи друг с другом. Это означает, что уравнения невозможно решить с помощью традиционных линейных методов, вместо этого необходимо использовать более совершенные методы. Нелинейность важна в уравнениях Навье – Стокса, поскольку она позволяет уравнениям описывать широкий спектр явлений гидродинамики, включая образование ударных волн и другие сложные схемы течения. Однако нелинейность уравнений Навье – Стокса также затрудняет их решение, поскольку традиционные линейные методы могут не работать.

Один из способов понять нелинейность уравнений Навье – Стокса — рассмотреть член (v · ∇)v в уравнениях. Этот член представляет ускорение жидкости и является произведением вектора скорости v и оператора градиента ∇. Поскольку оператор градиента является линейным оператором, член (v · ∇)v нелинейен относительно вектора скорости v. Это означает, что ускорение жидкости зависит от величины и направления скорости, а также от пространственного распределения скорость внутри жидкости.

Нелинейный характер уравнений Навье – Стокса можно увидеть в члене $(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v}$, которое представляет собой ускорение жидкости из-за ее собственной скорости. Этот член является нелинейным, поскольку он включает в себя произведение двух векторов скорости, и поэтому результирующее ускорение зависит от величины и направления обоих векторов.

Другим источником нелинейности в уравнениях Навье – Стокса является член давления $-{\frac {1}{\rho }}\nabla p$. Давление в жидкости зависит от плотности и градиента давления, поэтому этот член нелинейен по давлению.Один из примеров нелинейного характера уравнений Навье – Стокса можно увидеть на примере обтекания жидкостью кругового препятствия. В этом случае скорость жидкости вблизи препятствия будет выше скорости жидкости вдали от препятствия. Это приводит к градиенту давления: более высокое давление вблизи препятствия и более низкое давление дальше.

Чтобы увидеть это более наглядно, рассмотрим случай круглого препятствия радиуса $R$ помещен в равномерный поток со скоростью $\mathbf {v_{0}}$ и плотность $\rho$. Позволять $\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)$ быть скоростью жидкости в положении $\mathbf {x}$ и время $t$, и пусть $p(\mathbf {x} ,t)$ быть давлением в том же положении и в то же время.

Уравнения Навье – Стокса в этом случае имеют вид:

${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v}$

$\nabla \cdot \mathbf {v} =0$

где $\nu$ – кинематическая вязкость жидкости.

Предполагая, что поток стационарный (то есть скорость и давление не меняются со временем), мы можем установить производную по времени равной нулю:

$(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v}$

$\nabla \cdot \mathbf {v} =0$

Теперь мы можем рассмотреть течение вблизи круглого препятствия. В этой области скорость жидкости будет выше скорости равномерного потока. $\mathbf {v_{0}}$ из-за наличия препятствия. Это приводит к нелинейному члену $(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v}$ в уравнениях Навье–Стокса, которая пропорциональна скорости жидкости.

В то же время наличие препятствия также приведет к градиенту давления: более высокое давление вблизи препятствия и более низкое давление дальше. В этом можно убедиться, рассмотрев уравнение неразрывности, которое гласит, что массовый расход через любую поверхность должен быть постоянным. Поскольку скорость выше вблизи препятствия, массовый расход через поверхность вблизи препятствия будет выше, чем массовый расход через поверхность дальше от препятствия. Это можно компенсировать градиентом давления: более высокое давление вблизи препятствия и более низкое давление дальше.

В результате этих нелинейных эффектов уравнения Навье–Стокса в этом случае становятся трудноразрешимыми, и для нахождения полей скорости и давления в потоке приходится использовать приближения или численные методы.Рассмотрим случай двумерного течения жидкости в прямоугольной области с полем скорости $\mathbf {v} (x,t)$ и поле давления $p(x,t)$. Мы можем использовать метод конечных элементов для решения уравнения Навье – Стокса для поля скорости:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+f_{x}(x,y,t)$

Для этого разделим область на ряд более мелких элементов и представим поле скорости как:

$u(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}U_{i}(t)\phi _{i}(x,y)$

где $N$ количество элементов, а $\phi _{i}(x,y)$ — это функции формы, связанные с каждым элементом. Подставив это выражение в уравнение Навье–Стокса и применив метод конечных элементов, можно вывести систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

${\frac {dU_{i}}{dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)j\int {\Omega }\phi _{j}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}d\Omega +\nu \sum _{j=1}^{N}\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)\phi _{j}{\frac {\partial ^{2}\phi _{i}}{\partial x^{2}}}d\Omega +\int {\Omega }f_{x}\phi _{i}d\Omega$

где $\Omega$ является областью определения, а интегралы относятся к области определения. Эту систему обыкновенных дифференциальных уравнений можно решить с использованием таких методов, как метод конечных элементов или спектральные методы.

Здесь мы будем использовать метод конечных разностей. Для этого можно разделить временной интервал $[t_{0},t_{f}]$ на серию меньших временных шагов и аппроксимируйте производную на каждом временном шаге, используя формулу конечной разности:

${\frac {U_{i+1}-U_{i}}{\Delta t}}\approx -{\frac {1}{\rho }}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)j\int {\Omega }\phi _{j}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}d\Omega +\nu \sum _{j=1}^{N}\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)j\phi _{j}{\frac {\partial ^{2}\phi _{i}}{\partial x^{2}}}d\Omega +\int {\Omega }f_{x}\phi _{i}d\Omega$

где $\Delta t=t_{i+1}-t_{i}$ - размер временного шага, и $U_{i}$ и $t_{i}$ являются значениями $U_{i}$ и $t$ на временном шаге $i$.

Используя это приближение, мы можем перебрать временные шаги и вычислить значение $U_{i}$ на каждом временном шаге. Например, начиная с шага по времени $i$ и используя приведенное выше приближение, мы можем вычислить значение $U_{i}$ на временном шаге $i+1$: $U_{i+1}=U_{i}+\Delta t\cdot \left(-{\frac {1}{\rho }}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)j\int {\Omega }\phi _{j}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}d\Omega +\nu \sum _{j=1}^{N}\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{j}\phi _{j}{\frac {\partial ^{2}\phi _{i}}{\partial x^{2}}}d\Omega +\int _{\Omega }f_{x}\phi _{i}d\Omega \right)$

Этот процесс можно повторять, пока мы не достигнем последнего временного шага. $t_{f}$.

Существует множество других подходов к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. Выбор подхода зависит от конкретного решаемого уравнения, а также желаемой точности и эффективности решения.

Две настройки: неограниченное и периодическое пространство.

Существуют две разные постановки задачи существования и гладкости Навье – Стокса с призом в один миллион долларов. Исходная задача находится во всем пространстве $\mathbb {R} ^{3}$, что требует дополнительных условий на поведение роста начального условия и решений. Чтобы исключить проблемы на бесконечности, уравнения Навье – Стокса можно задать в периодической системе, что означает, что они больше не работают во всем пространстве. $\mathbb {R} ^{3}$ но в трехмерном торе $\mathbb {T} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}$. Каждый случай будет рассматриваться отдельно.

Постановка задачи во всем пространстве

Гипотезы и условия роста

Начальное состояние $\mathbf {v} _{0}(x)$ предполагается как гладкая и бездивергентная функция (см. гладкая функция ), такая что для каждого мультииндекса $\alpha$ (см. мультииндексное обозначение ) и любые $K>0$, существует константа $C=C(\alpha ,K)>0$ такой, что

$\vert \partial ^{\alpha }\mathbf {v_{0}} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert )^{K}}}\qquad$ для всех $\qquad x\in \mathbb {R} ^{3}.$

Внешняя сила $\mathbf {f} (x,t)$ также считается гладкой функцией и удовлетворяет очень аналогичному неравенству (теперь мультииндекс также включает производные по времени):

$\vert \partial ^{\alpha }\mathbf {f} (x,t)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert +t)^{K}}}\qquad$ для всех $\qquad (x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).$

В физически разумных условиях ожидаемыми решениями являются гладкие функции, которые не растут с увеличением $\vert x\vert \to \infty$. Точнее, сделаны следующие предположения:

1. $\mathbf {v} (x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )),\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))$
2. Существует константа $E\in (0,\infty )$ такой, что $\int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}\,dx<E$ для всех $t\geq 0\,.$

Условие 1 означает, что функции гладкие и глобально определенные, а условие 2 означает, что кинетическая энергия решения глобально ограничена.

Догадки о премии тысячелетия во всем пространстве

(А) Существование и гладкость решений Навье–Стокса в $\mathbb {R} ^{3}$

Позволять $\mathbf {f} (x,t)\equiv 0$. Для любого начального состояния $\mathbf {v} _{0}(x)$ удовлетворяющие высказанным выше гипотезам, существуют гладкие и глобально определенные решения уравнений Навье–Стокса, т.е. существует вектор скорости $\mathbf {v} (x,t)$ и давление $p(x,t)$ удовлетворяющие условиям 1 и 2 выше.

(Б) Распад решений Навье – Стокса в $\mathbb {R} ^{3}$

Существует начальное состояние $\mathbf {v} _{0}(x)$ и внешняя сила $\mathbf {f} (x,t)$ такое, что не существует решений $\mathbf {v} (x,t)$ и $p(x,t)$ удовлетворяющие условиям 1 и 2 выше.

Гипотезы Премии тысячелетия — это две математические проблемы, которые были выбраны Математическим институтом Клея как наиболее важные нерешённые проблемы математики. Первая гипотеза, известная как гипотеза «гладкости», утверждает, что всегда должны существовать гладкие и глобально определенные решения уравнений Навье – Стокса в трехмерном пространстве. Вторая гипотеза, известная как гипотеза о «пробойе», утверждает, что должен существовать хотя бы один набор начальных условий и внешних сил, для которых не существует гладких решений уравнений Навье – Стокса.Уравнения Навье – Стокса представляют собой набор дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движение жидкостей. Их дают:

${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f}$

$\nabla \cdot \mathbf {v} =0$

где $\mathbf {v} (x,t)$ – поле скоростей жидкости, $p(x,t)$ это давление, $\rho$ плотность, $\nu$ - кинематическая вязкость, а $\mathbf {f} (x,t)$ это внешняя сила. Первое уравнение известно как уравнение количества движения, а второе уравнение известно как уравнение неразрывности.

Эти уравнения обычно сопровождаются граничными условиями, которые описывают поведение жидкости на краях области. Например, в случае, если жидкость течет по трубе, граничные условия могут указывать, что скорость и давление фиксируются на стенках трубы.

Уравнения Навье – Стокса нелинейны и сильно связаны, что затрудняет их решение в целом. В частности, трудность решения этих уравнений заключается в члене $(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v}$, что само по себе представляет собой нелинейную адвекцию поля скорости. Этот член делает уравнения Навье-Стокса очень чувствительными к начальным условиям, и это главная причина, почему гипотезы Премии тысячелетия так сложны.

Помимо математических проблем, связанных с решением уравнений Навье – Стокса, существует также множество практических проблем, связанных с применением этих уравнений в реальных ситуациях. Например, уравнения Навье-Стокса часто используются для моделирования турбулентных потоков жидкости, что означает, что жидкость очень хаотична и непредсказуема. Турбулентность — явление, сложное для моделирования и понимания, и она добавляет еще один уровень сложности к проблеме решения уравнений Навье – Стокса.Для решения уравнений Навье–Стокса необходимо найти поле скорости $\mathbf {v} (x,t)$ и поле давления $p(x,t)$ удовлетворяющие уравнениям и заданным граничным условиям. Это можно сделать с использованием различных численных методов, таких как методы конечных элементов, спектральные методы или методы конечных разностей.

Например, рассмотрим случай двумерного течения жидкости в прямоугольной области с полями скорости и давления $\mathbf {v} (x,t)$ и поле давления $p(x,t)$,соответственно. Уравнения Навье – Стокса можно записать в виде:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+f_{x}(x,y,t)$

${\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right)+f_{y}(x,y,t)$

${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0$

${\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}=0$

где $\rho$ плотность, $\nu$ - кинематическая вязкость, а $\mathbf {f} (x,y,t)=(f_{x}(x,y,t),f_{y}(x,y,t))$ это внешняя сила. Граничные условия могут указывать, что скорость фиксирована на стенках области или что давление фиксировано в определенных точках. Последнее тождество возникает потому, что поток соленоидальный .

Чтобы решить эти уравнения численно, мы можем разделить область на ряд более мелких элементов и решать уравнения локально внутри каждого элемента. Например, используя метод конечных элементов, мы могли бы представить поля скорости и давления как:

$u(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}U_{i}(t)\phi _{i}(x,y)$

$v(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}V_{i}(t)\phi _{i}(x,y)$

$p(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}P_{i}(t)\phi _{i}(x,y)$

где $N$ количество элементов, а $\phi _{i}(x,y)$ — это функции формы, связанные с каждым элементом. Подставив эти выражения в уравнения Навье–Стокса и применив метод конечных элементов, можно получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Постановка периодической задачи

Гипотезы

Искомые теперь функции являются периодическими по пространственным переменным периода 1. Точнее, пусть $e_{i}$ быть унитарным вектором в i - направлении:

$e_{1}=(1,0,0)\,,\qquad e_{2}=(0,1,0)\,,\qquad e_{3}=(0,0,1)$

Затем $\mathbf {v} (x,t)$ периодичен по пространственным переменным, если для любого $i=1,2,3$, затем:

$\mathbf {v} (x+e_{i},t)=\mathbf {v} (x,t){\text{ for all }}(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).$

Обратите внимание, что здесь учитываются координаты mod 1 . Это позволяет работать не на всем пространстве. $\mathbb {R} ^{3}$ но в факторпространстве $\mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}$, который оказывается трёхмерным тором:

$\mathbb {T} ^{3}=\{(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}):0\leq \theta _{i}<2\pi \,,\quad i=1,2,3\}.$

Теперь гипотезы могут быть сформулированы должным образом. Начальное состояние $\mathbf {v} _{0}(x)$ предполагается гладкой и бездивергентной функцией, а внешняя сила $\mathbf {f} (x,t)$ также предполагается гладкой функцией. Физически релевантными являются те решения, которые удовлетворяют следующим условиям:

3. $\mathbf {v} (x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty )),\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))$
4. Существует константа $E\in (0,\infty )$ такой, что $\int _{\mathbb {T} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}\,dx<E$ для всех $t\geq 0\,.$

Как и в предыдущем случае, условие 3 означает, что функции гладкие и глобально определенные, а условие 4 означает, что кинетическая энергия решения глобально ограничена.

Теоремы о периодической Премии тысячелетия

(C) Существование и гладкость решений Навье–Стокса в $\mathbb {T} ^{3}$

Позволять $\mathbf {f} (x,t)\equiv 0$. Для любого начального состояния $\mathbf {v} _{0}(x)$ удовлетворяющие высказанным выше гипотезам, существуют гладкие и глобально определенные решения уравнений Навье–Стокса, т.е. существует вектор скорости $\mathbf {v} (x,t)$ и давление $p(x,t)$ удовлетворяющие условиям 3 и 4 выше.

(D) Распад решений Навье – Стокса в $\mathbb {T} ^{3}$

Существует начальное состояние $\mathbf {v} _{0}(x)$ и внешняя сила $\mathbf {f} (x,t)$ такое, что не существует решений $\mathbf {v} (x,t)$ и $p(x,t)$ удовлетворяющие условиям 3 и 4 выше.

Частичные результаты

1. Метод конечных разностей оказался сходящимся для уравнений Навье – Стокса, и к 1960-м годам уравнения были решены численно. Доказано, что существуют гладкие и глобально определенные решения уравнений Навье–Стокса в двумерном пространстве.
2. Если начальная скорость $\mathbf {v} _{0}(x)$ достаточно мала, то утверждение верно: существуют гладкие и глобально определенные решения уравнений Навье–Стокса.
3. Учитывая начальную скорость $\mathbf {v} _{0}(x)$ существует конечное время T , зависящее от $\mathbf {v} _{0}(x)$ такие, что уравнения Навье–Стокса на $\mathbb {R} ^{3}\times (0,T)$ иметь гладкие решения $\mathbf {v} (x,t)$ и $p(x,t)$. Неизвестно, существуют ли решения за пределами этого «времени разрушения» T .
4. Жан Лере в 1934 году доказал существование так называемых слабых решений уравнений Навье – Стокса, удовлетворяющих уравнениям в среднем, а не поточечно.
5. Теренс Тао в 2016 году опубликовал результат разрушения за конечное время для усредненной версии трехмерного уравнения Навье – Стокса. Он пишет, что результат формализует «барьер сверхкритичности» для глобальной проблемы регулярности истинных уравнений Навье – Стокса, и утверждает, что метод доказательства намекает на возможный путь к установлению разрушения истинных уравнений.

В популярной культуре

Нерешенные задачи использовались для обозначения редкого математического таланта в художественной литературе. Проблема Навье-Стокса фигурирует в книге «Шива математика» (2014) о престижном, умершем вымышленном математике по имени Рачела Карнокович, унесшая доказательство в могилу в знак протеста против научных кругов. В фильме «Одаренные » (2017) упоминались задачи Премии тысячелетия и рассматривалась возможность 7-летней девочки и ее покойной матери-математика решить задачу Навье – Стокса.

См. также

• Список нерешенных задач по математике
• Список нерешенных задач по физике

Дальнейшее чтение

• Константин, Питер (2001). «Некоторые открытые проблемы и направления исследований математического изучения гидродинамики». Математика без ограничений — 2001 г. и далее . Берлин: Шпрингер. стр. 353–360. дои : 10.1007/978-3-642-56478-9_15 . ISBN  3-642-63114-2 .

Внешние ссылки

• Айзенман, Майкл . «Глобальное существование и единственность уравнений Навье-Стокса» . Разместил: Яков Синай
• Премия Института математики Клэя за уравнение Навье – Стокса
• Почему глобальная закономерность для Навье-Стокса сложна тщательно исследует возможные пути решения проблемы . Теренс Тао .
• Существование и гладкость Навье – Стокса (Проблема премии тысячелетия) Лекция Луиса Каффарелли по этой проблеме .
• «Уравнение Навье-Стокса – вопрос на миллион долларов в механике жидкости» . Алеф Ноль . 3 июня 2020 г. Архивировано из оригинала 19 декабря 2021 г. – на YouTube .