Нормальный конус

Чтобы узнать о нормальных конусах в действительных векторных пространствах, см. выпуклый конус .

В алгебраической геометрии нормальный конус подсхемы схемы — это схема, аналогичная нормальному расслоению или трубчатой ​​окрестности в дифференциальной геометрии.

Определение

Обычный конус C _X Y или $C_{X/Y}$ вложения i : X → Y , определенного некоторым пучком идеалов I, определяется как относительная Spec $$\operatorname {Spec} _{X}\left(\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}\right).$$

Когда вложение i регулярно , нормальный конус является нормальным расслоением, векторным расслоением на X, соответствующим двойственному пучку I / I. ² .

Если X — точка, то нормальный конус и нормальное расслоение к нему называются также касательным конусом и касательным пространством ( касательным пространством Зарисского ) к точке. Когда Y = Spec R является аффинным, определение означает, что нормальный конус к X = Spec R / I является Spec соответствующего градуированного кольца R относительно I .

Если Y — произведение X × X а вложение i — диагональное вложение , то нормальное расслоение к X в Y является касательным расслоением к X. ,

Нормальный конус (точнее, его проективный родственник) появляется в результате раздутия. Именно, пусть $$\pi :\operatorname {Bl} _{X}Y=\operatorname {Proj} _{Y}\left(\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}\right)\to Y$$быть раздутием Y вдоль X . Тогда, по определению, исключительный делитель — это прообраз $E=\pi ^{-1}(X)$; который является конусом проективным ${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}=\bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$. Таким образом, $$E=\mathbb {P} (C_{X}Y).$$

Глобальные сечения нормального расслоения классифицируют бесконечно малые деформации Y ; в X вложенные существует естественная биекция между множеством замкнутых подсхем Y × _k D , плоских над кольцом D дуальных чисел и имеющих X в качестве специального слоя, и H ⁰ ( Икс , N _Икс Y ).

Характеристики

Композиции регулярных вложений

Если $i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z$ являются регулярными вложениями , то $j\circ i$ является регулярным вложением и существует естественная точная последовательность векторных расслоений на X : $$0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0.$$

Если $Y_{i}\hookrightarrow X$ являются регулярными вложениями коразмерностей $c_{i}$ и если ${\textstyle W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X}$ является регулярным вложением коразмерности $$\sum c_{i}$$ затем $$N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}.$$В частности, если $X\to S$ — гладкий морфизм , то нормальное расслоение к диагональному вложению $$\Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X$$ ( r -fold) является прямой суммой r − 1 копий относительного касательного расслоения $T_{X/S}$.

Если $X\hookrightarrow X'$ является закрытым погружением, и если $Y'\to Y$ является плоским морфизмом таким, что $X'=X\times _{Y}Y'$, затем $$C_{X'/Y'}=C_{X/Y}\times _{X}X'.$$

Если $X\to S$ является гладким морфизмом и $X\hookrightarrow Y$ является регулярным вложением, то существует естественная точная последовательность векторных расслоений на X : $$0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0,$$(что является частным случаем точной последовательности для котангенсных пучков .)

Декартовский квадрат

Для декартова квадрата схем $${\begin{matrix}X'&\to &Y'\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &Y\end{matrix}}$$ с $f:X'\to X$ вертикальная карта, есть закрытое вложение $$C_{X'/Y'}\hookrightarrow f^{*}C_{X/Y}$$ обычных конусов.

Размер компонентов

Позволять $X$ — схема конечного типа над полем и $W\subset X$ закрытая подсхема. Если $X$ имеет чистую размерность r ; т. е. каждая неприводимая компонента имеет размерность r , то $C_{W/X}$ также имеет чистую размерность r . (Это можно рассматривать как следствие #Деформации к нормальному конусу .) Это свойство является ключом к приложению в теории пересечений: при наличии пары замкнутых подсхем $V,X$ в некотором окружающем пространстве, а теоретико-схемное пересечение $V\cap X$ имеет неприводимые компоненты различных размерностей, тонко зависящих от положения $V,X$, нормальный конус $V\cap X$ имеет чистое измерение.

Примеры

Позволять $D\hookrightarrow X$ быть эффективным делителем Картье. Тогда нормальное расслоение к нему (или, что то же самое, нормальный к нему конус) есть $$N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}.$$

Нерегулярное встраивание

Рассмотрим нерегулярное вложение $$X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)\to \mathbb {A} ^{3}$$тогда мы можем вычислить нормальный конус, сначала наблюдая $${\begin{aligned}I&=(xz,yz)\\I^{2}&=(x^{2}z^{2},xyz^{2},y^{2}z^{2})\\\end{aligned}}$$Если мы сделаем вспомогательные переменные $a=xz$ и $b=yz$ мы получаем отношение $$ya-xb=0.$$Мы можем использовать это, чтобы представить нормальный конус как относительный спектр. $$C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Spec}}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[a,b]}{(ya-xb)}}\right)$$С $\mathbb {A} ^{3}$ аффинна, мы можем просто записать относительный спектр в виде аффинной схемы $$C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z][a,b]}{(xz,yz,ya-xb)}}\right)$$ давая нам нормальный конус.

Геометрия этого нормального конуса

Геометрию нормального конуса можно дополнительно изучить, рассматривая волокна в различных закрытых точках. $X$. Обратите внимание, что геометрически $X$ это союз $xy$-самолет $H$ с $z$-ось $L$, $$X=H\cup L$$ поэтому точки интереса — это гладкие точки на плоскости, гладкие точки на оси и точки на их пересечении. Любая гладкая точка на плоскости задается картой $${\begin{matrix}x\mapsto z_{1}&y\mapsto z_{2}&z\mapsto 0\end{matrix}}$$ для $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ и либо $z_{1}\neq 0$ или $z_{2}\neq 0$. Так как какую точку брать произвольно, для удобства предположим $z_{1}\neq 0,z_{2}=0$. Следовательно, волокно $C_{X}\mathbb {A} ^{3}$ в точку $p=(z_{1},0,0)$ изоморфен $$C_{X}\mathbb {A} ^{3}|_{p}\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b]}{(z_{1}b)}}\cong \mathbb {C} [a]$$ как и ожидалось, нормальный конус представляет собой одномерную линию. Для точки $q$ на оси это дано картой $${\begin{matrix}x\mapsto 0&y\mapsto 0&z\mapsto z_{3}\end{matrix}}$$ следовательно, волокно в точке $q=(0,0,z_{3})$ является $$C_{X}\mathbb {A} ^{3}|_{q}\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b]}{(0)}}\cong \mathbb {C} [a,b]$$ что дает самолет. В начале $r=(0,0,0)$, нормальный конус над этой точкой снова изоморфен $\mathbb {C} [a,b]$.

Узловой кубический

Для узловой кубической кривой $Y$ заданный полиномом $y^{2}+x^{2}(x-1)$ над $\mathbb {C}$, и $X$ точка в узле, конус имеет изоморфизм $$C_{X/Y}\cong {\text{Spec}}\left(\mathbb {C} [x,y]/\left(y^{2}-x^{2}\right)\right)$$ показывая, что нормальный конус имеет больше компонентов, чем схема, на которой он лежит.

Деформация нормального конуса

Предполагать $i:X\to Y$ является вложением. Это можно деформировать до встраивания $X$ внутри обычного конуса $C_{X/Y}$ (как нулевой участок) в следующем смысле: есть квартира семьи $$\pi :M_{X/Y}^{o}\to \mathbb {P} ^{1}$$ с универсальным волокном $Y$ и специальное волокно $C_{X/Y}$ такая, что существует семейство замкнутых вложений $$X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M_{X/Y}^{o}$$ над $\mathbb {P} ^{1}$ такой, что

1. Над любой точкой $t\in \mathbb {P} ^{1}-\{0\}$ связанные вложения являются вложениями $X\times \{t\}\hookrightarrow Y$
2. Волокно над $0\in \mathbb {P} ^{1}$это встраивание $X\hookrightarrow C_{X/Y}$ задается нулевой частью.

Эта конструкция определяет инструмент, аналогичный дифференциальной топологии, где нетрансверсальные пересечения выполняются в трубчатой ​​окрестности пересечения. Теперь пересечение ул. $X$ с циклом $Z$ в $Y$ можно представить как продолжение пересечения $X$ с откатом $Z$ в $C_{X/Y}$.

Строительство

Одним из применений этого является определение продуктов пересечения в кольце Чоу . Предположим, что и V — замкнутые подсхемы Y с пересечением W , и мы хотим определить произведение пересечений X и V в кольце Чоу Y. X этом случае означает, что мы заменяем вложения X и W в Y и V их нормальными конусами CY _X ( Деформация до нормального конуса в ) и C _W ( V ), так что мы хотим найти произведение X и C _W V в C _X Y .Это может быть гораздо проще: например, если X в регулярно вложено Y , то его нормальный конус является векторным расслоением, поэтому мы сводимся к задаче нахождения произведения пересечения подсхемы C _W V векторного расслоения C _X Y с нулевым сечением X . Однако это произведение пересечений просто задается применением изоморфизма Гайзина к C _W V .

Конкретно деформацию нормального конуса можно построить с помощью раздутия. Именно, пусть $$\pi :M\to Y\times \mathbb {P} ^{1}$$быть взрывом $Y\times \mathbb {P} ^{1}$ вдоль $X\times 0$. Исключительный делитель ${\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)$, проективное пополнение нормального конуса; используемые здесь обозначения см. в разделе «Конус (алгебраическая геометрия) § Свойства» . Обычный конус $C_{X}Y$ представляет собой открытую подсхему ${\overline {C_{X}Y}}$ и $X$ вкладывается как нулевое сечение в $C_{X}Y$.

Теперь отметим:

1. Карта $\rho :M\to \mathbb {P} ^{1}$, $\pi$ за которым следует проекция, является плоским.
2. Имеется индуцированное закрытое вложение $${\widetilde {i}}:X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M$$ это морфизм над $\mathbb {P} ^{1}$.
3. M тривиально вдали от нуля; то есть, $\rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ и ${\widetilde {i}}$ ограничивается тривиальным вложением $$X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0).$$
4. $\rho ^{-1}(0)$ поскольку делитель - это сумма $${\overline {C_{X}Y}}+{\widetilde {Y}}$$ где ${\widetilde {Y}}$ является расширением Y вдоль X и рассматривается как эффективный дивизор Картье.
5. Как делители ${\overline {C_{X}Y}}$ и ${\widetilde {Y}}$ пересекаться в $\mathbb {P} (C)$, где $\mathbb {P} (C)$ находится в бесконечности в ${\overline {C_{X}Y}}$.

Пункт 1 чистый (проверьте отсутствие перекручивания). В целом, учитывая $X\subset Y$, у нас есть $\operatorname {Bl} _{V}X\subset \operatorname {Bl} _{V}Y$. С $X\times 0$ уже является эффективным делителем Картье на $X\times \mathbb {P} ^{1}$, мы получаем $$X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M,$$уступчивость ${\widetilde {i}}$. Пункт 3 следует из того, что отображение раздутия π является изоморфизмом вдали от центра $X\times 0$. Последние два пункта видны из явных локальных вычислений. КЭД

Теперь последний пункт предыдущего абзаца подразумевает, что образ $X\times 0$ в M не пересекается ${\widetilde {Y}}$. Таким образом, получается деформация i нулевого сечения до вложения X в нормальный конус.

Внутренний нормальный конус

Внутренний нормальный пучок

Позволять $X$ — стек Делиня–Мамфорда локально конечного типа над полем $k$. Если ${\textbf {L}}_{X}$ обозначает комплекс X коткасательный относительно $k$, то внутреннее нормальное расслоение к $X$ это стек частных $${\mathfrak {N}}_{X}:=h^{1}/h^{0}({\textbf {L}}_{X,{\text{fppf}}}^{\vee })$$ это стек fppf ${\textbf {L}}_{X}^{\vee ,0}$- Торсоры включены ${\textbf {L}}_{X}^{\vee ,1}$. Конкретную интерпретацию этого фактора стека можно дать, рассмотрев его поведение локально в этальном топосе стека. $X$.

Свойства внутреннего нормального расслоения

Более конкретно, предположим, что существует этальный морфизм $U\to X$ из аффинного конечного типа $k$-схема $U$ вместе с локально-закрытым погружением $f:U\to M$ в гладкий аффинный конечный тип $k$-схема $M$. Тогда можно показать $${\mathfrak {N}}_{X}|_{U}=[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]$$ это означает, что мы можем понимать внутренний нормальный расслоение как сложное воплощение отказа нормальной последовательности. $${\mathcal {T}}_{U}\to {\mathcal {T}}_{M}|_{U}\to {\mathcal {N}}_{U/M}$$ точнее с правой стороны. Более того, для особых случаев, обсуждаемых ниже, мы теперь рассматриваем фактор как продолжение предыдущей последовательности в виде треугольника в некоторой триангулированной категории. Это связано с тем, что локальный коэффициент стека $[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]$ можно интерпретировать как $$B{\mathcal {T}}_{U}={\mathcal {T}}_{U}[+1]$$ в определенных случаях.

Нормальный конус

Внутренний нормальный конус $X$, обозначенный как ${\mathfrak {C}}_{X}$, затем определяется заменой нормального расслоения $N_{U/M}$ с обычным конусом $C_{U/M}$; то есть, $${\mathfrak {C}}_{X}|_{U}=[C_{U/M}/f^{*}T_{M}].$$

Пример : У одного есть это $X$ является локальным полным пересечением тогда и только тогда, когда ${\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}$. В частности, если $X$ гладко то , ${\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}=BT_{X}$ - классифицирующий стек касательного расслоения $T_{X}$, которая представляет собой коммутативную групповую схему над $X$.

В более общем смысле, пусть $X\to Y$ является морфизмом Артина Стэкса типа Делиня-Мамфорда (DM-типа), который локально имеет конечный тип. Затем ${\mathfrak {C}}_{X/Y}\subseteq {\mathfrak {N}}_{X/Y}$ характеризуется как замкнутый подстек такой, что для любого этального отображения $U\to X$ для чего $U\to X\to Y$ факторы через некоторую гладкую карту $M\to Y$ (например, $\mathbb {A} _{Y}^{n}\to Y$), откат: $${\mathfrak {C}}_{X/Y}|_{U}=[C_{U/M}/T_{M/Y}|_{U}].$$

См. также

• Абелев конус
• Второй класс
• Остаточное пересечение
• Виртуальный фундаментальный класс

Ссылки

• Беренд, К.; Фантечи, Б. (1 марта 1997 г.). «Внутренний нормальный конус». Математические изобретения . 128 (1): 45–88. arXiv : alg-geom/9601010 . дои : 10.1007/s002220050136 . ISSN   0020-9910 . S2CID   18533009 .
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области . 3-я серия, том. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-62046-4 , МР   1644323
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157

Внешние ссылки

• Волокна нормального конуса