Ограниченный тип (математика)

В математике функция, определенная в области комплексной плоскости, называется ограниченным типом , если она равна отношению двух аналитических функций, ограниченных в этой области. Но в более общем смысле функция имеет ограниченный тип в области. $\Omega$ тогда и только тогда, когда $f$ является аналитическим по $\Omega$ и $\log ^{+}|f(z)|$ имеет гармоническую мажоранту $\Omega ,$ где $\log ^{+}(x)=\max[0,\log(x)]$ . Отношение двух ограниченных аналитических функций является достаточным условием для того, чтобы функция имела ограниченный тип (определяемый через гармоническую мажоранту), и если $\Omega$ просто связано, условие также необходимо.

Класс всего такого $f$ на $\Omega$ обычно обозначается $N(\Omega )$ и иногда его называют Неванлинны классом из-за $\Omega$ . Класс Неванлинна включает в себя все классы Харди .

Функции ограниченного типа не обязательно являются ограниченными, и у них нет ограниченного свойства под названием «тип». Причиной такого названия, вероятно, является то, что при определении на диске характеристика Неванлинны (функция расстояния от центра диска) ограничена.

Ясно, что если функция представляет собой отношение двух ограниченных функций, то ее можно выразить как отношение двух функций, ограниченных единицей:

f(z)=P(z)/Q(z)

Логарифмы $|1/P(z)|$ и из $|1/Q(z)|$ неотрицательны в данной области, поэтому

{\begin{aligned}\log |f(z)|&=\log |1/Q(z)|-\log |1/P(z)|\\&\leq \log |1/Q(z)|\end{aligned}}

{\begin{aligned}\log ^{+}|f(z)|&=\max[0,\log |f(z)|]\\&\leq \max(0,\log |1/Q(z)|)\\&\leq \log |1/Q(z)|\\&\leq -\Re \left(\log Q(z)\right).\end{aligned}}

Последняя является действительной частью аналитической функции и, следовательно, является гармонической, что показывает, что $\log ^{+}|f(z)|$ имеет гармоническую мажоранту на Ω.

Для данной области суммы, разности и произведения функций ограниченного типа имеют ограниченный тип, как и частное двух таких функций, пока знаменатель не равен тождественному нулю.

Примеры

Полиномы имеют ограниченный тип в любой ограниченной области. Они также имеют ограниченный тип в верхней полуплоскости (ВПП), поскольку полином $f(z)$ степени n можно выразить как отношение двух аналитических функций, ограниченных в UHP:

f(z)=P(z)/Q(z)

с

P(z)=f(z)/(z+i)^{n}

Q(z)=1/(z+i)^{n}.

Обратный многочлен также имеет ограниченный тип в области, как и любая рациональная функция .

Функция $\exp(aiz)$ имеет ограниченный тип в UHP тогда и только тогда, когда a вещественно. Если a положительно, сама функция ограничена в UHP (поэтому мы можем использовать $Q(z)=1$ ), а если a отрицательно, то функция равна 1/Q(z) при $Q(z)=\exp(|a|iz)$ .

Синус и косинус в UHP имеют ограниченный тип. Действительно,

\sin(z)=P(z)/Q(z)

с

P(z)=\sin(z)\exp(iz)

Q(z)=\exp(iz)

оба из которых ограничены в UHP.

Все приведенные выше примеры имеют ограниченный тип и в нижней полуплоскости, используя разные P и Q. функции Но область, упомянутая в определении термина «ограниченный тип», не может быть всей комплексной плоскостью, если только функция не является постоянной, поскольку необходимо использовать одни и те же P и Q во всей области и единственные целые функции (т. е. аналитические по вся комплексная плоскость), которые ограничены, являются константами по теореме Лиувилля .

Другой пример в верхней полуплоскости — это « функция Неванлинны », то есть аналитическая функция, отображающая UHP в замкнутую UHP. Если f ( z ) имеет этот тип, то

f(z)=P(z)/Q(z)

где P и Q — ограниченные функции:

P(z)={\frac {f(z)}{f(z)+i}}

Q(z)={\frac {1}{f(z)+i}}

(Очевидно, это относится и к $f(z)/i$ , то есть функция, действительная часть которой неотрицательна в UHP.)

Характеристики

Для данной области сумма, произведение или частное двух (ненулевых) функций ограниченного типа также имеет ограниченный тип. Множество функций ограниченного типа представляет собой алгебру над комплексными числами и фактически является полем .

Любая функция ограниченного типа в верхней полуплоскости (с конечным числом корней в некоторой окрестности 0) может быть выражена как произведение Бляшке (аналитическая функция, ограниченная в области, исключающая нули), умноженная на частное $P(z)/Q(z)$ где $P(z)$ и $Q(z)$ ограничены единицей и не имеют нулей в UHP. Тогда можно выразить это частное как

P(z)/Q(z)=\exp(-U(z))/\exp(-V(z))

где $U(z)$ и $V(z)$ — аналитические функции, имеющие неотрицательную действительную часть в УГП. Каждое из них, в свою очередь, может быть выражено представлением Пуассона (см. Функции Неванлинны ):

U(z)=c-ipz-i\int _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{\lambda -z}}-{\frac {\lambda }{1+\lambda ^{2}}}\right)d\mu (\lambda )

V(z)=d-iqz-i\int _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{\lambda -z}}-{\frac {\lambda }{1+\lambda ^{2}}}\right)d\nu (\lambda )

где c и d - мнимые константы, p и q - неотрицательные действительные константы, а µ и ν - неубывающие функции действительной переменной (хорошее поведение, поэтому интегралы сходятся). Разность q−p была названа Луи де Бранжем «средним типом» и описывает рост или убыль функции вдоль мнимой оси:

q-p=\limsup _{y\to \infty }y^{-1}\ln |f(iy)|

Тип среднего в верхней полуплоскости представляет собой предел средневзвешенного логарифма абсолютного значения функции, деленного на расстояние от нуля, нормализованного таким образом, что значение для $\exp(-iz)$ равен 1: ^[1]

q-p=\lim _{r\to \infty }(2/\pi )r^{-1}\int _{0}^{\pi }\ln |f(re^{i\theta })|\sin \theta d\theta

Если целая функция имеет ограниченный тип как в верхней, так и в нижней полуплоскости, то она имеет экспоненциальный тип, равный высшему из двух соответствующих «средних типов». ^[2] (и большее из них будет неотрицательным). Целая функция порядка больше 1 (т. е. в каком-то направлении она растет быстрее, чем функция экспоненциального типа) не может быть ограниченного типа ни в одной полуплоскости.

Таким образом, мы можем создать функцию ограниченного типа, используя соответствующую экспоненту от z и экспоненту от произвольных функций Неванлинны, умноженных на i , например:

f(z)=\exp(iz){\frac {\exp(i{\sqrt {z}})}{\exp(-i/{\sqrt {z}})}}

Что касается приведенных выше примеров, средний тип полиномов или их обратных значений равен нулю. Средний тип $\exp(aiz)$ в верхней полуплоскости это − a , а в нижней полуплоскости a . Средний тип $\sin(z)$ в обеих полуплоскостях равна 1.

Функции ограниченного типа в верхней полуплоскости с неположительным средним типом и имеющие непрерывное, интегрируемое с квадратом расширение до вещественной оси, обладают интересным свойством (полезным в приложениях), заключающимся в том, что интеграл (вдоль вещественной оси)

{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(t)dt}{t-z}}

равно $f(z)$ если z находится в верхней полуплоскости, и ноль, если z находится в нижней полуплоскости. ^[3] Это можно назвать формулой Коши для верхней полуплоскости.

См. также

Ссылки

^ Луи де Бранж . Гильбертово пространство целых функций . Прентис-Холл. п. 26.
^ Согласно теореме Марка Крейна . См. стр. 26 книги де Бранжа.
^ Теорема 12 в книге де Бранжа.

Конвей, Джон Б. Функции комплексной переменной II . Тексты для аспирантов по математике . Том. 159. Шпрингер-Верлаг . п. 273. ИСБН 0-387-94460-5 .
Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1994). Темы по классам Харди и однолистным функциям . Расширенные тексты Биркхаузера: Базельские учебники. Базель: Биркхаузер Верлаг.

[DeBranges-1] Луи де Бранж . Гильбертово пространство целых функций . Прентис-Холл. п. 26.

[2] Согласно теореме Марка Крейна . См. стр. 26 книги де Бранжа.

[3] Теорема 12 в книге де Бранжа.

[1]

[2]

[3]