Теория Неванлинны

В математической области комплексного анализа теория Неванлинны является частью теория мероморфных функций . Он был разработан в 1925 году Рольфом Неванлинной . Герман Вейль назвал это «одним из немногих величайших математических событий двадцатого века». Теория описывает асимптотическое распределение решений уравнения f ( z ) = a при изменении a . Фундаментальным инструментом является характеристика Неванлинны T ( r , f ), которая измеряет скорость роста мероморфной функции.

Другими основными участниками первой половины 20-го века были Ларс Альфорс , Андре Блох , Анри Картан , Эдвард Коллингвуд , Отто Фростман , Фритьоф Неванлинна , Хенрик Зельберг , Тацудзиро Симидзу, Освальд Тейхмюллер , и Жорж Валирон . В своей первоначальной форме теория Неванлинны имеет дело с мероморфными функциями одной комплексной переменной, определенной в круге | г | ≤ R или во всей комплексной плоскости ( R = ∞). Последующие обобщения распространили теорию Неванлинны на алгеброидные функции, голоморфные кривые , голоморфные отображения между комплексными многообразиями произвольной размерности, квазирегулярные отображения и минимальные поверхности .

В данной статье описывается в основном классический вариант для мероморфных функций одной переменной с упором на функции, мероморфные в комплексной плоскости. Общие ссылки на эту теорию: Гольдберг и Островский, Хейман и Ланг (1987) .

Характеристика Неванлинны

Исходное определение Неванлинны

Пусть f — мероморфная функция. Для каждого r ≥ 0 пусть n ( r , f ) — число полюсов с учетом кратности мероморфной функции f в круге | г | ≤ р . Затем определим считающую функцию Неванлинны по формуле

$N(r,f)=\int \limits _{0}^{r}\left(n(t,f)-n(0,f)\right){\dfrac {dt}{t}}+n(0,f)\log r.\,$

Эта величина измеряет рост числа полюсов в дисках | г | ≤ r , так как р увеличивается. Явно, пусть a ₁ , a ₂ , ..., an _— полюсы ƒ в проколотом диске 0 < | г | ≤ r повторяется в соответствии с кратностью. Тогда n = n ( r , f ) - n (0, f ), и

$N(r,f)=\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+n(0,f)\log r.\,$

Пусть журнал ⁺ х = макс (журнал х , 0). Тогда функция близости определяется выражением

$m(r,f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log ^{+}\left|f(re^{i\theta })\right|d\theta .\,$

Наконец, определим характеристику Неванлинны по формуле (ср. формулу Йенсена для мероморфных функций)

$T(r,f)=m(r,f)+N(r,f).\,$

Версия Альфорса – Симидзу

Второй метод определения характеристики Неванлинны основан на формуле

$\int _{0}^{r}{\frac {dt}{t}}\left({\frac {1}{\pi }}\int _{|z|\leq t}{\frac {|f'|^{2}}{(1+|f|^{2})^{2}}}dm\right)=T(r,f)+O(1),\,$

где dm — элемент площади на плоскости. Выражение в левой части называется Характеристика Альфорса-Симидзу. Ограниченный член O (1) в большинстве вопросов не важен.

Геометрический смысл характеристики Альфорса-Симидзу следующий. Внутренний интеграл dm — сферическая площадь изображения диска | г | ≤ t с учетом кратности (т. е. части сферы Римана, пройденные k раз, считаются k раз). Эта площадь делится на число π , которое представляет собой площадь всей сферы Римана. Результат можно интерпретировать как среднее число листов в покрытии сферы Римана диском | г | ≤ т . Затем это среднее число покрытия интегрируется по t с весом 1/ t .

Характеристики

Роль характеристической функции в теории мероморфных функций на плоскости аналогична роли

$\log M(r,f)=\log \max _{|z|\leq r}|f(z)|\,$

в теории целых функций . Фактически, можно напрямую сравнивать T ( r , f ) и M ( r , f ) для целой функции:

$T(r,f)\leq \log ^{+}M(r,f)\,$

и

$\log M(r,f)\leq \left({\dfrac {R+r}{R-r}}\right)T(R,f),\,$

для любого R > r .

Если f — рациональная функция степени d , то T ( r , f ) ~ d log r ; на самом деле, T ( r , f ) = O (log r ) тогда и только тогда, когда f является рациональной функцией.

Порядок выражением мероморфной функции определяется

$\rho (f)=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {\log ^{+}T(r,f)}{\log r}}.$

Функции конечного порядка составляют важный подкласс, который был хорошо изучен.

При радиусе R диска | г | ⩽ R , в котором определена мероморфная функция, конечна, характеристика Неванлинны может быть ограничена. Функции в круге с ограниченной характеристикой, также известные как функции ограниченного типа , — это именно те функции, которые являются отношениями ограниченных аналитических функций. Функции ограниченного типа также могут быть определены таким образом для другой области, например верхней полуплоскости .

Первая фундаментальная теорема

Пусть a ∈ C и определим

$\quad N(r,a,f)=N\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right),\quad m(r,a,f)=m\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right).\,$

Для a = ∞ положим N ( r , ∞, f ) = N ( r , f ), m ( r , ∞, f ) = m ( r , f ).

Первая фундаментальная теорема теории Неванлинны гласит, что для любого a в Римана сфере

$T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1),\,$

где ограниченный член O (1) может зависеть от f и a . Для непостоянных мероморфных функций на плоскости T ( r , f ) стремится к бесконечности, когда r стремится к бесконечности, поэтому Первая фундаментальная теорема гласит, что сумма N ( r , a , f ) + m ( r , a , f ) стремится к бесконечности со скоростью, которая не зависит от a . Первая Основная теорема является простым следствием формулы Дженсена .

Характеристическая функция обладает следующими свойствами степени:

${\begin{array}{lcl}T(r,fg)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,f+g)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,1/f)&=&T(r,f)+O(1),\\T(r,f^{m})&=&mT(r,f)+O(1),\,\end{array}}$

где m — натуральное число. Ограниченным членом O (1) можно пренебречь, когда T ( r , f ) стремится к бесконечности. Эти алгебраические свойства легко получить из определения Неванлинны и формулы Йенсена.

Вторая фундаментальная теорема

Мы определяем N ( r , f ) так же, как N ( r , f ), но без учета кратности (т.е. мы считаем только количество различных полюсов). Тогда N ₁ ( р , ж ) определяется как функция Неванлинны, считающая критические точки f , то есть

$N_{1}(r,f)=2N(r,f)-N(r,f')+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right)=N(r,f)+{\overline {N}}(r,f)+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right).\,$

Вторая фундаментальная теорема гласит, что для каждых k различных значений a _j на сфере Римана мы имеем

$\sum _{j=1}^{k}m(r,a_{j},f)\leq 2T(r,f)-N_{1}(r,f)+S(r,f).\,$

Это подразумевает

$(k-2)T(r,f)\leq \sum _{j=1}^{k}{\overline {N}}(r,a_{j},f)+S(r,f),\,$

где S ( r , f ) — «член небольшой ошибки».

Для функций, мероморфных на плоскости, S ( r , f ) = o( T ( r , f )), вне множества конечной длины, т.е. член ошибки мал по сравнению с характеристикой для «большинства» значений r . Гораздо лучшие оценки член ошибки известен, но Андре Блох предположил, а Хейман доказал, что нельзя избавиться от исключительный набор.

Вторая фундаментальная теорема позволяет дать верхнюю оценку характеристической функции через N ( r , a ). Например, если f — трансцендентная целая функция, используя Вторую фундаментальную теорему с k = 3 и a ₃ = ∞, мы получаем, что f принимает каждое значение бесконечно часто, не более чем с двумя исключениями: доказательство теоремы Пикара .

Первоначальное доказательство Второй фундаментальной теоремы Неванлинны было основано на так называемой лемме о логарифмической производной , которая гласит, что m ( r , f' / f ) = S ( r , f ). Аналогичное доказательство применимо и ко многим многомерным обобщениям. Существуют также дифференциально-геометрические доказательства, связывающие его с теоремой Гаусса – Бонне . Вторая фундаментальная теорема также может быть выведена из метрико-топологической теории Альфорса , которую можно рассматривать как расширение формулы Римана–Гурвица на покрытия бесконечной степени.

Доказательства Неванлинны и Альфорса показывают, что константа 2 во Второй основной теореме связана с эйлеровой характеристикой сферы Римана. Однако существует совсем другое объяснение этой 2, основанное на глубокой аналогии с теорией чисел, открытой Чарльзом Осгудом и Полом Войтой . Согласно этой аналогии, 2 — это показатель степени в теореме Туэ–Зигеля–Рота . По этой аналогии с теорией чисел сошлемся на обзор Ланга (1987) и книгу Ру (2001) .

Отношение дефектов

Отношение дефекта является одним из основных следствий Второй фундаментальной теоремы. Дефект а мероморфной функции в точке определяется формулой

$\delta (a,f)=\liminf _{r\rightarrow \infty }{\frac {m(r,a,f)}{T(r,f)}}=1-\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {N(r,a,f)}{T(r,f)}}.\,$

По Первой фундаментальной теореме 0 ⩽ δ ( a , f ) ⩽ 1, если T ( r , f ) стремится к бесконечности (что всегда имеет место для непостоянных функций, мероморфных на плоскости). Точки a, для которых δ ( a , f ) > 0, называются дефектными значениями . Из Второй основной теоремы следует, что множество дефектных значений мероморфной на плоскости функции не более чем счетно и выполнено следующее соотношение:

$\sum _{a}\delta (a,f)\leq 2,\,$

где суммирование ведется по всем недостающим значениям. Это можно рассматривать как обобщение теоремы Пикара . Многие другие теоремы типа Пикара могут быть выведены из Второй фундаментальной теоремы.

В качестве еще одного следствия из Второй фундаментальной теоремы можно получить, что

$T(r,f')\leq 2T(r,f)+S(r,f),\,$

что обобщает тот факт, что рациональная функция степени d имеет 2 d − 2 < 2 d критических точек.

Приложения

Теория Неванлинны полезна во всех вопросах, где возникают трансцендентные мероморфные функции. как аналитическая теория дифференциальных и функциональных уравнений голоморфная динамика , минимальные поверхности и сложная гиперболическая геометрия, которая занимается обобщением теоремы Пикара на высшие уровни. размеры.

Дальнейшее развитие

Значительная часть исследований функций одной комплексной переменной в ХХ веке была сосредоточена на Теория Неванлинны. Одним из направлений этого исследования было выяснить, соответствуют ли основные выводы Неванлинны теория являются лучшими из возможных. Например, обратная задача теории Неванлинны состоит в том, что построение мероморфных функций с заранее заданными недостатками в заданных точках. Это было решено Дэвид Дрейсин в 1976 году. Другое направление было сконцентрировано на изучении различных подклассов класса всех мероморфных функций на плоскости. Важнейший подкласс состоит из функций конечного порядка. Оказывается, для этого класса на недостатки распространяется ряд ограничений, кроме того к дефектному отношению (Нораир Аракелян, Давид Драсин, Альберт Эдрей, Александр Еременко , Вольфганг Фукс , Анатолий Голдберг , Уолтер Хейман , Джозеф Майлз, Дэниэл Ши, Освальд Тейхмюллер , Алан Вейтсман и др.).

Анри Картан , Иоахим и Герман Вейль и Ларс Альфорс расширил теорию Неванлинны до голоморфных кривых . Это расширение является основным инструментом комплексной гиперболической геометрии. Хенрик Сельберг и Жорж Валирон продлили контракт Теория Неванлинны к алгеброидным функциям . Интенсивные исследования классической одномерной теории продолжаются до сих пор.

См. также

• Гипотеза Войты

Ссылки

• Ланг, Серж (1987). Введение в комплексные гиперболические пространства . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-96447-8 . Артикул   0628.32001 .
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер Верлаг . стр. 192–204. ISBN  978-3-540-61223-0 . Збл   0869.11051 .
• Неванлинна, Рольф (1925), «Zur Theorie der Meromorphen Funktionen», Acta Mathematica , 46 (1–2): 1–99, doi : 10.1007/BF02543858 , ISSN   0001-5962
• Неванлинна, Рольф (1970) [1936], Аналитические функции , Основные положения математических наук, том. 162, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR   0279280
• Ру, Мин (2001). Теория Неванлинны и ее связь с диофантовым приближением . Мировое научное издательство. ISBN  978-981-02-4402-6 .

Дальнейшее чтение

• Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). «13. Теория Неванлинны». Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том. 4. Издательство Кембриджского университета . стр. 444–478. ISBN  978-0-521-71229-3 . Коллекция   1115.11034 .
• Кодайра, Кунихико (2017). Теория Неванлинны . SpringerBriefs по математике. Издательство Спрингер . ISBN  978-981-10-6786-0 . Артикул   1386.30002 .
• Войта, Пол (1987). Диофантовы аппроксимации и теория распределения значений . Конспект лекций по математике. Том. 1239. Шпрингер-Верлаг . ISBN  978-3-540-17551-3 . Збл   0609.14011 .
• Войта, Пол (2011). «Диофантово приближение и теория Неванлинны». В Корвахе, Пьетро; Гасбарри, Карло (ред.). Арифметическая геометрия. Лекции, прочитанные в летней школе CIME, Четраро, Италия, 10-15 сентября 2007 г. Конспект лекций по математике. Том. 2009. Берлин: Springer-Verlag . стр. 111–224. ISBN  978-3-642-15944-2 . Збл   1258.11076 .

Внешние ссылки

• Петренко, В.П. (2001) [1994], «Теория распределения ценностей» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Петренко, В.П. (2001) [1994], «Теоремы Неванлинны» , Энциклопедия Математики , EMS Press