Акустический импеданс

Звуковые измерения
Характеристика	Символы
Звуковое давление	п , СПЛ, Л ПА
Скорость частиц	в , СВЛ
Смещение частиц	д
Интенсивность звука	I , SIL
Звуковая мощность	П , SWL, L WA
Звуковая энергия	В
Плотность звуковой энергии	В
Звуковое воздействие	Э , СЭЛ
Акустический импеданс	С
Звуковая частота	ИЗ
Потери при передаче	ТЛ

Акустический импеданс и удельный акустический импеданс являются мерами сопротивления, которое система оказывает акустическому потоку, возникающему в результате акустического давления, приложенного к системе. Единицей акустического импеданса в системе СИ является паскаль-секунда на кубический метр (обозначение Па·с/м). ³ ), или в системе МКС райл м на квадратный метр (Райл/ ² ), а удельное акустическое сопротивление — паскаль-секунда на метр (Па·с/м), или в системе МКС — райл (Rayl). Существует близкая аналогия с электрическим импедансом , который измеряет сопротивление, которое система оказывает электрическому току, возникающему в результате напряжения приложенного к системе .

Математические определения

Акустический импеданс

Для линейной, не зависящей от времени системы, связь между акустическим давлением, приложенным к системе, и результирующим акустическим объемным расходом через поверхность, перпендикулярную направлению этого давления в точке его приложения, определяется выражением:

$p(t)=[R*Q](t),$

или эквивалентно

$Q(t)=[G*p](t),$

где

• р – акустическое давление;
• Q – акустический объемный расход;
• $*$ — оператор свертки ;
• R — акустическое сопротивление во временной области ;
• Г = Р ⁻¹ – акустическая проводимость во временной области ( R ⁻¹ является сверткой, обратной R ).

Акустический импеданс , обозначаемый Z , представляет собой преобразование Лапласа или преобразование Фурье или аналитическое представление во временной области : акустического сопротивления

$Z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[R](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}},$

$Z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[R](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}},$

$Z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}R_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),$

где

• ${\mathcal {L}}$ – оператор преобразования Лапласа;
• ${\mathcal {F}}$ – оператор преобразования Фурье;
• индекс «а» — оператор аналитического представления;
• вопрос ⁻¹ является сверткой, обратной Q .

Акустическое сопротивление , обозначаемое R , и акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое X , представляют собой действительную и мнимую часть акустического импеданса соответственно:

$Z(s)=R(s)+iX(s),$

$Z(\omega )=R(\omega )+iX(\omega ),$

$Z(t)=R(t)+iX(t),$

где

• я — мнимая единица ;
• в Z ( s ), R ( s ) не является преобразованием Лапласа акустического сопротивления во временной области R ( t ), Z ( s ) есть;
• в Z ( ω ), R ( ω ) не является преобразованием Фурье акустического сопротивления во временной области R ( t ), Z ( ω ) является;
• в Z ( t ), R ( t ) — акустическое сопротивление во временной области, а X ( t ) — преобразование Гильберта акустического сопротивления во временной области R ( t ), согласно определению аналитического представления.

Индуктивное акустическое сопротивление , обозначаемое XL _{представляют} , и емкостное акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое XC _, собой положительную и отрицательную часть акустического реактивного сопротивления соответственно:

$X(s)=X_{L}(s)-X_{C}(s),$

$X(\omega )=X_{L}(\omega )-X_{C}(\omega ),$

$X(t)=X_{L}(t)-X_{C}(t).$

Акустическая проводимость , обозначаемая Y , представляет собой преобразование Лапласа, или преобразование Фурье, или аналитическое представление акустической проводимости во временной области :

$Y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[G](s)={\frac {1}{Z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[Q](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},$

$Y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[G](\omega )={\frac {1}{Z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[Q](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},$

$Y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}G_{\mathrm {a} }(t)=Z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[Q_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),$

где

• С ⁻¹ является сверткой, обратной Z ;
• п ⁻¹ является сверткой, обратной p .

Акустическая проводимость , обозначаемая G , и акустическая проводимость , обозначаемая B , представляют собой действительную и мнимую часть акустической проводимости соответственно:

$Y(s)=G(s)+iB(s),$

$Y(\omega )=G(\omega )+iB(\omega ),$

$Y(t)=G(t)+iB(t),$

где

• в Y ( s ), G ( s ) не является преобразованием Лапласа акустической проводимости во временной области G ( t ), Y ( s ) есть;
• в Y ( ω ), G ( ω ) не является преобразованием Фурье акустической проводимости во временной области G ( t ), Y ( ω ) является;
• в Y ( t ), G ( t ) — акустическая проводимость во временной области, а B ( t ) — преобразование Гильберта акустической проводимости во временной области G ( t ), согласно определению аналитического представления.

Акустическое сопротивление представляет собой передачу энергии акустической волны. Давление и движение находятся в фазе, поэтому работа совершается в среде впереди волны. Акустическое реактивное сопротивление представляет собой давление, которое не совпадает по фазе с движением и не вызывает средней передачи энергии. Например, в закрытую лампу, подключенную к органной трубе, в нее будет поступать воздух и давление, но они не совпадают по фазе, поэтому в нее не передается чистая энергия. Пока давление повышается, воздух движется внутрь, а пока он падает, он выходит наружу, но среднее давление при входе воздуха такое же, как и при его выходе, поэтому энергия течет вперед и назад, но без усредненной по времени энергии. передача. Еще одна электрическая аналогия — это конденсатор, подключенный к линии электропередачи: ток течет через конденсатор, но он не в фазе с напряжением, поэтому полезная мощность на него не передается .

Удельное акустическое сопротивление

Для линейной, не зависящей от времени системы, связь между акустическим давлением, приложенным к системе, и результирующей скоростью частицы в направлении этого давления в точке ее приложения определяется выражением

$p(t)=[r*v](t),$

или эквивалентно:

$v(t)=[g*p](t),$

где

• р – акустическое давление;
• v – скорость частицы;
• r – удельное акустическое сопротивление во временной области ;
• г = р ⁻¹ – удельная акустическая проводимость во временной области ( r ⁻¹ является сверткой, обратной r ).

Удельный акустический импеданс , обозначенный z, представляет собой преобразование Лапласа, или преобразование Фурье, или аналитическое представление удельного акустического сопротивления во временной области :

$z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[r](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[v](s)}},$

$z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[r](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\omega )}},$

$z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}r_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),$

где v ⁻¹ является сверткой, обратной v .

Удельное акустическое сопротивление , обозначаемое r , и удельное акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое x , представляют собой действительную и мнимую часть удельного акустического импеданса соответственно:

$z(s)=r(s)+ix(s),$

$z(\omega )=r(\omega )+ix(\omega ),$

$z(t)=r(t)+ix(t),$

где

• в z ( s ), r ( s ) не является преобразованием Лапласа удельного акустического сопротивления во временной области r ( t ), z ( s );
• в z ( ω ), r ( ω ) не является преобразованием Фурье удельного акустического сопротивления во временной области r ( t ), z ( ω );
• в z ( t ), r ( t ) — удельное акустическое сопротивление во временной области, а x ( t ) — преобразование Гильберта удельного акустического сопротивления во временной области r ( t ), согласно определению аналитического представления.

Удельное индуктивное акустическое сопротивление , обозначаемое x _L , и удельное емкостное акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое x _C , представляют собой положительную и отрицательную часть удельного акустического реактивного сопротивления соответственно:

$x(s)=x_{L}(s)-x_{C}(s),$

$x(\omega )=x_{L}(\omega )-x_{C}(\omega ),$

$x(t)=x_{L}(t)-x_{C}(t).$

Удельная акустическая проводимость , обозначаемая y , представляет собой преобразование Лапласа, или преобразование Фурье, или аналитическое представление удельной акустической проводимости во временной области :

$y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[g](s)={\frac {1}{z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[v](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},$

$y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[g](\omega )={\frac {1}{z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[v](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},$

$y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}g_{\mathrm {a} }(t)=z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[v_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),$

где

• С ⁻¹ является сверткой, обратной z ;
• п ⁻¹ является сверткой, обратной p .

Удельная акустическая проводимость , обозначаемая g , и удельная акустическая восприимчивость , обозначаемая b , представляют собой действительную и мнимую часть удельной акустической проводимости соответственно:

$y(s)=g(s)+ib(s),$

$y(\omega )=g(\omega )+ib(\omega ),$

$y(t)=g(t)+ib(t),$

где

• в y ( s ), g ( s ) не является преобразованием Лапласа акустической проводимости во временной области g ( t ), y ( s );
• в y ( ω ), g ( ω ) не является преобразованием Фурье акустической проводимости во временной области g ( t ), y ( ω );
• в y ( t ), g ( t ) — акустическая проводимость во временной области, а b ( t ) — преобразование Гильберта акустической проводимости во временной области g ( t ), согласно определению аналитического представления.

Удельное акустическое сопротивление z — интенсивное свойство конкретной среды (например, z можно указать воздуха или воды); с другой стороны, акустический импеданс Z является обширным свойством конкретной среды и геометрии (например, можно указать Z конкретного воздуховода, заполненного воздухом).

Акустический Ом

Акустический ом — это единица измерения акустического импеданса. Единицей давления в системе СИ является паскаль, а расхода — кубические метры в секунду, поэтому акустический ом равен 1 Па·с/м. ³ .

Акустический ом можно применять к потоку жидкости вне области акустики. Для таких применений можно использовать гидравлическое сопротивление идентичного определения. Измерением гидравлического сопротивления будет отношение гидравлического давления к объемному гидравлическому расходу.

Отношение

Для одномерной волны, проходящей через отверстие площадью A , акустический объемный расход Q — это объем среды, проходящий через отверстие в секунду; если акустический поток перемещается на расстояние d x = v d t , то объем проходящей среды равен d V = A d x , поэтому:

$Q={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=A{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=Av.$

Если волна одномерна, она дает

$Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{A{\mathcal {L}}[v](s)}}={\frac {z(s)}{A}},$

$Z(\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{A{\mathcal {F}}[v](\omega )}}={\frac {z(\omega )}{A}},$

$Z(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left({\frac {v^{-1}}{A}}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {z(t)}{A}}.$

Характеристическое акустическое сопротивление

Характеристическое удельное акустическое сопротивление

Основополагающий закон недисперсионной линейной акустики в одном измерении определяет связь между напряжением и деформацией:

$p=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}},$

где

• p – акустическое давление в среде;
• ρ – объемная массовая плотность среды;
• c – скорость звуковых волн, распространяющихся в среде;
• δ – смещение частицы ;
• x — пространственная переменная вдоль направления распространения звуковых волн.

Это уравнение справедливо как для жидкостей, так и для твердых тел. В

• жидкости , ρc ² = K ( K означает объемный модуль );
• твердые вещества , ρc ² = K + 4/3 G ( G обозначает модуль сдвига ) для продольных волн и ρc ² = G для поперечных волн .

Второй закон Ньютона, применяемый локально в среде, дает:

$\rho {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}.$

Объединение этого уравнения с предыдущим дает одномерное волновое уравнение :

${\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial x^{2}}}.$

Самолет волны

$\delta (\mathbf {r} ,\,t)=\delta (x,\,t)$

которые являются решениями этого волнового уравнения, состоящими из суммы двух прогрессивных плоских волн, движущихся вдоль x с одинаковой скоростью и в противоположных направлениях :

$\delta (\mathbf {r} ,\,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$

из чего можно вывести

$v(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\partial \delta }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)=-c{\big [}f'(x-ct)-g'(x+ct){\big ]},$

$p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}}(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\big [}f'(x-ct)+g'(x+ct){\big ]}.$

Для прогрессивных плоских волн:

${\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,f'(x-ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=-c\,f'(x-ct)\end{cases}}$

или

${\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,g'(x+ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=c\,g'(x+ct).\end{cases}}$

Наконец, удельный акустический импеданс z равен

$z(\mathbf {r} ,\,s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](\mathbf {r} ,\,s)}{{\mathcal {L}}[v](\mathbf {r} ,\,s)}}=\pm \rho c,$

$z(\mathbf {r} ,\,\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\mathbf {r} ,\,\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\mathbf {r} ,\,\omega )}}=\pm \rho c,$

$z(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(\mathbf {r} ,\,t)=\pm \rho c.$

Абсолютное значение этого удельного акустического сопротивления часто называют характеристическим удельным акустическим сопротивлением и обозначают z ₀ :

$z_{0}=\rho c.$

Уравнения также показывают, что

${\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{v(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm \rho c=\pm z_{0}.$

Влияние температуры

Температура влияет на скорость звука и плотность массы и, следовательно, на удельное акустическое сопротивление.

Влияние температуры на свойства воздуха

Цельсия tempe­rature θ [ °С ]	Скорость звук с [ м / с ]	Плотность воздуха ρ [ кг / м 3 ]	Характеристика специфическая акустический импеданс z 0 [ Па ⋅ с / м ]
35	351.88	1.1455	403.2
30	349.02	1.1644	406.5
25	346.13	1.1839	409.4
20	343.21	1.2041	413.3
15	340.27	1.2250	416.9
10	337.31	1.2466	420.5
5	334.32	1.2690	424.3
0	331.30	1.2922	428.0
−5	328.25	1.3163	432.1
−10	325.18	1.3413	436.1
−15	322.07	1.3673	440.3
−20	318.94	1.3943	444.6
−25	315.77	1.4224	449.1

Характеристическое акустическое сопротивление

Для одномерной волны, проходящей через отверстие площадью A , Z = z / A , поэтому, если волна является прогрессивной плоской волной, то:

$Z(\mathbf {r} ,\,s)=\pm {\frac {\rho c}{A}},$

$Z(\mathbf {r} ,\,\omega )=\pm {\frac {\rho c}{A}},$

$Z(\mathbf {r} ,\,t)=\pm {\frac {\rho c}{A}}.$

Абсолютную величину этого акустического сопротивления часто называют характеристическим акустическим сопротивлением и обозначают Z ₀ :

$Z_{0}={\frac {\rho c}{A}}.$

а характеристическое удельное акустическое сопротивление равно

${\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{Q(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm {\frac {\rho c}{A}}=\pm Z_{0}.$

Если отверстие площадью А является началом трубы и в трубу посылается плоская волна, то волна, проходящая через отверстие, является прогрессивной плоской волной при отсутствии отражений, и обычно отражения от другого конца трубы , открытые или закрытые, представляют собой сумму волн, бегущих от одного конца к другому. (Если труба очень длинная, отражения могут отсутствовать из-за длительного времени, необходимого для возвращения отраженных волн, и их затухания из-за потерь на стенке трубы. ) Такие отражения и возникающие в результате стоячие волны очень важны при проектировании и эксплуатации музыкальных духовых инструментов.

См. также

• Акустическое затухание
• Землетрясение бомба
• Аналогия импеданса
• Механический импеданс

Внешние ссылки

• Волновое уравнение звука
• Что такое акустический импеданс и почему он важен?