Приближение ВКБ

«WKB» и ​​«WKBJ» перенаправляются сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. WKB (значения) . Информацию о телевизионной станции в Лайв-Оук, Флорида, см. WKBJ-LD .

В математической физике или аппроксимация ВКБ метод ВКБ — это метод поиска приближенных решений линейных дифференциальных уравнений с пространственно меняющимися коэффициентами. Обычно он используется для полуклассических расчетов в квантовой механике , в которых волновая функция преобразуется в экспоненциальную функцию, квазиклассически расширяется, а затем считается, что либо амплитуда, либо фаза изменяются медленно.

Название является инициализмом Венцеля-Крамерса-Бриллюэна . Он также известен как метод LG или метод Лиувилля-Грина . Другие часто используемые комбинации букв включают JWKB и WKBJ , где «J» означает «Джеффрис».

Краткая история

Этот метод назван в честь физиков Грегора Венцеля , Хендрика Энтони Крамерса и Леона Бриллюэна , которые разработали его в 1926 году. В 1923 году математик Гарольд Джеффрис разработал общий метод аппроксимации решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка — класса, включающего уравнение Шрёдингера . Само уравнение Шредингера было разработано только два года спустя, а Вентцель, Крамерс и Бриллюэн, очевидно, не знали об этой более ранней работе, поэтому заслугой Джеффриса часто пренебрегают. Ранние тексты по квантовой механике содержат любое количество комбинаций инициалов, включая WBK, BWK, WKBJ, JWKB и BWKJ. Авторитетное обсуждение и критический обзор были сделаны Робертом Б. Динглом.

Более ранние появления по существу эквивалентных методов: Франческо Карлини в 1817 году, Джозеф Лиувилл в 1837 году, Джордж Грин в 1837 году, лорд Рэлей в 1912 году и Ричард Ганс в 1915 году. Можно сказать, что Лиувилл и Грин основали этот метод в 1837 году, и это также обычно называемый методом Лиувилля – Грина или LG.

Важным вкладом Джеффриса, Венцеля, Крамерса и Бриллюэна в этот метод было включение рассмотрения точек поворота , соединяющее исчезающие и колебательные решения по обе стороны от точки поворота. Например, это может произойти в уравнении Шредингера из-за холма потенциальной энергии .

Формулировка

В общем, теория ВКБ — это метод аппроксимации решения дифференциального уравнения, высшая производная которого умножается на небольшой параметр ε . Метод аппроксимации заключается в следующем.

Для дифференциального уравнения $$\varepsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0,$$ примем решение в виде в асимптотический ряд разложения $$y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]$$ в пределе δ → 0 . Асимптотическое масштабирование δ через ε будет определяться уравнением – см. пример ниже.

Подстановка приведенного выше анзаца исключение экспоненциальных членов позволяет найти произвольное количество членов Sn _{в дифференциальное уравнение и} ( x ) в разложении.

Теория ВКБ представляет собой частный случай многомасштабного анализа .

Пример

Этот пример взят из текста Карла М. Бендера и Стивена Орзага . Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка $$\epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,$$ где $Q(x)\neq 0$. Замена $$y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]$$ приводит к уравнению $$\epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x).$$

В ведущем порядке по ϵ (предполагая, что на данный момент ряд будет асимптотически непротиворечивым), приведенное выше можно аппроксимировать как $${\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}'S_{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}''=Q(x).$$

В пределе δ → 0 доминирующий баланс определяется выражением $${\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x).$$

Таким образом, δ пропорционально ϵ . Приравнивая их и сравнивая мощности, получаем $$\epsilon ^{0}:\quad S_{0}'^{2}=Q(x),$$ которое можно признать уравнением эйконала с решением $$S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(x')}}\,dx'.$$

Учитывая степени первого порядка ϵ, исправляет $$\epsilon ^{1}:\quad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0.$$ Это имеет решение $$S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln Q(x)+k_{1},$$ где k ₁ — произвольная константа.

Теперь у нас есть пара аппроксимаций системы (пара, поскольку S ₀ может принимать два знака); ВКБ-приближение первого порядка будет линейной комбинацией двух: $$y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right].$$

Члены более высокого порядка можно получить, рассматривая уравнения для высших степеней δ . Явно, $$2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0$$ для n ≥ 2 .

Точность асимптотического ряда

Асимптотический ряд для y ( x ) обычно является расходящимся рядом , общий член которого δ ^н S _n ( x ) начинает увеличиваться после определенного значения n = n _max . Следовательно, наименьшая ошибка, достигаемая методом WKB, в лучшем случае имеет порядок последнего включенного члена.

Для уравнения $$\epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,$$ с Q ( x ) <0 — аналитическая функция, значение $n_{\max }$ а величину последнего члена можно оценить следующим образом: $$n_{\max }\approx 2\epsilon ^{-1}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}{\sqrt {-Q(z)}}\,dz\right|,$$ $$\delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}\exp[-n_{\max }],$$ где $x_{0}$ это точка, в которой $y(x_{0})$ необходимо оценить и $x_{\ast }$ это (сложный) поворотный момент, где $Q(x_{\ast })=0$, ближайший к $x=x_{0}$.

Число n _max можно интерпретировать как количество колебаний между $x_{0}$ и ближайший переломный момент.

Если $\epsilon ^{-1}Q(x)$ — медленно меняющаяся функция, $$\epsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},^{{\text{[might be }}Q^{3/2}{\text{?]}}}$$ число n _max будет большим, а минимальная ошибка асимптотического ряда будет экспоненциально малой.

Применение в нерелятивистской квантовой механике

Приближение ВКБ к указанному потенциалу. Вертикальные линии показывают поворотные моменты

Плотность вероятности приближенной волновой функции. Вертикальные линии показывают поворотные моменты

Приведенный выше пример может быть применен конкретно к одномерному, независимому от времени уравнению Шредингера : $$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x),$$ который можно переписать как $${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x).$$

Аппроксимация вдали от точек поворота

Волновую функцию можно переписать как экспоненту другой функции S (тесно связанной с действием ), которая может быть комплексной, $$\Psi (\mathbf {x} )=e^{iS(\mathbf {x} ) \over \hbar },$$ так что его замена в уравнении Шредингера дает:

$$i\hbar \nabla ^{2}S(\mathbf {x} )-(\nabla S(\mathbf {x} ))^{2}=2m\left(V(\mathbf {x} )-E\right),$$

Далее используется квазиклассическое приближение. Это означает, что каждая функция разлагается в степенной ряд по ħ . $$S=S_{0}+\hbar S_{1}+\hbar ^{2}S_{2}+\cdots$$ Подставив в уравнение и сохранив члены только до первого порядка по ℏ , получим: $$(\nabla S_{0}+\hbar \nabla S_{1})^{2}-i\hbar (\nabla ^{2}S_{0})=2m(E-V(\mathbf {x} ))$$ что дает следующие два соотношения: $${\begin{aligned}(\nabla S_{0})^{2}=2m(E-V(\mathbf {x} ))=(p(\mathbf {x} ))^{2}\\2\nabla S_{0}\cdot \nabla S_{1}-i\nabla ^{2}S_{0}=0\end{aligned}}$$ которое можно решить для одномерных систем, первое уравнение дает: $$S_{0}(x)=\pm \int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\pm \int p(x)\,dx$$а второе уравнение, рассчитанное для возможных значений вышеизложенного, обычно выражается как: $$\Psi (x)\approx C_{+}{\frac {e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+C_{-}{\frac {e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}$$

Таким образом, результирующая волновая функция в приближении ВКБ первого порядка представляется как:

$\Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx}+C_{-}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx}}{\sqrt[{4}]{2m\mid E-V(x)\mid }}}$

В классически разрешенной области, а именно в области, где $V(x)<E$ подынтегральное выражение в показателе степени мнимое, а приближенная волновая функция является колебательной. В классически запрещенной области $V(x)>E$, решения растут или затухают. В знаменателе видно, что оба этих приближенных решения становятся сингулярными вблизи классических точек поворота , где E = V ( x ) , и не могут быть действительными. (Точки поворота — это точки, в которых классическая частица меняет направление.)

Следовательно, когда $E>V(x)$, волновую функцию можно выбрать так: $$\Psi (x')\approx C{\frac {\cos {({\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}+\alpha )}{\sqrt {|p(x)|}}}+D{\frac {\sin {(-{\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}+\alpha )}{\sqrt {|p(x)|}}}$$и для $V(x)>E$, $$\Psi (x')\approx {\frac {C_{+}e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+{\frac {C_{-}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}.$$Интегрирование в этом решении вычисляется между классической точкой поворота и произвольной позицией x'.

Действительность решений WKB

Из условия: $$(S_{0}'(x))^{2}-(p(x))^{2}+\hbar (2S_{0}'(x)S_{1}'(x)-iS_{0}''(x))=0$$

Отсюда следует, что: ${\textstyle \hbar \mid 2S_{0}'(x)S_{1}'(x)\mid +\hbar \mid iS_{0}''(x)\mid \ll \mid (S_{0}'(x))^{2}\mid +\mid (p(x))^{2}\mid }$

Для которого следующие два неравенства эквивалентны, поскольку члены в обеих частях эквивалентны, как это используется в приближении ВКБ:

$${\begin{aligned}\hbar \mid S_{0}''(x)\mid \ll \mid (S_{0}'(x))^{2}\mid \\2\hbar \mid S_{0}'S_{1}'\mid \ll \mid (p'(x))^{2}\mid \end{aligned}}$$

Первое неравенство можно использовать, чтобы показать следующее:

$${\begin{aligned}\hbar \mid S_{0}''(x)\mid \ll \mid (p(x))\mid ^{2}\\{\frac {1}{2}}{\frac {\hbar }{|p(x)|}}\left|{\frac {dp^{2}}{dx}}\right|\ll |p(x)|^{2}\\\lambda \left|{\frac {dV}{dx}}\right|\ll {\frac {|p|^{2}}{m}}\\\end{aligned}}$$

где ${\textstyle |S_{0}'(x)|=|p(x)|}$ используется и ${\textstyle \lambda (x)}$ - локальная длина волны де Бройля волновой функции. Из неравенства следует, что изменение потенциала предполагается медленно меняющимся. Это условие также можно переформулировать как дробное изменение ${\textstyle E-V(x)}$ или что из импульса ${\textstyle p(x)}$, по длине волны ${\textstyle \lambda }$, будучи намного меньше, чем ${\textstyle 1}$.

Аналогично можно показать, что ${\textstyle \lambda (x)}$ также имеет ограничения, основанные на основных предположениях для приближения ВКБ, которые: $$\left|{\frac {d\lambda }{dx}}\right|\ll 1$$из чего следует, что длина волны де Бройля частицы медленно меняется.

Поведение вблизи поворотных точек

Рассмотрим теперь поведение волновой функции вблизи точек поворота. Для этого нам нужен другой метод. Вблизи первых точек поворота x ₁ член ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)$ можно разложить в степенной ряд, $${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2}\cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;.$$

Для первого заказа можно найти $${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x).$$ Это дифференциальное уравнение известно как уравнение Эйри , и решение может быть записано в терминах функций Эйри : $$\Psi (x)=C_{A}\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)=C_{A}\operatorname {Ai} \left(u\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left(u\right).$$

Хотя для любого фиксированного значения $\hbar$, волновая функция ограничена вблизи точек поворота, там волновая функция будет иметь максимум, как видно на изображениях выше. Как $\hbar$ становится меньше, высота волновой функции в точках поворота растет. Из этого приближения также следует, что:

$${\frac {1}{\hbar }}\int p(x)dx={\sqrt {U_{1}}}\int {\sqrt {x-a}}\,dx={\frac {2}{3}}({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-a))^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}$$

Условия подключения

Теперь осталось построить глобальное (приближенное) решение уравнения Шрёдингера. Чтобы волновая функция была интегрируемой с квадратом, мы должны взять только экспоненциально затухающее решение в двух классически запрещенных областях. Затем они должны должным образом «соединиться» через поворотные точки с классически разрешенной областью. Для большинства значений E эта процедура сопоставления не будет работать: Функция, полученная путем соединения решения вблизи $+\infty$ в классически разрешенную область не будет согласовываться с функцией, полученной привязкой решения вблизи $-\infty$ в классически разрешенную область. Требование согласования двух функций накладывает условие на энергию E , которое даст приближение к точным уровням квантовой энергии.

Приближение ВКБ к указанному потенциалу. Вертикальные линии показывают уровень энергии, а его пересечение с потенциалом показывает точки поворота пунктирными линиями. Проблема имеет два классических поворотных момента: $U_{1}<0$ в $x=x_{1}$ и $U_{1}>0$ в $x=x_{2}$.

Коэффициенты волновой функции можно рассчитать для простой задачи, показанной на рисунке. Пусть первая точка поворота, когда потенциал убывает по x, наступает при $x=x_{1}$ и вторая точка поворота, когда потенциал увеличивается по x, возникает при $x=x_{2}$. Учитывая, что мы ожидаем, что волновые функции будут иметь следующую форму, мы можем вычислить их коэффициенты, соединив различные области с помощью функций Эйри и Бэйри.

$${\begin{aligned}\Psi _{V>E}(x)\approx A{\frac {e^{{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt[{4}]{u}}}+B{\frac {e^{-{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt[{4}]{u}}}\\\Psi _{E>V}(x)\approx C{\frac {\cos {({\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha )}}{\sqrt[{4}]{u}}}+D{\frac {\sin {({\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha )}}{\sqrt[{4}]{u}}}\\\end{aligned}}$$

Первый классический поворотный момент

Для $U_{1}<0$ то есть. уменьшающееся потенциальное состояние или $x=x_{1}$ в данном примере, показанном на рисунке, мы требуем, чтобы показательная функция затухала при отрицательных значениях x, чтобы волновая функция для нее обращалась в ноль. Считая функции Бэйри искомой формулой связи, получаем:

$${\begin{aligned}\operatorname {Bi} (u)\rightarrow -{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\sin {\left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow -\infty \\\operatorname {Bi} (u)\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}e^{{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow +\infty \\\end{aligned}}$$

Мы не можем использовать функцию Эйри, поскольку она дает возрастающее экспоненциальное поведение при отрицательном x. По сравнению с решениями WKB и сопоставлением их поведения на $\pm \infty$, делаем вывод:

$B=-D=N$, $A=C=0$ и $\alpha ={\frac {\pi }{4}}$.

Таким образом, позволив некоторой константе нормализации быть $N$, волновая функция для возрастающего потенциала (с x) задается как:

$\Psi _{\text{WKB}}(x)={\begin{cases}-{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x<x_{1}\\{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}})}&{\text{if }}x_{2}>x>x_{1}\\\end{cases}}$

Второй классический поворотный момент

Для $U_{1}>0$ то есть. увеличивающееся потенциальное состояние или $x=x_{2}$ в данном примере, показанном на рисунке, мы требуем, чтобы показательная функция затухала при положительных значениях x, чтобы волновая функция для нее обращалась в ноль. Считая функции Эйри искомой формулой связи, получаем:

$${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (u)\rightarrow {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}e^{-{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow +\infty \\\operatorname {Ai} (u)\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\cos {\left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow -\infty \\\end{aligned}}$$

Мы не можем использовать функцию Бэйри, поскольку она дает возрастающее экспоненциальное поведение при положительном x. По сравнению с решениями WKB и сопоставлением их поведения на $\pm \infty$, делаем вывод:

$2A=C=N'$, $D=B=0$ и $\alpha ={\frac {\pi }{4}}$.

Таким образом, позволив некоторой константе нормализации быть $N'$, волновая функция для возрастающего потенциала (с x) задается как:

$\Psi _{\text{WKB}}(x)={\begin{cases}{\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}})}&{\text{if }}x_{1}<x<x_{2}\\{\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{2}}^{x}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}$

Общая колебательная волновая функция

Сопоставление двух решений для региона $x_{1}<x<x_{2}$, требуется, чтобы разность углов в этих функциях была $\pi (n+1/2)$ где ${\frac {\pi }{2}}$ разность фаз учитывает изменение косинуса на синус волновой функции и $n\pi$ разница, поскольку отрицание функции может произойти, если позволить $N=(-1)^{n}N'$. Таким образом: $$\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n+1/2)\pi \hbar ,$$ Где n — неотрицательное целое число. Это условие также можно переписать так:

Площадь, ограниченная классической энергетической кривой, равна $2\pi \hbar (n+1/2)$.

В любом случае, условие на энергию является версией условия квантования Бора-Зоммерфельда с « поправкой Маслова », равной 1/2.

Можно показать, что после объединения аппроксимаций в различных областях можно получить хорошее приближение к реальной собственной функции. В частности, энергии Бора – Зоммерфельда с поправкой Маслова являются хорошим приближением к действительным собственным значениям оператора Шредингера. В частности, ошибка в энергиях мала по сравнению с типичным расстоянием между квантовыми уровнями энергии. Таким образом, хотя «старая квантовая теория» Бора и Зоммерфельда в конечном итоге была заменена уравнением Шредингера, некоторый рудимент этой теории остается в виде приближения к собственным значениям соответствующего оператора Шредингера.

Общие условия подключения

Таким образом, из двух случаев получается формула связи в классической точке поворота: $x=a$:

${\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longrightarrow -{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}$

и:

${\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longleftarrow {\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp {\left(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}$

Волновая функция ВКБ в классической точке поворота от нее аппроксимируется колебательной функцией синуса или косинуса в классически разрешенной области, представленной слева, и растущей или затухающей экспонентой в запрещенной области, представленной справа. Следствием этого является доминирование растущей экспоненты над убывающей экспонентой. Таким образом, решения осциллирующей или экспоненциальной части волновой функции могут подразумевать форму волновой функции в другой области потенциала, а также в соответствующей точке поворота.

Плотность вероятности

Затем можно вычислить плотность вероятности, связанную с приближенной волновой функцией. Вероятность того, что квантовая частица окажется в классически запрещенной области, мала. Между тем, в классически разрешенной области вероятность того, что квантовая частица будет обнаружена в данном интервале, примерно равна доле времени, которую классическая частица проводит в этом интервале за один период движения. Поскольку скорость классической частицы стремится к нулю в точках поворота, она проводит больше времени вблизи точек поворота, чем в других классически разрешенных областях. Это наблюдение объясняет пик волновой функции (и ее плотности вероятности) вблизи точек поворота.

Приложения метода ВКБ к уравнениям Шредингера с большим разнообразием потенциалов и сравнение с методами возмущений и интегралами по траекториям рассматриваются в работе Мюллера-Кирстена.

Примеры из квантовой механики

Хотя потенциал ВКБ применим только к плавно меняющимся потенциалам, в примерах, где жесткие стены создают бесконечность для потенциала, приближение ВКБ все еще можно использовать для аппроксимации волновых функций в областях плавно меняющихся потенциалов. Поскольку жесткие стенки имеют сильно разрывный потенциал, в этих точках нельзя использовать условие связи, и полученные результаты также могут отличаться от результатов, полученных в приведенном выше рассмотрении.

Связанные состояния для 1 жесткой стенки

Потенциал таких систем можно представить в виде:

$V(x)={\begin{cases}V(x)&{\text{if }}x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}$

где ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$.

Нахождение волновой функции в связанной области, т.е. в рамках классических поворотных моментов ${\textstyle x_{1}}$ и ${\textstyle x_{2}}$, рассматривая приближения, далекие от ${\textstyle x_{1}}$ и ${\textstyle x_{2}}$ соответственно у нас есть два решения:

$\Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx+\alpha \right)}$

$\Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx+\beta \right)}$

Поскольку волновая функция должна исчезать вблизи ${\textstyle x_{1}}$, мы заключаем ${\textstyle \alpha =0}$. Для воздушных функций вблизи ${\textstyle x_{2}}$, нам требуется ${\textstyle \beta =-{\frac {\pi }{4}}}$. Мы требуем, чтобы углы внутри этих функций имели разность фаз. $\pi (n+1/2)$ где ${\frac {\pi }{2}}$ разность фаз учитывает изменение синуса на косинус и $n\pi$ позволяя $B=(-1)^{n}A$.

$${\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x)|dx=\pi \left(n+{\frac {3}{4}}\right)$$Где n — неотрицательное целое число. Обратите внимание, что правая часть этого вместо этого будет $\pi (n-1/4)$ если бы n допускалось только к ненулевым натуральным числам.

Таким образом, мы приходим к выводу, что для ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$$$\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \hbar$$В трехмерных измерениях со сферической симметрией то же самое условие выполняется, когда положение x заменяется радиальным расстоянием r из-за его сходства с этой задачей.

Связанные состояния внутри двух жестких стенок

Потенциал таких систем можно представить в виде:

$V(x)={\begin{cases}\infty &{\text{if }}x>x_{2}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}$

где ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$.

Для ${\textstyle E\geq V(x)}$ между ${\textstyle x_{1}}$ и ${\textstyle x_{2}}$ которые, таким образом, являются классическими поворотными точками, рассматривая приближения, далекие от ${\textstyle x_{1}}$ и ${\textstyle x_{2}}$ соответственно у нас есть два решения:

$\Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx\right)}$

$\Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx\right)}$

Поскольку волновые функции должны исчезать при ${\textstyle x_{1}}$ и ${\textstyle x_{2}}$. Здесь разность фаз должна учитывать только $n\pi$ что позволяет $B=(-1)^{n}A$. Следовательно, условие становится:

$$\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=n\pi \hbar$$где ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$ но не равен нулю, поскольку делает волновую функцию нулевой всюду.

Квантовый прыгающий мяч

Рассмотрим следующие возможности, которым подвергается прыгающий мяч:

$V(x)={\begin{cases}mgx&{\text{if }}x\geq 0\\\infty &{\text{if }}x<0\\\end{cases}}$

Вышеупомянутые решения волновых функций могут быть решены с использованием метода ВКБ, рассматривая только решения нечетной четности альтернативного потенциала. $V(x)=mg|x|$. Определены классические поворотные моменты ${\textstyle x_{1}=-{E \over mg}}$ и ${\textstyle x_{2}={E \over mg}}$. Таким образом, применяя условие квантования, полученное в WKB:

$$\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n_{\text{odd}}+1/2)\pi \hbar$$

Сдача в аренду ${\textstyle n_{\text{odd}}=2n-1}$ где ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$, решая для ${\textstyle E}$ с данным $V(x)=mg|x|$, мы получаем квантовомеханическую энергию прыгающего мяча:

$$E={\left(3\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \right)^{\frac {2}{3}} \over 2}(mg^{2}\hbar ^{2})^{\frac {1}{3}}.$$

Этот результат также согласуется с использованием уравнения связанного состояния одной твердой стенки без необходимости рассмотрения альтернативного потенциала.

Квантовое туннелирование

Основная статья: Квантовое туннелирование

Потенциал таких систем можно представить в виде:

$$V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<x_{1}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\0&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}$$

где ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$.

Даны решения для падающей волны:

$$V(x)={\begin{cases}A\exp({ip_{0}x \over \hbar })+B\exp({-ip_{0}x \over \hbar })&{\text{if }}x<x_{1}\\{\frac {C}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\D\exp({ip_{0}x \over \hbar })&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}$$

Волновая функция в классически запрещенной области представляет собой приближение ВКБ, но без учета растущей экспоненты, что является справедливым предположением для широких потенциальных барьеров, через которые не ожидается роста волновой функции до больших величин.

По требованию непрерывности волновой функции и ее производных можно показать следующее соотношение: $${\frac {|E|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)$$

где $a_{1}=|p(x_{1})|$ и $a_{2}=|p(x_{2})|$.

С использованием ${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})}$ величины выражаем без знаков как:

${\textstyle J_{\text{inc.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|A|^{2})}$

${\textstyle J_{\text{ref.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|B|^{2})}$

${\textstyle J_{\text{trans.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|E|^{2})}$

Таким образом, коэффициент передачи равен:

$$T={\frac {|E|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)$$

где ${\textstyle p(x)={\sqrt {2m(E-V(x))}}}$, $a_{1}=|p(x_{1})|$ и $a_{2}=|p(x_{2})|$. Результат можно сформулировать как ${\textstyle T\sim ~e^{-2\gamma }}$ где ${\textstyle \gamma =\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'}$.

См. также

• Функция Эйри
• Метод Эйнштейна–Бриллюэна–Келлера.
• Полевая электронная эмиссия
• Инстантон
• Поправка Лангера
• Индекс Маслова
• Метод доминирующего баланса
• Метод согласованных асимптотических разложений
• Метод наискорейшего спуска
• Старая квантовая теория
• Методы возмущения
• Квантовое туннелирование
• Медленно меняющаяся аппроксимация огибающей
• Суперсимметричное приближение ВКБ

Ссылки

Современные ссылки

• Бендер, Карл ; Орзаг, Стивен (1978). Передовые математические методы для ученых и инженеров . МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-004452-Х .
• Чайлд, MS (1991). Квазиклассическая механика с молекулярными приложениями . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN  0-19-855654-3 .
• Фреман, Н.; Фреман, П.-О. (1965). Приближение JWKB: вклад в теорию . Амстердам: Северная Голландия.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN  0-13-111892-7 .
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158
• Либофф, Ричард Л. (2003). Вводная квантовая механика (4-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  0-8053-8714-5 .
• Олвер, Фрэнк Уильям Джон (1974). Асимптотика и специальные функции . Академическая пресса. ISBN  0-12-525850-Х .
• Разави, Мохсен (2003). Квантовая теория туннелирования . Всемирная научная. ISBN  981-238-019-1 .
• Сакураи, Джей-Джей (1993). Современная квантовая механика . Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-53929-2 .

Исторические справки

• Карлини, Франческо (1817). Исследование сходимости рядов, служащее решению проблемы Кеплера . Милан.
• Лиувилл, Жозеф (1837). «О развитии функций и рядов». Журнал чистой и прикладной математики . 1 :16–35.
• Грин, Джордж (1837). «О движении волн в переменном канале малой глубины и ширины». Труды Кембриджского философского общества . 6 : 457–462.
• Рэлей, Лорд (Джон Уильям Стратт) (1912). «О распространении волн в слоистой среде, особенно к вопросу об отражении» . Труды Королевского общества А. 86 (586): 207–226. Бибкод : 1912RSPSA..86..207R . дои : 10.1098/rspa.1912.0014 .
• Гусь, Ричард (1915). «Распространение света в неоднородной среде» . Анналы физики . 47 (14): 709–736. Нагрудный код : 1915АнП...352..709Г . дои : 10.1002/andp.19153521402 .
• Джеффрис, Гарольд (1924). «О некоторых приближенных решениях линейных дифференциальных уравнений второго порядка». Труды Лондонского математического общества . 23 : 428–436. дои : 10.1112/plms/s2-23.1.428 .
• Бриллюэн, Леон (1926). «Волновая механика Шредингера: общий метод разрешения последовательными приближениями». Доклады Академии наук . 183 : 24–26.
• Крамерс, Хендрик А. (1926). «Волновая механика и полуцелое квантование». Журнал физики . 39 (10–11): 828–840. Бибкод : 1926ZPhy...39..828K . дои : 10.1007/BF01451751 . S2CID   122955156 .
• Вентцель, Грегор (1926). «Обобщение квантовых условий для целей волновой механики». Журнал физики . 38 (6–7): 518–529. Бибкод : 1926ZPhy...38..518W . дои : 10.1007/BF01397171 . S2CID   120096571 .

Внешние ссылки

• Фитцпатрик, Ричард (2002). «Приближение ВКБ» . (Применение приближения ВКБ к рассеянию радиоволн в ионосфере.)