Фильтрация Виеторис-Рипс

В топологическом анализе данных фильтрация Виеториса-Рипса (иногда сокращаемая до « фильтрации Рипса ») представляет собой набор вложенных комплексов Виеториса-Рипса в метрическом пространстве , созданном путем взятия последовательности комплексов Виеториса-Рипса по возрастающему параметру масштаба. Часто фильтрация Виеториса-Рипса используется для создания дискретной симплициальной модели на основе данных облака точек, встроенных в окружающее метрическое пространство. ^{[ 1 ]} Фильтрация Виеториса-Рипса представляет собой многомасштабное расширение комплекса Виеториса-Рипса, которое позволяет исследователям обнаруживать и отслеживать постоянство топологических особенностей в диапазоне параметров путем расчета постоянной гомологии всей фильтрации. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Он назван в честь Леопольда Виеториса и Элияху Рипса .

Определение

Фильтрация Виеториса-Рипса представляет собой вложенную совокупность комплексов Виеториса-Рипса , индексированных по возрастающему масштабному параметру. Комплекс Виеториса-Рипса — это классическая математическая конструкция, восходящая к статье 1927 года. ^{[ 5 ]} Леопольда Виеториса , хотя его независимо рассматривал Элияху Рипс при изучении гиперболических групп , как заметил Михаил Громов в 1980-х годах. ^{[ 6 ]} Объединенное название «Вьеторис – Рипс» принадлежит Жан-Клоду Осману. ^{[ 7 ]}

Учитывая метрическое пространство $X$ и параметр масштаба (иногда называемый параметром порога или расстояния ) $r\in [0,\infty )$ , комплекс Виеториса–Рипса (по отношению к $r$ ) определяется как $\mathbf {VR} _{r}(X)=\{\emptyset \neq S\subseteq X\mid S{\text{ finite}};\operatorname {diam} S\leq r\}$ , где $\operatorname {diam} S$ - диаметр , т.е. максимальное расстояние точек, лежащих в $S$ . ^{[ 8 ]}

Заметьте, что если $r\leq s\in [0,\infty )$ , существует симплициальное отображение включения $\mathbf {VR} _{r}(X)\hookrightarrow \mathbf {VR} _{s}(X)$ . Фильтрация Виеториса–Рипса представляет собой вложенный набор комплексов. $\mathbf {VR} _{r}(X)$ :

$\mathbf {VR} (X)=\{\mathbf {VR} _{r}(X)\}_{r\in [0,\infty )}$

Если неотрицательные действительные числа $[0,\infty )$ рассматриваются как посетальная категория через $\leq$ отношения , то фильтрацию Вьеториса–Рипса можно рассматривать как функтор $\mathbf {VR} (X):[0,\infty )\to \mathbf {Simp}$ ценится в категории симплициальных комплексов и симплициальных отображений, где морфизмы (т. е. отношения в частично упорядоченном множестве) в исходной категории вызывают карты включения среди комплексов. ^{[ 9 ]} Обратите внимание, что категорию симплициальных комплексов можно рассматривать как подкатегорию $\mathbf {Top}$ , категория топологических пространств , путем посткомпозиции с функтором геометрической реализации .

Характеристики

Размер . фильтрации относится к числу симплексов в наибольшем комплексе, при условии, что базовое метрическое пространство конечно $k$ -скелет, т.е. количество симплексов до размерности $k$ , фильтрации Вьеториса–Рипса, как известно, $O\left(n^{k+1}\right)$ , где $n$ это количество очков. ^{[ 10 ]} Размер полного скелета точно $2^{n}-1$ симплексы, по одному на каждое непустое подмножество точек. ^{[ 9 ]} Поскольку это экспоненциальный процесс, исследователи обычно вычисляют скелет фильтрации Вьеториса-Рипса только до небольших значений $k$ . ^{[ 2 ]}

Когда базовое метрическое пространство конечно, фильтрацию Виеториса – Рипса иногда называют существенно дискретной . ^{[ 9 ]} это означает, что существует какой-то терминальный или максимальный параметр масштаба $r_{\text{max}}\in [0,\infty )$ такой, что $\mathbf {VR} _{s}(X)=\mathbf {VR} _{r_{\max }}(X)$ для всех $s\geq r_{\max }$ , и, кроме того, отображение включения $\mathbf {VR} _{s\to t}(X):\mathbf {VR} _{s}(X)\hookrightarrow \mathbf {VR} _{t}(X)$ является изоморфизмом для всех параметров, кроме конечного числа $s\leq t$ . Другими словами, когда базовое метрическое пространство конечно, фильтрация Вьеториса – Рипса имеет наибольший комплекс, и комплекс меняется только за конечное число шагов. Последнее означает, что фильтрацию Виеториса–Рипса на конечном метрическом пространстве можно рассматривать как индексированную по дискретному множеству, такому как $\mathbb {N}$ , ограничивая фильтрацию параметрами масштаба, при которых фильтрация изменяется, а затем перемаркируя комплексы, используя натуральные числа .

Можно также дать явную оценку числу шагов, на которых меняется фильтрация Вьеториса–Рипса. Комплекс Виеториса-Рипса представляет собой комплекс клики , то есть он полностью определяется своим 1-скелетом. ^{[ 11 ]} Поэтому количество шагов, на которых меняется фильтрация Виеториса–Рипса, ограничено числом ребер в наибольшем комплексе. Число ребер в наибольшем комплексе равно ${n \choose 2}=n(n-1)/2$ , поскольку все $n$ вершины соединены ребром. Поэтому фильтрация Виеториса–Рипса меняется при $O(n^{2})$ шаги, где $O(-)$ обозначает асимптотическую верхнюю границу .

Для точек евклидова пространства фильтрация Виеториса-Рипса является приближением фильтрации Чеха в смысле расстояния перемежения. ^{[ 1 ]} Это следует из того, что для любого масштабного параметра $\alpha$ , комплексы Виеториса–Рипса и Чеха на конечном множестве $X$ точек в евклидовом пространстве удовлетворяют соотношению включения $\mathbf {VR} _{\alpha }(X)\subseteq \operatorname {{\check {C}}ech} _{{\sqrt {2}}\alpha }(X)\subseteq \mathbf {VR} _{{\sqrt {2}}\alpha }(X)$ , которую иногда называют леммой Вьеториса–Рипса. ^{[ 12 ]} В общих метрических пространствах прямое применение неравенства треугольника показывает, что $\mathbf {VR} _{\alpha }(X)\subseteq \operatorname {{\check {C}}ech} _{2\alpha }(X)\subseteq \mathbf {VR} _{2\alpha }(X)$ для любого параметра масштаба $\alpha$ .

Варианты

Приближения

Поскольку фильтрация Виеториса-Рипса имеет экспоненциальное число симплексов в своем полном скелете, был проведен значительный объем исследований по аппроксимации постоянной гомологии фильтрации Виеториса-Рипса с использованием конструкций меньшего размера. Первую работу в этом направлении опубликовал ученый-компьютерщик Дональд Шихи в 2012 году, который показал, как построить фильтрацию $O(n)$ размер в $O(n\log n)$ время, которое приближает постоянную гомологию фильтрации Вьеториса-Рипса к желаемой погрешности. ^{[ 10 ]} Этот тип фильтрации известен как фильтрация Виеториса-Рипса с S-разбором , поскольку он удаляет точки из стандартной фильтрации Виеториса-Рипса, используя идеи вычислительной геометрии, связанные с геометрическими гаечными ключами . ^{[ 13 ]} С тех пор было разработано несколько более эффективных методов аппроксимации фильтрации Вьеториса-Рипса, в основном с использованием идей Шихи, но также на основе схем аппроксимации, разработанных для фильтра Чеха. ^{[ 14 ]} и Делоне ^{[ 15 ]} фильтрация. ^{[ 16 ]}^{[ 2 ]}

Многопараметрические расширения

Известно, что постоянная гомология может быть чувствительна к выбросам в базовом наборе данных. ^{[ 17 ]} Чтобы исправить это, в 2009 году Гуннар Карлссон и Афра Зомородян предложили многомерную версию постоянства, которая учитывает фильтрацию по нескольким параметрам, таким как масштаб и плотность. ^{[ 18 ]}

С этой целью было разработано несколько многопараметрических расширений фильтрации Виеториса-Рипса.

Бифильтрация Степени-Рипса расширяет фильтрацию Виеториса-Рипса путем построения подграфа 1-скелета каждого комплекса в фильтрации Виеториса-Рипса, ограничиваясь только вершинами, степень которых не ниже заданного параметра. $a\in [0,\infty )$ , а затем построим комплекс клик на этом подграфе. Степень вершины кодирует информацию о плотности данных, поскольку она количественно определяет, насколько «центральной» является эта точка с точки зрения количества других вершин, с которыми она связана. Коллекция по всем параметрам степени $a$ определяет фильтрацию каждого комплекса в фильтрации Виеториса – Рипса, где комплексы уменьшаются по мере увеличения $a$ увеличивается. В целом это определяет 2-параметрическое расширение фильтрации Вьеториса-Рипса за счет рассмотрения совокупности комплексов с двойной фильтрацией по всем параметрам масштаба. $(a,r)\in \mathbb {R} ^{\operatorname {op} }\times \mathbb {R}$ , где «op» обозначает противоположный ЧУУ . ^{[ 19 ]}
Бифильтрация Function -Rips расширяет фильтрацию Вьеториса-Рипса путем бифильтрации каждого комплекса в соответствии с множествами суперуровней некоторой функции. $\gamma :X\to \mathbb {R}$ , где $\gamma$ может быть функцией плотности, функцией эксцентриситета или любой другой функцией. А именно, каждый комплекс определяется через $\mathbf {F} {\text{-}}\mathbf {VR} _{a,r}(\gamma )=\mathbf {VR} _{r}(\gamma ^{-1}[a,\infty ))$ , что дает бифильтрацию, индексированную по $\mathbb {R} ^{\operatorname {op} }\times [0,\infty )$ . ^{[ 20 ]}
Бифильтрация подразделения -Рипса расширяет фильтрацию Виеториса-Рипса, беря барицентрическое подразделение каждого комплекса в фильтрации Виеториса-Рипса, а затем фильтруя эти комплексы по размерности каждого флага. А именно, барицентрическое подразделение симплициального комплекса — это абстрактный симплициальный комплекс, определенный с использованием флагов симплексов в базовом комплексе, где флаг (иногда называемый цепочкой ) представляет собой вложенную серию симплексов. $\sigma _{0}\subset \cdots \subset \sigma _{m}$ . Тогда, учитывая барицентрическое подразделение комплекса, его можно отфильтровать, взяв подкомплекс, натянутый на вершины, соответствующие симплексам в исходном комплексе некоторой минимальной размерности. $k$ . Совокупность всех таких комплексов дает бифильтрацию, индексированную по $[0,\infty )^{\operatorname {op} }\times [0,\infty )$ . ^{[ 21 ]}

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Шазаль, Фредерик; Удо, Стив Ю. (2013). «Перемежающаяся фильтрация: теория и приложения в анализе данных облака точек». Нильсен, Франк; Барбареско, Фредерик (ред.). Геометрическая наука об информации . Том. 8085. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 587–592. дои : 10.1007/978-3-642-40020-9_65 . ISBN 978-3-642-40019-3 . S2CID 8701910 . Проверено 5 апреля 2023 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Дей, Тамал К.; Ши, Даю; Ван, Юсу (30 января 2019 г.). «SimBa: эффективный инструмент для аппроксимации устойчивости разрывной фильтрации посредством простого пакетного коллапса» . Журнал экспериментальной алгоритмики ACM . 24 : 1,5:1–1,5:16. дои : 10.1145/3284360 . ISSN 1084-6654 . S2CID 216028146 .
^ Удо, Стив Ю.; Шихи, Дональд Р. (17 июня 2013 г.). «Зигзагообразная зоология» . Материалы двадцать девятого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии . СоКГ '13. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Ассоциация вычислительной техники. стр. 387–396. дои : 10.1145/2462356.2462371 . ISBN 978-1-4503-2031-3 . S2CID 485245 .
^ Ли, Хекён; Чанг, Му К.; Кан, Хеджин; Ким, Бунг-Нюн; Ли, Дон Су (2011). «Дискриминационная стойкая гомология мозговых сетей» . Международный симпозиум IEEE 2011 по биомедицинской визуализации: от нано к макро . стр. 841–844. дои : 10.1109/ISBI.2011.5872535 . ISBN 978-1-4244-4127-3 . S2CID 12511452 .
^ Виеторис, Л. (1 декабря 1927 г.). «О высшей связи компактов и одного класса связных отображений» . Математические анналы (на немецком языке). 97 (1): 454–472. дои : 10.1007/BF01447877 . ISSN 1432-1807 . S2CID 121172198 .
^ Громов, М. (1987). «Гиперболические группы». В Герстен, С.М. (ред.). Очерки по теории групп . Публикации НИИ математических наук. Том. 8. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. стр. 75–263. дои : 10.1007/978-1-4613-9586-7_3 . ISBN 978-1-4613-9588-1 . Проверено 5 апреля 2023 г.
^ Райтбергер, Генрих (2002), «Леопольд Виеторис (1891–2002)» , Уведомления Американского математического общества, 49 (20).
^ Бауэр, Ульрих; Ролл, Фабиан (2022). «Гиперболичность Громова, геодезический дефект и кажущиеся пары в фильтрациях Вьеториса – Рипса». В Гоаоке, Ксавье; Кербер, Майкл (ред.). 38-й Международный симпозиум по вычислительной геометрии (SoCG 2022) . Международные труды Лейбница по информатике (LIPIcs). Том 224. Дагштуль, Германия: Замок Дагштуль – Центр информатики Лейбница. стр. 15:1–15:15. дои : 10.4230/LIPIcs.SoCG.2022.15 . ISBN 978-3-95977-227-3 . S2CID 245124031 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Лесник, Майкл (1 апреля 2023 г.). «Конспекты лекций по AMAT 840: многопараметрическая устойчивость» (PDF) . Университет Олбани, SUNY : 33.
^ Jump up to: ^а ^б Шихи, Дональд Р. (17 июня 2012 г.). «Приближения линейного размера к фильтрации Вьеторис-рипс» . Материалы двадцать восьмого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии . СоКГ '12. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Ассоциация вычислительной техники. стр. 239–248. arXiv : 1203.6786 . дои : 10.1145/2261250.2261286 . ISBN 978-1-4503-1299-8 . S2CID 2392303 .
^ Чемберс, Эрин В.; де Сильва, Вин; Эриксон, Джефф; Грист, Роберт (2010). «Комплексы Виеториса – Рипса плоских множеств точек» . Дискретная и вычислительная геометрия . 44 (1): 75–90. дои : 10.1007/s00454-009-9209-8 . ISSN 0179-5376 . S2CID 7900163 .
^ Эдельсбруннер, Герберт (2010). Вычислительная топология: введение . Дж. Харер. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4925-5 . OCLC 427757156 .
^ Хар-Пелед, Сариэль; Мендель, Поместье (2006). «Быстрое построение сетей малой размерности и их приложения» . SIAM Journal по вычислительной технике . 35 (5): 1148–1184. дои : 10.1137/S0097539704446281 . ISSN 0097-5397 . S2CID 37346335 .
^ Кербер, Майкл; Шараткумар, Р. (2013). «Приблизительный комплекс Чеха в низких и высоких измерениях». В Цай, Лэйчжэнь; Ченг, Сиу-Винг; Лам, Так-Ва (ред.). Алгоритмы и вычисления . Конспекты лекций по информатике. Том. 8283. Берлин, Гейдельберг: Springer. стр. 666–676. дои : 10.1007/978-3-642-45030-3_62 . ISBN 978-3-642-45030-3 . S2CID 5770506 .
^ Шихи, Дональд Р. (3 декабря 2020 г.). «Разреженная фильтрация Делоне». arXiv : 2012.01947 [ cs.CG ].
^ Чоудхари, Аруни; Кербер, Майкл; Рагвендра, Шарат (01 сентября 2021 г.). «Улучшенная приближенная фильтрация разрывов со сдвинутыми целочисленными решетками и кубическими комплексами» . Журнал прикладной и вычислительной топологии . 5 (3): 425–458. дои : 10.1007/s41468-021-00072-4 . ISSN 2367-1734 . ПМЦ 8549989 . ПМИД 34722862 .
^ Вишванатх, Сиддхартх; Шриперумбудур, Бхарат К.; Фукумидзу, Кендзи; Курики, Сатоши (3 июня 2022 г.). «Надежный топологический вывод при наличии выбросов». arXiv : 2206.01795 [ math.ST ].
^ Карлссон, Гуннар; Зомородян, Афра (2009). «Теория многомерного постоянства» . Дискретная и вычислительная геометрия . 42 (1): 71–93. дои : 10.1007/s00454-009-9176-0 . ISSN 0179-5376 .
^ Лесник, Майкл; Райт, Мэтью (01 декабря 2015 г.). «Интерактивная визуализация двумерных модулей персистентности». arXiv : 1512.00180 [ math.AT ].
^ Ботнан, Магнус Бакке; Лесник, Майкл (13 марта 2023 г.). «Введение в многопараметрическую устойчивость». arXiv : 2203.14289 [ math.AT ].
^ Д. Р. Шихи, «Многопокровный нерв для геометрического вывода», в CCCG: Канадская конференция по вычислительной геометрии , 2012.

[:2-1] Jump up to: ^а ^б Шазаль, Фредерик; Удо, Стив Ю. (2013). «Перемежающаяся фильтрация: теория и приложения в анализе данных облака точек». Нильсен, Франк; Барбареско, Фредерик (ред.). Геометрическая наука об информации . Том. 8085. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 587–592. дои : 10.1007/978-3-642-40020-9_65 . ISBN 978-3-642-40019-3 . S2CID 8701910 . Проверено 5 апреля 2023 г.

[:1-2] Jump up to: ^а ^б ^с Дей, Тамал К.; Ши, Даю; Ван, Юсу (30 января 2019 г.). «SimBa: эффективный инструмент для аппроксимации устойчивости разрывной фильтрации посредством простого пакетного коллапса» . Журнал экспериментальной алгоритмики ACM . 24 : 1,5:1–1,5:16. дои : 10.1145/3284360 . ISSN 1084-6654 . S2CID 216028146 .

[3] Удо, Стив Ю.; Шихи, Дональд Р. (17 июня 2013 г.). «Зигзагообразная зоология» . Материалы двадцать девятого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии . СоКГ '13. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Ассоциация вычислительной техники. стр. 387–396. дои : 10.1145/2462356.2462371 . ISBN 978-1-4503-2031-3 . S2CID 485245 .

[4] Ли, Хекён; Чанг, Му К.; Кан, Хеджин; Ким, Бунг-Нюн; Ли, Дон Су (2011). «Дискриминационная стойкая гомология мозговых сетей» . Международный симпозиум IEEE 2011 по биомедицинской визуализации: от нано к макро . стр. 841–844. дои : 10.1109/ISBI.2011.5872535 . ISBN 978-1-4244-4127-3 . S2CID 12511452 .

[5] Виеторис, Л. (1 декабря 1927 г.). «О высшей связи компактов и одного класса связных отображений» . Математические анналы (на немецком языке). 97 (1): 454–472. дои : 10.1007/BF01447877 . ISSN 1432-1807 . S2CID 121172198 .

[6] Громов, М. (1987). «Гиперболические группы». В Герстен, С.М. (ред.). Очерки по теории групп . Публикации НИИ математических наук. Том. 8. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. стр. 75–263. дои : 10.1007/978-1-4613-9586-7_3 . ISBN 978-1-4613-9588-1 . Проверено 5 апреля 2023 г.

[7] Райтбергер, Генрих (2002), «Леопольд Виеторис (1891–2002)» , Уведомления Американского математического общества, 49 (20).

[8] Бауэр, Ульрих; Ролл, Фабиан (2022). «Гиперболичность Громова, геодезический дефект и кажущиеся пары в фильтрациях Вьеториса – Рипса». В Гоаоке, Ксавье; Кербер, Майкл (ред.). 38-й Международный симпозиум по вычислительной геометрии (SoCG 2022) . Международные труды Лейбница по информатике (LIPIcs). Том 224. Дагштуль, Германия: Замок Дагштуль – Центр информатики Лейбница. стр. 15:1–15:15. дои : 10.4230/LIPIcs.SoCG.2022.15 . ISBN 978-3-95977-227-3 . S2CID 245124031 .

[:0-9] Jump up to: ^а ^б ^с Лесник, Майкл (1 апреля 2023 г.). «Конспекты лекций по AMAT 840: многопараметрическая устойчивость» (PDF) . Университет Олбани, SUNY : 33.

[:3-10] Jump up to: ^а ^б Шихи, Дональд Р. (17 июня 2012 г.). «Приближения линейного размера к фильтрации Вьеторис-рипс» . Материалы двадцать восьмого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии . СоКГ '12. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Ассоциация вычислительной техники. стр. 239–248. arXiv : 1203.6786 . дои : 10.1145/2261250.2261286 . ISBN 978-1-4503-1299-8 . S2CID 2392303 .

[11] Чемберс, Эрин В.; де Сильва, Вин; Эриксон, Джефф; Грист, Роберт (2010). «Комплексы Виеториса – Рипса плоских множеств точек» . Дискретная и вычислительная геометрия . 44 (1): 75–90. дои : 10.1007/s00454-009-9209-8 . ISSN 0179-5376 . S2CID 7900163 .

[12] Эдельсбруннер, Герберт (2010). Вычислительная топология: введение . Дж. Харер. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4925-5 . OCLC 427757156 .

[13] Хар-Пелед, Сариэль; Мендель, Поместье (2006). «Быстрое построение сетей малой размерности и их приложения» . SIAM Journal по вычислительной технике . 35 (5): 1148–1184. дои : 10.1137/S0097539704446281 . ISSN 0097-5397 . S2CID 37346335 .

[14] Кербер, Майкл; Шараткумар, Р. (2013). «Приблизительный комплекс Чеха в низких и высоких измерениях». В Цай, Лэйчжэнь; Ченг, Сиу-Винг; Лам, Так-Ва (ред.). Алгоритмы и вычисления . Конспекты лекций по информатике. Том. 8283. Берлин, Гейдельберг: Springer. стр. 666–676. дои : 10.1007/978-3-642-45030-3_62 . ISBN 978-3-642-45030-3 . S2CID 5770506 .

[15] Шихи, Дональд Р. (3 декабря 2020 г.). «Разреженная фильтрация Делоне». arXiv : 2012.01947 [ cs.CG ].

[16] Чоудхари, Аруни; Кербер, Майкл; Рагвендра, Шарат (01 сентября 2021 г.). «Улучшенная приближенная фильтрация разрывов со сдвинутыми целочисленными решетками и кубическими комплексами» . Журнал прикладной и вычислительной топологии . 5 (3): 425–458. дои : 10.1007/s41468-021-00072-4 . ISSN 2367-1734 . ПМЦ 8549989 . ПМИД 34722862 .

[17] Вишванатх, Сиддхартх; Шриперумбудур, Бхарат К.; Фукумидзу, Кендзи; Курики, Сатоши (3 июня 2022 г.). «Надежный топологический вывод при наличии выбросов». arXiv : 2206.01795 [ math.ST ].

[18] Карлссон, Гуннар; Зомородян, Афра (2009). «Теория многомерного постоянства» . Дискретная и вычислительная геометрия . 42 (1): 71–93. дои : 10.1007/s00454-009-9176-0 . ISSN 0179-5376 .

[19] Лесник, Майкл; Райт, Мэтью (01 декабря 2015 г.). «Интерактивная визуализация двумерных модулей персистентности». arXiv : 1512.00180 [ math.AT ].

[20] Ботнан, Магнус Бакке; Лесник, Майкл (13 марта 2023 г.). «Введение в многопараметрическую устойчивость». arXiv : 2203.14289 [ math.AT ].

[21] Д. Р. Шихи, «Многопокровный нерв для геометрического вывода», в CCCG: Канадская конференция по вычислительной геометрии , 2012.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]