Основная ценность Коши

Эта статья о методе присвоения значений несобственным интегралам. Чтобы узнать о значениях сложной функции, связанной с одной ветвью, см. Главное значение . с отрицательной степенью Информацию о части ряда Лорана см . в Главной части .

В математике главное значение Коши , названное в честь Огюстена-Луи Коши , представляет собой метод присвоения значений некоторым неправильным интегралам , которые в противном случае были бы неопределенными. В этом методе сингулярность на целом интервале можно избежать путем ограничения целого интервала неособой областью.

Формулировка

В зависимости от типа особенности подынтегрального выражения f главное значение Коши определяется по следующим правилам:

Для особенности при конечном числе b

$$\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\,\left[\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x~+~\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right]$$ с $a<b<c$ и где b — трудная точка, в которой поведение функции f таково, что $$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty \quad$$ для любого $a<b$ и $$\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty \quad$$ для любого $b<c.$ (См. плюс или минус для точного использования обозначений ± и ∓.)

Для особенности на бесконечности ( $\infty$)

$$\lim _{a\to \infty }\,\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x$$ где $$\int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty$$ и $$\int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty .$$

В некоторых случаях приходится одновременно иметь дело с особенностями как на конечном числе b, так и на бесконечности. Обычно это делается пределом вида $$\lim _{\;\eta \to 0^{+}}\,\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}}\,\left[\,\int _{b-{\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,~+~\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right].$$ В тех случаях, когда интеграл можно разбить на два независимых конечных предела, $$\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left|\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty$$ и $$\lim _{\;\eta \to 0^{+}}\;\left|\,\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty ,$$ то функция интегрируема в обычном смысле. Результат процедуры определения основного значения такой же, как и при использовании обычного интеграла; поскольку оно больше не соответствует определению, технически оно не является «основной ценностью». Главное значение Коши также можно определить через контурные интегралы комплексной функции. $f(z):z=x+i\,y\;,$ с $x,y\in \mathbb {R} \;,$ с шестом по контуру C . Определять $C(\varepsilon )$ часть внутри диска радиуса ε быть тем же контуром, из которого удалена вокруг полюса. Предусмотрена функция $f(z)$ интегрируемо по $C(\varepsilon )$ независимо от того, насколько малым становится ε , главное значение Коши является пределом: $$\operatorname {p.\!v.} \int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{C(\varepsilon )}f(z)\,\mathrm {d} z.$$ В случае функций, интегрируемых по Лебегу , т. е. функций, интегрируемых по абсолютной величине , эти определения совпадают со стандартным определением интеграла. Если функция $f(z)$ является мероморфным , теорема Сохоцкого-Племеля связывает главное значение интеграла по C со средним значением интегралов с контуром, слегка смещенным вверх и вниз, так что теорему о вычетах к этим интегралам можно применить . Интегралы главных значений играют центральную роль в обсуждении преобразований Гильберта .

Теория распределения

Позволять ${C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )$ — множество бамп-функций , т. е. пространство гладких функций с компактным носителем на вещественной прямой $\mathbb {R}$. Тогда карта $$\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C}$$ определяется через главное значение Коши как $$\left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ,\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )$$ это распределение . Саму карту иногда можно назвать главным значением (отсюда и обозначение pv ). Это распределение появляется, например, в преобразовании Фурье знаковой функции и ступенчатой ​​функции Хевисайда .

Четкая определенность как распределение

Чтобы доказать существование предела $$\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x$$ для функции Шварца $u(x)$, сначала заметим, что ${\frac {u(x)-u(-x)}{x}}$ постоянно включен $[0,\infty ),$ как $$\lim _{\,x\searrow 0\,}\;{\Bigl [}u(x)-u(-x){\Bigr ]}~=~0~$$ и, следовательно, $$\lim _{x\searrow 0}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}~=~\lim _{\,x\searrow 0\,}\,{\frac {u'(x)+u'(-x)}{1}}~=~2u'(0)~,$$ с $u'(x)$ непрерывен и применяется правило Лопиталя .

Поэтому, $\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x$ существует и применив теорему о среднем значении к $u(x)-u(-x),$ мы получаем:

$\left|\,\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;\int _{0}^{1}{\frac {{\bigl |}u(x)-u(-x){\bigr |}}{x}}\,\mathrm {d} x\;\leq \;\int _{0}^{1}\,{\frac {\,2x\,}{x}}\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}\,\mathrm {d} x\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}~.$

И еще:

$\left|\,\int _{1}^{\infty }{\frac {\;u(x)-u(-x)\;}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~\cdot \;\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\,x^{2}\,}}\;=\;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~,$

отметим, что карта $$\operatorname {p.v.} \;\left({\frac {1}{\,x\,}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C}$$ ограничен обычными полунормами для функций Шварца $u$. Следовательно, это отображение определяет, поскольку оно очевидно линейно, непрерывный функционал в пространстве Шварца и, следовательно, умеренное распределение .

Обратите внимание, что доказательство требует $u$ просто быть непрерывно дифференцируемым в окрестности 0 и $x\,u$ быть ограниченным до бесконечности. Таким образом, основная стоимость определяется на основе еще более слабых предположений, таких как $u$ интегрируемый с компактным носителем и дифференцируемый в 0.

Более общие определения

Главным значением является обратное распределение функции $x$ и является почти единственным дистрибутивом с этим свойством: $$xf=1\quad \Leftrightarrow \quad \exists K:\;\;f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)+K\delta ,$$ где $K$ является константой и $\delta$ распределение Дирака.

В более широком смысле главное значение можно определить для широкого класса сингулярных целых ядер в евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{n}$. Если $K$ имеет изолированную особенность в начале координат, но в остальном является «хорошей» функцией, то распределение главного значения определяется на гладких функциях с компактным носителем формулой $$[\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon }(0)}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.$$ Такой предел может быть неточно определен или, будучи четко определен, он не обязательно определяет распределение. Однако оно вполне определено, если $K$ — непрерывная однородная функция степени $-n$ интеграл которого по любой сфере с центром в начале координат равен нулю. Так обстоит дело, например, с преобразованиями Рисса .

Примеры

Рассмотрим значения двух пределов: $$\lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,$$

Это главное значение Коши неправильно определенного выражения. $$\int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.$$

Также: $$\lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=\ln 2.$$

Аналогично, мы имеем $$\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0,$$

Это основное значение неправильно определенного выражения. $$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.$$ но $$\lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=-\ln 4.$$

Обозначения

Разные авторы используют разные обозначения для главного значения Коши функции. $f$, среди прочего: $$PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,$$ $$\mathrm {p.v.} \int f(x)\,\mathrm {d} x,$$ $$\int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d} z,$$ $$-\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,$$ а также $P,$ P.V., ${\mathcal {P}},$ $P_{v},$ $(CPV),$ и вице-президент

См. также

• Интеграл конечной части Адамара
• Преобразование Гильберта
• Теорема Сохоцкого–Племеля.