Предвзятость Мальмквиста

— Смещение Мальмквиста это эффект в наблюдательной астрономии , который приводит к преимущественному обнаружению изначально ярких объектов. Впервые он был описан в 1922 году шведским астрономом Гуннаром Мальмквистом (1893–1982), который затем подробно развил эту работу в 1925 году. ^[1]^[2] В статистике эта предвзятость называется предвзятостью отбора или цензурой данных . Это влияет на результаты яркостью с ограниченной исследования , в которое нельзя включить звезды ниже определенной видимой яркости. Поскольку наблюдаемые звезды и галактики кажутся тусклее на большем расстоянии, измеряемая яркость будет падать с расстоянием до тех пор, пока их яркость не упадет ниже порога наблюдения. Объекты, которые являются более яркими или по своей природе более яркими, можно наблюдать на большем расстоянии, создавая ложную тенденцию увеличения внутренней яркости и других связанных с ней величин с расстоянием. Этот эффект привел ко многим ложным утверждениям в области астрономии. Надлежащая коррекция этих эффектов стала областью пристального внимания.

Понимание предвзятости

Величины и яркость

В повседневной жизни легко заметить, что свет тускнеет по мере удаления. Это можно увидеть по автомобильным фарам, свечам, фонарикам и многим другим освещенным предметам. Это затемнение подчиняется закону обратных квадратов , который гласит, что яркость объекта уменьшается по мере того, как 1 ⁄ $r$ ², где $r$ — расстояние между наблюдателем и объектом.

Звездный свет также подчиняется закону обратных квадратов. Лучи света покидают звезду в равных количествах во всех направлениях. Лучи света создают сферу света, окружающую звезду. С течением времени сфера увеличивается по мере того, как лучи света проходят через пространство от звезды. Пока сфера света растет, количество световых лучей остается прежним. Итак, количество света на единицу площади поверхности сферы (в астрономии называемое потоком ) уменьшается с расстоянием и, следовательно, со временем. При наблюдении звезды можно обнаружить только те световые лучи, которые находятся в данной просматриваемой области. Вот почему звезда кажется тем тусклее, чем дальше она находится.

Если есть две звезды с одинаковой собственной яркостью (в астрономии называемой светимостью ), каждая из которых находится на разном расстоянии, то более близкая звезда будет казаться ярче, а дальняя — тусклее. В астрономии видимая яркость звезды или любого другого светящегося объекта называется видимой величиной . Видимая звездная величина зависит от собственной яркости (также называемой абсолютной звездной величиной ) объекта и расстояния до него.

Если бы все звезды имели одинаковую светимость, расстояние от Земли до конкретной звезды можно было бы легко определить. Однако звезды имеют широкий диапазон светимости. Поэтому может быть трудно отличить очень яркую звезду, находящуюся очень далеко, от менее яркой звезды, находящейся ближе. Вот почему так сложно рассчитать расстояние до астрономических объектов.

Источник предвзятости Мальмквиста

В пространстве, заполненном звездами, звезды имеют определенный диапазон светимости и некоторую среднюю светимость, показанную пунктирной синей линией. Однако более далекие и менее яркие звезды увидеть не удастся. Эта самая низкая яркость, которую можно увидеть на данном расстоянии, изображена красной кривой. Любая звезда ниже этой кривой не будет видна. Средняя светимость только видимых звезд будет выше, как показано пунктирной красной линией.

Обычно, глядя на область неба, заполненную звездами, только звезды, яркость которых превышает предельную видимую величину можно увидеть . Как обсуждалось выше, будут видны очень яркие звезды, находящиеся дальше, а также светящиеся и слабые звезды, находящиеся ближе. На определенном расстоянии от Земли окажется больше светящихся объектов, чем слабых объектов. Однако есть еще много тусклых звезд: ^[3] их просто невозможно увидеть, потому что они такие тусклые. Предвзятость в сторону светящихся звезд при наблюдении участка неба влияет на расчеты средней абсолютной величины и среднего расстояния до группы звезд. Из-за светящихся звезд, находящихся на большем расстоянии, будет казаться, что наша выборка звезд находится дальше, чем есть на самом деле, и что каждая звезда по своей природе ярче, чем есть на самом деле. Этот эффект известен как смещение Мальмквиста. ^[1]

При изучении выборки светящихся объектов, будь то звезды или галактики , важно внести поправку на смещение в сторону более ярких объектов. Существует множество различных методов, которые можно использовать для исправления предвзятости Мальмквиста, как описано ниже.

Предвзятость Мальмквиста не ограничивается светимостью. Оно влияет на любую наблюдаемую величину, обнаруживаемость которой уменьшается с расстоянием. ^[4]

Методы коррекции

Идеальная ситуация – избежать этой предвзятости при включении данных в опрос . Однако с ограниченной величиной исследования являются самыми простыми в выполнении, а другие методы сложны в использовании из-за их собственных неопределенностей и могут быть невозможны для первых наблюдений объектов. Таким образом, существует множество различных методов, позволяющих попытаться исправить данные, устранить предвзятость и сделать опрос пригодным для использования. Методы представлены в порядке возрастания сложности, а также возрастания точности и эффективности.

Ограничение выборки

Самый простой метод коррекции — использовать только несмещенные части набора данных, если таковые имеются, и выбросить остальную часть данных. ^[5] В зависимости от выбранной предельной величины в наборе данных может существовать диапазон расстояний, на котором все объекты любой возможной абсолютной величины можно было увидеть . Таким образом, этот небольшой набор данных должен быть свободен от предвзятости Мальмквиста. Этого легко добиться, отсекая данные на границе, где объекты с наименьшей абсолютной величиной достигают предельной величины . К сожалению, этот метод приведет к потере большого количества качественных данных и ограничит анализ только близлежащими объектами, что сделает его менее желательным. (Глядя на рисунок справа, можно увидеть, что только первая пятая часть данных о расстоянии может быть сохранена до того, как точка данных будет потеряна из-за систематической ошибки.) Конечно, этот метод предполагает, что расстояния известны с относительно хорошей точностью, что, как уже упоминалось, раньше – это трудный процесс в астрономии.

Традиционная коррекция

Первое решение, предложенное Мальмквистом в его работе 1922 года, заключалось в корректировке рассчитанной средней абсолютной величины ( ${\overline {M}}$ ) образца обратно к истинной средней абсолютной величине ( M ₀ ). ^[1] Исправление будет

{\overline {\Delta M}}={\overline {M}}-M_{0}

Чтобы рассчитать поправку на предвзятость , Малмквист и другие, следующие этому методу, исходят из шести основных предположений: ^[6]

не существует Межзвездного поглощения , или вещества в пространстве между звездами (например, газ и пыль) не влияют на свет и поглощают его части. Это предполагает, что яркость просто подчиняется закону обратных квадратов , упомянутому выше.
Функция светимости (Φ) не зависит от расстояния ( r ). По сути, это просто означает, что Вселенная везде одинакова и что звезды будут распределены где-то так же, как и здесь.
Для данной области неба, а точнее небесной сферы , пространственная плотность звезд ( ρ ) зависит только от расстояния. Это предполагает, что в каждом направлении в среднем одинаковое количество звезд.
Полнота означает, что выборка полная и ничего не упущено, до предела видимой величины ( m _lim ).
Функцию светимости можно аппроксимировать как функцию Гаусса , центрированную по внутренней средней абсолютной звездной величине M ₀ .
Звезды относятся к одному и тому же спектральному классу , с собственной средней абсолютной величиной M ₀ и дисперсией σ .

Очевидно, что это очень идеальная ситуация, причем окончательное предположение вызывает особую тревогу, но допускает приблизительную корректировку простой формы. Интегрируя функцию светимости по всем расстояниям и всем звездным величинам ярче, чем m _lim ,

{\overline {\Delta M}}=-\sigma ^{2}{\frac {\operatorname {d} \ln A(m_{\lim })}{\operatorname {d} m_{\lim }}}

^[1]^[6]

где A(m _lim ) — общее число звезд ярче m _lim . Если пространственное распределение звезд можно считать однородным, то это соотношение еще больше упрощается до общепринятого вида

{\overline {\Delta M}}=-1.382\sigma ^{2}

^[1]^[6]

Поправки многоканальных наблюдений

Традиционный метод предполагает, что измерения видимой величины и измерения, на основе которых определяется расстояние, происходят в одном и том же диапазоне или заранее определенном диапазоне длин волн (например, в диапазоне H , диапазоне инфракрасных длин волн примерно от 1300 до 2000 нанометров ). и это приводит к поправочному виду cσ ², где c — некоторая константа. К сожалению, это случается редко, так как множество образцов объектов выбираются из одного диапазона длин волн, а расстояние рассчитывается из другого. Например, астрономы часто выбирают галактики из каталогов B-диапазона, которые являются наиболее полными, и используют эти величины в B-диапазоне, но расстояния до галактик рассчитываются с использованием соотношения Талли-Фишера и H-диапазона. Когда это происходит, дисперсия заменяется ковариацией между разбросом в измерениях расстояний и свойством выбора галактики (например, звездной величиной). ^[7]

Объемное взвешивание

Другой довольно простой метод коррекции — использовать взвешенное среднее для правильного учета относительных вкладов каждой величины. Поскольку объекты с разными абсолютными звездными величинами можно увидеть на разных расстояниях, вклад каждой точки в среднюю абсолютную звездную величину или в функцию светимости может быть взвешен по 1/V _max , где V _max — максимальный объем, в котором объекты могут иметь видели. Более яркие объекты (то есть объекты с меньшими абсолютными величинами ) будут иметь больший объем, в котором их можно было бы обнаружить, прежде чем они упадут ниже порогового значения, и, таким образом, с помощью этого метода им будет присвоен меньший вес, поскольку эти яркие объекты будут выбраны более полно. . ^[8] Максимальный объем можно аппроксимировать как сферу с радиусом, найденным по модулю расстояния объекта , используя абсолютную величину и предельную видимую величину .

есть две основные сложности _{Однако при вычислении V max} . Во-первых, это полнота площади, покрытой небом, то есть процент неба, с которого были взяты объекты. ^[8] всего неба Обзор позволил бы собрать объекты со всей сферы неба (4π стерадианов ), но это обычно непрактично, как из-за нехватки времени, так и из-за географических ограничений (наземные телескопы могут видеть только ограниченный участок неба из-за того, что Земля находится в способ). Вместо этого астрономы обычно смотрят на небольшой участок или участок неба, а затем делают выводы об универсальных распределениях, предполагая, что пространство либо изотропно , что оно обычно одинаково во всех направлениях, либо следует известному распределению, например, которое можно увидеть. больше звезд, если смотреть в сторону центра галактики, чем если смотреть прямо в сторону. Как правило, объем можно просто уменьшить на фактически просматриваемый процент, что дает правильное соотношение количества объектов к объему. Этот эффект потенциально можно игнорировать в одной выборке из одного и того же опроса , поскольку все объекты в основном будут изменены под действием одного и того же числового фактора, но это невероятно важно учитывать, чтобы иметь возможность сравнивать различные опросы с различное покрытие неба.

Вторая сложность — это космологические проблемы красного смещения и расширяющейся Вселенной , которые необходимо учитывать при рассмотрении далеких объектов. В этих случаях интересующей величиной является сопутствующее расстояние , которое представляет собой постоянное расстояние между двумя объектами, предполагая, что они удаляются друг от друга исключительно за счет расширения Вселенной, известного как поток Хаббла . По сути, это сопутствующее расстояние представляет собой разделение объекта, если пренебречь расширением Вселенной, и его можно легко связать с фактическим расстоянием, учитывая, как бы он расширился. Сопутствующее расстояние можно использовать для расчета соответствующего сопутствующего объема, как обычно, или также можно легко установить соотношение между фактическим и сопутствующим объемами. объекта Если z — красное смещение , относящееся к тому, насколько далеко излучаемый свет смещается в сторону более длинных волн в результате удаления объекта от нас в результате вселенского расширения, D _A и V _A — это фактическое расстояние и объем (или то, что можно было бы измерить сегодня) и Д _C и V _C — сопутствующее расстояние и интересующие объемы, тогда

D_{C}=D_{A}(1+z)

V_{C}=V_{A}(1+z)^{3}

^[9]

Большим недостатком метода объемного взвешивания является его чувствительность к крупномасштабным структурам или частям Вселенной с большим или меньшим количеством объектов, чем в среднем, таких как звездное скопление или пустота . ^[10] Наличие областей с очень высокой или низкой плотностью объектов приведет к предполагаемому изменению нашей средней абсолютной величины и функции светимости в соответствии со структурой. Это особая проблема со слабыми объектами при расчете функции светимости, поскольку их меньший максимальный объем означает, что крупномасштабная структура в них будет иметь большое влияние. Более яркие объекты с большими максимальными объемами будут иметь тенденцию усредняться и приближаться к правильному значению, несмотря на наличие некоторых крупномасштабных структур.

Расширенные методы

Существует множество других методов, которые становятся все более сложными и мощными в применении. Здесь кратко изложены некоторые из наиболее распространенных из них, а более конкретную информацию можно найти в ссылках.

Пошаговый метод максимального правдоподобия

Этот метод основан на функциях распределения объектов (таких как звезды или галактики), которые представляют собой соотношение ожидаемого количества объектов с определенной внутренней яркостью , расстояниями или другими фундаментальными значениями. Каждое из этих значений имеет свою собственную функцию распределения , которую можно объединить с генератором случайных чисел для создания теоретической выборки звезд. Этот метод принимает функцию распределения расстояний как известную, определенную величину, а затем позволяет функцию распределения абсолютных величин изменять . Таким образом, он может сверить различные функции распределения абсолютных величин с фактическим распределением обнаруженных объектов и найти соотношение, обеспечивающее максимальную вероятность воссоздания одного и того же набора объектов. Начиная с обнаруженного смещенного распределения объектов и соответствующих пределов обнаружения, этот метод воссоздает истинную функцию распределения . Однако этот метод требует тяжелых расчетов и обычно основан на компьютерных программах. ^[10]^[11]

Оценщики Шехтера

Пол Шехтер обнаружил очень интересную связь между логарифмом спектральной линии ширины линии и ее видимой величиной , работая с галактиками . ^[12] В идеальном стационарном случае спектральные линии должны представлять собой невероятно узкие выступы, похожие на линии, но движения объекта, такие как вращение или движение на луче нашего зрения, вызовут сдвиги и расширение этих линий. Зависимость находится, начиная с соотношения Талли-Фишера , в котором расстояние до галактики связано с ее видимой величиной и шириной ее скорости, или «максимальной» скоростью ее кривой вращения . Судя по макроскопическому доплеровскому уширению , логарифм ширины наблюдаемой спектральной линии может быть связан с шириной распределения скорости. Если предположить, что расстояния известны очень хорошо, то абсолютная величина и ширина линии тесно связаны. ^[12] Например, при работе с широко используемой линией 21 см , важной линией, относящейся к нейтральному водороду, зависимость обычно калибруется с помощью линейной регрессии и принимает форму

{\overline {M}}=\alpha P+\beta

где P — log (ширина линии), а α и β — константы.

Причина, по которой эта оценка полезна, заключается в том, что на линию обратной регрессии фактически не влияет смещение Малмквиста, поскольку эффекты отбора основаны только на величине. Таким образом, ожидаемое значение P при заданном M будет несмещенным и даст несмещенную оценку логарифмического расстояния. Этот оценщик имеет множество свойств и разветвлений, которые могут сделать его очень полезным инструментом. ^[13]

Сложные математические отношения

В литературе можно найти усовершенствованные версии упомянутой выше традиционной коррекции, ограничивающие или изменяющие первоначальные предположения в соответствии с потребностями соответствующего автора. Часто эти другие методы предоставляют очень сложные математические выражения с очень мощными, но конкретными приложениями. Например, работа Лури и др. нашел соотношение для смещения звезд в галактике , которое связывает поправку с дисперсией выборки и видимой звездной величины , абсолютной звездной величины и высоты над галактическим диском . Это дало гораздо более точный и точный результат, но также потребовало предположения о пространственном распределении звезд в искомой галактике . ^[14] Хотя они полезны по отдельности и опубликовано множество примеров, они имеют очень ограниченную сферу применения и, как правило, не так широко применимы, как другие методы, упомянутые выше.

Приложения

Пунктирная красная линия представляет собой пример функции светимости, когда смещение Мальмквиста не исправлено. Более многочисленные объекты низкой светимости недостаточно представлены из-за ограничения видимой звездной величины обзора. Сплошная синяя линия — это правильно скорректированная функция яркости с использованием метода объемно-взвешенной коррекции.

Каждый раз, когда используется выборка с ограниченной величиной, следует использовать один из описанных выше методов для коррекции систематической ошибки Мальмквиста. Например, при попытке получить функцию светимости , откалибровать соотношение Талли-Фишера или получить значение постоянной Хаббла , смещение Мальмквиста может сильно изменить результаты.

Функция светимости дает количество звезд или галактик на интервал светимости или абсолютной величины. При использовании выборки, ограниченной по звездной величине, количество слабых объектов недостаточно представлено, как обсуждалось выше. Это смещает пик функции светимости от слабого конца к более яркому концу и изменяет форму функции светимости. Обычно метод объемного взвешивания используется для исправления систематической ошибки Мальмквиста, чтобы съемка была эквивалентна съемке с ограничением по расстоянию, а не съемке с ограничением по величине. ^[15] На рисунке справа показаны две функции светимости для примера популяции звезд, ограниченной по звездной величине. Пунктирная функция светимости показывает эффект смещения Мальмквиста, а сплошная линия показывает скорректированную функцию светимости. Смещение Мальмквиста радикально меняет форму функции светимости.

Еще одним приложением, на которое влияет предвзятость Мальмквиста, является соотношение Талли-Фишера , которое связывает светимость спиральных галактик с шириной их соответствующей скорости. Если ближайшее скопление галактик используется для калибровки соотношения Талли-Фишера, а затем это соотношение применяется к далекому скоплению, расстояние до более дальнего скопления будет систематически занижаться. ^[13] Если недооценить расстояние до кластеров, все, что будет найдено с использованием этих кластеров, будет неверным; например, при нахождении значения постоянной Хаббла.

Это всего лишь несколько примеров, когда предвзятость Мальмквиста может сильно повлиять на результаты. Как упоминалось выше, каждый раз, когда используется выборка с ограниченной величиной, необходимо внести поправку на смещение Мальмквиста. Исправление не ограничивается только приведенными выше примерами.

Альтернативы

Некоторые альтернативы действительно существуют, чтобы попытаться избежать предвзятости Мальмквиста или подойти к ней по-другому, некоторые из наиболее распространенных из них кратко изложены ниже.

Выборка с ограничением расстояния

Один из идеальных способов избежать предвзятости Мальмквиста — выбирать объекты только на заданном расстоянии и не иметь ограничений по величине , а вместо этого наблюдать за всеми объектами в этом объеме. ^[5] Очевидно, что в этом случае смещение Мальмквиста не является проблемой, поскольку объем будет полностью заполнен, и любая функция распределения или светимости будет выбрана соответствующим образом. К сожалению, этот метод не всегда практичен. Нахождение расстояний до астрономических объектов очень сложно, и даже с помощью объектов с легко определяемыми расстояниями, называемых стандартными свечами , и тому подобных вещей, существуют большие неопределенности. Кроме того, расстояния для объектов обычно не известны до тех пор, пока они уже не наблюдались и не анализировались, поэтому съемка с ограниченным расстоянием обычно является лишь вариантом второго раунда наблюдений и изначально недоступна. ^{[ нужна ссылка ]} Наконец, исследования с ограниченным расстоянием обычно возможны только на небольших объемах, где расстояния достоверно известны, и, следовательно, это непрактично для больших исследований .

Однородная и неоднородная поправка Мальмквиста

Этот метод снова пытается исправить смещение , но совсем другими способами. Вместо того, чтобы пытаться зафиксировать абсолютные величины , этот метод принимает расстояния до объектов как случайные величины и пытается изменить их масштаб. ^[13] По сути, вместо того, чтобы дать звездам в выборке правильное распределение абсолютных звездных величин (и средней абсолютной звездной величины ), он пытается «переместить» звезды так, чтобы у них было правильное распределение расстояний. В идеале это должно иметь тот же конечный результат, что и методы коррекции величины, и должно привести к правильно представленной выборке. Как в однородном, так и в неоднородном случае смещение определяется с точки зрения априорного распределения расстояний, средства оценки расстояния и функции правдоподобия этих двух значений, являющихся одним и тем же распределением. Однородный случай намного проще и масштабирует необработанные оценки расстояния в постоянный коэффициент. К сожалению, это будет очень нечувствительно к крупномасштабным структурам, таким как кластеризация, а также к эффектам наблюдательной селекции, и не даст очень точного результата. Неоднородный случай пытается исправить это, создавая более сложное априорное распределение объектов с учетом структур, наблюдаемых в наблюдаемом распределении. Однако в обоих случаях предполагается, что Функция плотности вероятности является гауссовой с постоянной дисперсией и средним значением истинного среднего логарифмического расстояния, что далеко не точно. Однако этот метод обсуждается и может быть неточным в любой реализации из-за неопределенности в расчете исходных наблюдаемых оценок расстояния, из-за чего предположения об использовании этого метода становятся недействительными. ^[13]

Исторические альтернативы

Термин «предвзятость Мальмквиста» не всегда однозначно использовался для обозначения предвзятости, изложенной выше. Совсем недавно, в 2000 году, в литературе появилась систематическая ошибка Мальмквиста, явно относящаяся к различным типам систематической ошибки и статистическому эффекту. ^[16] Наиболее распространенным из этих других применений является ссылка на эффект, который имеет место в выборке с ограниченной величиной , но в этом случае объекты с низкой абсолютной величиной перепредставлены. В выборке с пределом магнитуды рядом с этой границей будет погрешность: объекты, которые должны быть достаточно яркими, чтобы их можно было вырезать, исключаются, а вместо этого включаются объекты, яркость которых немного ниже предела. Поскольку объекты с низкой абсолютной величиной встречаются чаще, чем более яркие, и поскольку эти более тусклые галактики с большей вероятностью окажутся ниже линии обрезки и рассеются вверх, в то время как более яркие с большей вероятностью окажутся выше линии и рассеются вниз, чрезмерное представление результате объектов с более низкой светимостью . Однако в современной литературе и консенсусе предвзятость Мальмквиста относится к эффекту, описанному выше.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Мальмквист, Гуннар (1922). «О некоторых отношениях в звездной статистике». Архивы по математике, астрономии и физике . 16 (23): 1–52. Бибкод : 1922MeLuF.100....1M .
^ Мальмквист, Гуннар (1925). «Вклад в проблему определения распределения звезд в пространстве». Архивы математики, астрономии и физики . 19А (6): 1–12. Бибкод : 1925MeLuF.106....1M .
^ Солпитер, Эдвин (1955). «Функция светимости и звездная эволюция». Астрофизический журнал . 121 : 161. Бибкод : 1955ApJ...121..161S . дои : 10.1086/145971 .
^ Уолл, СП; Дженкинс, ЧР (2012). Практическая статистика для астрономов . Кембриджские справочники по наблюдениям для астрономов-исследователей (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета . п. 189. ИСБН 978-0-521-73249-9 .
^ Jump up to: ^а ^б Сэндидж, Аллан (ноябрь 2000 г.). «Смещение Мальмквиста и пределы полноты». В Мурдине, П. (ред.). Энциклопедия астрономии и астрофизики . Бристоль: Издательство Института физики . Артикул 1940. Бибкод : 2000eaa..bookE1940S . дои : 10.1888/0333750888/1940 . ISBN 0-333-75088-8 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Буткевич, А.Г.; Бердюгин А.В.; Террикорпи, П. (сентябрь 2005 г.). «Статистические предвзятости в звездной астрономии: новый взгляд на предвзятость Мальмквиста». МНРАС . 362 (1): 321–330. Бибкод : 2005MNRAS.362..321B . дои : 10.1111/j.1365-2966.2005.09306.x .
^ Гулд, Эндрю (август 1993 г.). «Отбор, ковариация и смещение Мальмквиста». Астрофизический журнал . 412 : 55–58. Бибкод : 1993ApJ...412L..55G . дои : 10.1086/186939 .
^ Jump up to: ^а ^б Блэнтон, Майкл; Шлегель, диджей; Штраус, Массачусетс; Бринкманн, Дж.; Финкбайнер, Д.; Фукугита, М.; Ганн, Дж. Э.; Хогг, Д.В.; и др. (июнь 2005 г.). «Каталог галактик с добавленной стоимостью Нью-Йоркского университета: каталог галактик, основанный на новых общественных опросах». Астрономический журнал . 129 (6): 2562–2578. arXiv : astro-ph/0410166 . Бибкод : 2005AJ....129.2562B . дои : 10.1086/429803 . S2CID 120801166 .
^ Хогг, Дэвид В. (декабрь 2000 г.). «Дистанционные меры в космологии». arXiv : astro-ph/9905116 .
^ Jump up to: ^а ^б Блэнтон, Майкл Р.; Луптон, Р.Х.; Шлегель, диджей; Штраус, Массачусетс; Бринкманн, Дж.; Фукугита, М.; Лавдей, Дж. (сентябрь 2005 г.). «Свойства и функция светимости галактик чрезвычайно низкой светимости». Астрофизический журнал . 631 (1): 208–230. arXiv : astro-ph/0410164 . Бибкод : 2005ApJ...631..208B . дои : 10.1086/431416 . S2CID 119082539 .
^ Эфстатиу, Джордж; Френк, CS; Уайт, СДМ; Дэвис, М. (декабрь 1988 г.). «Гравитационная кластеризация из безмасштабных начальных условий». МНРАС . 235 (3): 715–748. Бибкод : 1988MNRAS.235..715E . дои : 10.1093/mnras/235.3.715 .
^ Jump up to: ^а ^б Шехтер, Польша (июль 1980 г.). «Отношение массы к светимости эллиптических галактик». Астрономический журнал . 85 : 801–811. Бибкод : 1980AJ.....85..801S . дои : 10.1086/112742 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Хендри, Массачусетс; Симмонс, JFL; Ньюсам, AM (октябрь 1993 г.). «Что мы подразумеваем под« предвзятостью Мальмквиста »?». Космические поля скоростей . 9:23 . arXiv : astro-ph/9310028 . Бибкод : 1993cvf..conf...23H .
^ Лури, X.; Меннессье, Миссури; Торра, Дж.; Фигерас, Ф. (январь 1993 г.). «Новый подход к предвзятости Мальмквиста». Астрономия и астрофизика . 267 (1): 305–307. Бибкод : 1993A&A...267..305L .
^ Бинни, Джеймс; Меррифилд, Майкл (1998). Галактическая астрономия . Издательство Принстонского университета . стр. 111–115.
^ Мёрдин, Пол (2000). «Мальмквист, Гуннар (1893–1982)». Энциклопедия астрономии и астрофизики . Бибкод : 2000eaa..bookE3837. . дои : 10.1888/0333750888/3837 . ISBN 0-333-75088-8 .

Дальнейшее чтение

Джеймс Бинни и Майкл Меррифилд (1998). Галактическая астрономия . Издательство Принстонского университета. стр. 111–115. ISBN 0691025657 .

[Malm_1-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Мальмквист, Гуннар (1922). «О некоторых отношениях в звездной статистике». Архивы по математике, астрономии и физике . 16 (23): 1–52. Бибкод : 1922MeLuF.100....1M .

[Malm_2-2] Мальмквист, Гуннар (1925). «Вклад в проблему определения распределения звезд в пространстве». Архивы математики, астрономии и физики . 19А (6): 1–12. Бибкод : 1925MeLuF.106....1M .

[imf-3] Солпитер, Эдвин (1955). «Функция светимости и звездная эволюция». Астрофизический журнал . 121 : 161. Бибкод : 1955ApJ...121..161S . дои : 10.1086/145971 .

[W&J-4] Уолл, СП; Дженкинс, ЧР (2012). Практическая статистика для астрономов . Кембриджские справочники по наблюдениям для астрономов-исследователей (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета . п. 189. ИСБН 978-0-521-73249-9 .

[Sandage2000-5] Jump up to: ^а ^б Сэндидж, Аллан (ноябрь 2000 г.). «Смещение Мальмквиста и пределы полноты». В Мурдине, П. (ред.). Энциклопедия астрономии и астрофизики . Бристоль: Издательство Института физики . Артикул 1940. Бибкод : 2000eaa..bookE1940S . дои : 10.1888/0333750888/1940 . ISBN 0-333-75088-8 .

[Butkevich2005-6] Jump up to: ^а ^б ^с Буткевич, А.Г.; Бердюгин А.В.; Террикорпи, П. (сентябрь 2005 г.). «Статистические предвзятости в звездной астрономии: новый взгляд на предвзятость Мальмквиста». МНРАС . 362 (1): 321–330. Бибкод : 2005MNRAS.362..321B . дои : 10.1111/j.1365-2966.2005.09306.x .

[Gould1993-7] Гулд, Эндрю (август 1993 г.). «Отбор, ковариация и смещение Мальмквиста». Астрофизический журнал . 412 : 55–58. Бибкод : 1993ApJ...412L..55G . дои : 10.1086/186939 .

[Blanton2005a-8] Jump up to: ^а ^б Блэнтон, Майкл; Шлегель, диджей; Штраус, Массачусетс; Бринкманн, Дж.; Финкбайнер, Д.; Фукугита, М.; Ганн, Дж. Э.; Хогг, Д.В.; и др. (июнь 2005 г.). «Каталог галактик с добавленной стоимостью Нью-Йоркского университета: каталог галактик, основанный на новых общественных опросах». Астрономический журнал . 129 (6): 2562–2578. arXiv : astro-ph/0410166 . Бибкод : 2005AJ....129.2562B . дои : 10.1086/429803 . S2CID 120801166 .

[Hogg2000-9] Хогг, Дэвид В. (декабрь 2000 г.). «Дистанционные меры в космологии». arXiv : astro-ph/9905116 .

[Blanton2005b-10] Jump up to: ^а ^б Блэнтон, Майкл Р.; Луптон, Р.Х.; Шлегель, диджей; Штраус, Массачусетс; Бринкманн, Дж.; Фукугита, М.; Лавдей, Дж. (сентябрь 2005 г.). «Свойства и функция светимости галактик чрезвычайно низкой светимости». Астрофизический журнал . 631 (1): 208–230. arXiv : astro-ph/0410164 . Бибкод : 2005ApJ...631..208B . дои : 10.1086/431416 . S2CID 119082539 .

[Efstathiou1988-11] Эфстатиу, Джордж; Френк, CS; Уайт, СДМ; Дэвис, М. (декабрь 1988 г.). «Гравитационная кластеризация из безмасштабных начальных условий». МНРАС . 235 (3): 715–748. Бибкод : 1988MNRAS.235..715E . дои : 10.1093/mnras/235.3.715 .

[Schecther1980-12] Jump up to: ^а ^б Шехтер, Польша (июль 1980 г.). «Отношение массы к светимости эллиптических галактик». Астрономический журнал . 85 : 801–811. Бибкод : 1980AJ.....85..801S . дои : 10.1086/112742 .

[Hendry1993-13] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Хендри, Массачусетс; Симмонс, JFL; Ньюсам, AM (октябрь 1993 г.). «Что мы подразумеваем под« предвзятостью Мальмквиста »?». Космические поля скоростей . 9:23 . arXiv : astro-ph/9310028 . Бибкод : 1993cvf..conf...23H .

[Luri1993-14] Лури, X.; Меннессье, Миссури; Торра, Дж.; Фигерас, Ф. (январь 1993 г.). «Новый подход к предвзятости Мальмквиста». Астрономия и астрофизика . 267 (1): 305–307. Бибкод : 1993A&A...267..305L .

[Binney-15] Бинни, Джеймс; Меррифилд, Майкл (1998). Галактическая астрономия . Издательство Принстонского университета . стр. 111–115.

[Murdin2000-16] Мёрдин, Пол (2000). «Мальмквист, Гуннар (1893–1982)». Энциклопедия астрономии и астрофизики . Бибкод : 2000eaa..bookE3837. . дои : 10.1888/0333750888/3837 . ISBN 0-333-75088-8 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]