усечение гамильтониана

Усечение гамильтониана - это численный метод, используемый для изучения квантовых теорий поля (КТП) в $d\geq 2$ измерения пространства-времени. Усечение гамильтониана представляет собой адаптацию метода Рэлея-Ритца из квантовой механики. Он тесно связан с точным методом диагонализации , используемым для рассмотрения спиновых систем в физике конденсированного состояния. Этот метод обычно используется для изучения КТП в пространстве-времени вида $\mathbb {R} \times M$, в частности, для вычисления спектра гамильтониана вдоль $\mathbb {R}$. Ключевой особенностью усечения гамильтониана является то, что явное ультрафиолетовое обрезание $\Lambda$ вводится аналогично шагу решетки a в Монте-Карло решеточных методах . Поскольку усечение гамильтониана является непертурбативным методом, его можно использовать для изучения явлений сильной связи, таких как спонтанное нарушение симметрии .

Принципы

Отключение энергии

Локальные квантовые теории поля могут быть определены на любом многообразии . Часто интересующее пространство-время включает в себя копию $\mathbb {R}$, нравиться $\mathbb {R} ^{d}$ (ровное пространство), $\mathbb {R} \times S^{d-1}$ (бесконечный полый цилиндр ), $\mathbb {R} \times \mathbf {T} ^{d-1}$ принимается пространство (в качестве тора ) или даже пространство Антиде Ситтера в глобальных координатах. На таком многообразии мы можем потратить время на то, чтобы пробежаться по нему. $\mathbb {R}$, так что энергия сохраняется. Решение такой КТП сводится к нахождению спектра и собственных состояний гамильтониана H , что трудно или невозможно сделать аналитически. Усечение гамильтониана обеспечивает стратегию вычисления спектра H с произвольной точностью. Идея состоит в том, что многие гамильтонианы КТП можно записать как сумму «свободных» частей. $H_{0}$ и «взаимодействующая» часть, описывающая взаимодействия (например, $\phi ^{4}$ термин или связь Юкавы ), схематически

$H=H_{0}+gV$

где V можно записать как интеграл от локального оператора ${\mathcal {V}}$ над М. ​Может быть несколько условий взаимодействия $g_{1}V_{1}+g_{2}V_{2}+\ldots$, но этот случай непосредственно обобщается из случая с одним взаимодействием $gV$. Усечение гамильтониана сводится к следующему рецепту:

1. Исправить отсечку УФ-излучения $\Lambda$и найдите все собственные состояния $|i\rangle$ из $H_{0}$ с энергией $e_{i}\leq \Lambda$. Нормализуйте эти собственные состояния так, чтобы $\langle i|j\rangle =\delta _{ij}$. Позволять $N(\Lambda )$ — число низкоэнергетических состояний.
2. Вычислите гамильтониан, явно ограниченный этими низкоэнергетическими состояниями. Результатом будет матрица размера $N(\Lambda )\times N(\Lambda )$, явно $H(\Lambda )_{ij}=e_{i}\delta _{ij}+gV_{ij}$ с $V_{ij}=\langle i|V|j\rangle .$
3. Вычислите энергии и собственные состояния конечной матрицы $H(\Lambda )$, подчиняясь $H(\Lambda )|\psi _{\alpha }\rangle =E_{\alpha }(\Lambda )|\psi _{\alpha }\rangle$.

В УФ-конечной квантовой теории поля результирующие энергии $E_{\alpha }(\Lambda )$ иметь конечный предел в качестве отсечки $\Lambda$ стремится к бесконечности, поэтому, по крайней мере в принципе, можно восстановить точный спектр гамильтониана. На практике отсечка $\Lambda$ всегда конечна, и процедура выполняется на компьютере.

Диапазон действия

Для заданного отсечения $\Lambda$, усечение гамильтониана имеет конечный диапазон действия, а это означает, что ошибки обрезки становятся важными, когда связь g слишком велика. Чтобы быть точным, давайте возьмем R за приблизительный размер многообразия M , то есть

${\text{vol}}(M)\sim R^{d-1}$

до некоторого коэффициента числа c. Если деформация V является интегралом локального оператора размерности $\Delta$, то муфта g будет иметь массовый размер $[g]=d-\Delta$, поэтому переопределенная связь

${\bar {g}}\equiv gR^{d-\Delta }$

является безразмерным. В зависимости от порядка величины ${\bar {g}}$, мы можем выделить три различных режима:

• ${\bar {g}}\ll 1$: теория возмущений справедлива. В общем случае теория возмущений либо асимптотична, либо сходится к некоторому значению. $|{\bar {g}}|\leq {\bar {g}}_{\text{max}}=O(1)$. Для бесконечно малых значений ${\bar {g}}$квантовыми эффектами можно пренебречь.
• ${\bar {g}}=O({\text{few}})$: теория возмущений уже не надежна, но усеченные энергии $E_{\alpha }(\Lambda )$ обеспечить хорошее приближение к их континуальным значениям для разумных значений порога $\Lambda$.
• ${\bar {g}}\gg 1$: для очень больших значений ${\bar {g}}$ (или, что то же самое, когда объем M становится очень большим), усечение гамильтониана дает хорошие результаты только тогда, когда обрезание $\Lambda$ считается астрономически большим. На практике этот режим недоступен. Это аватар катастрофы ортогональности .

Ошибки усечения и ультрафиолетовые расходимости

Есть две внутренние, но связанные проблемы с усечением гамильтониана:

1. В некоторых случаях $E_{\alpha }(\Lambda )$ не имеют конечного предела, так как $\Lambda \to \infty$.
2. Даже если предел континуума $\lim _{\Lambda \to \infty }E_{\alpha }(\Lambda )$ существует, у нас есть доступ только к данным обрезания $E_{\alpha }(\Lambda )$ для диапазона конечных значений обрезания.

Первый случай обусловлен ультрафиолетовыми расходимостями рассматриваемой квантовой теории поля. В этом случае контрчлены, необходимо добавить к гамильтониану H зависящие от обрезания , чтобы получить физически значимый результат. Чтобы понять вторую проблему, можно выполнить пертурбативные вычисления, чтобы аналитически понять предел непрерывной среды.

Поясним это на примере. Мы имеем в виду возмущение вида gV с

$V=\int _{M}d{\mathbf {x} }\;{\mathcal {V}}(t=0,{\mathbf {x} })$

где ${\mathcal {V}}(t,\mathbf {x} )$ является местным оператором. обусловленные V. Предположим, что мы хотим вычислить первые поправки к энергии вакуума , В теории возмущений Рэлея–Шредингера мы знаем, что

$E_{\Omega }(\Lambda )=0+g\langle \Omega |V|\Omega \rangle +g^{2}E_{\Omega }^{(2)}(\Lambda )+O(g^{3})$

где

$E_{\Omega }^{(2)}(\Lambda )=-\int _{0}^{\Lambda }{\frac {dE}{E}}\;\rho _{\Omega }(E),\quad \rho _{\Omega }(E)=\sum _{i}\delta (E-e_{i})|\langle i|V|\Omega \rangle |^{2}\geq 0$

где сумма пробегает все состояния $|i\rangle$ кроме вакуума $|\Omega \rangle$ сам. Сойдется ли этот интеграл или нет, зависит от больших E. поведения спектральной плотности при $\rho _{\Omega }(E)$. В свою очередь, это зависит от поведения на малых расстояниях двухточечной корреляционной функции оператора ${\mathcal {V}}$. Действительно, мы можем написать

$\int _{0}^{\infty }dE\,e^{-Et}\rho _{\Omega }(E)=\int _{M}d{\mathbf {x} }\int _{M}d{\mathbf {y} }\,\left[\langle \Omega |{\mathcal {V}}(t,\mathbf {x} ){\mathcal {V}}(0,\mathbf {y} )|\Omega \rangle -\langle \Omega |{\mathcal {V}}(0,\mathbf {x} )|\Omega \rangle \langle \Omega |{\mathcal {V}}(0,\mathbf {y} )|\Omega \rangle \right]$

где ${\mathcal {V}}(t,\mathbf {x} )=e^{H_{0}t}{\mathcal {V}}(0,\mathbf {x} )e^{-H_{0}t}$ развивается в евклидовом времени в картине взаимодействия.Следовательно, поведение спектральной плотности при больших E кодирует кратковременное поведение $\langle {\mathcal {V}}(t,\mathbf {x} ){\mathcal {V}}(0,\mathbf {y} )\rangle$ вакуумный коррелятор, в котором оба x,y интегрированы по пространству. Скейлинг большого E можно вычислить с помощью явных теорий; в общем дело обстоит так

$\rho _{\Omega }(E)\mathrel {\mathop {\sim } \limits _{\scriptstyle {E\to \infty }}} c\cdot E^{2\Delta _{\mathcal {V}}-d}$

где $\Delta _{\mathcal {V}}$ масштабное или массовое измерение оператора ${\mathcal {V}}$ и c — некоторая константа.Теперь есть две возможности, в зависимости от значения $\gamma \equiv d-2\Delta _{\mathcal {V}}$:

• Если $\gamma \leq 0$, усеченная энергия Казимира $E_{\Omega }(\Lambda )$ расходится в пределе континуума. необходимо добавить контрчлен, зависящий от обрезания, В этом случае к H чтобы ликвидировать это расхождение.
• Если $\gamma >0$, усеченная энергия Казимира сходится как $\Lambda \to \infty$. Ошибку усечения можно оценить как

$\qquad E_{\Omega }(\infty )-E_{\Omega }(\Lambda )\approx -g^{2}{\frac {c}{\gamma }}\Lambda ^{-\gamma }+O(g^{3}).$

Аналогичный анализ применим к ошибкам обрезания в возбужденных состояниях и высших порядках теории возмущений.

Пример массивного скаляра φ ⁴ теория

Квантование

В качестве примера можно рассмотреть массивное скалярное поле $\phi (t,\mathbf {x} )$ в каком-то пространстве-времени $\mathbb {R} \times M$, где M компактно (возможно , имеет границу ). Общий показатель можно записать как

$ds^{2}=-dt^{2}+h_{ij}({\mathbf {x} })dx^{i}dx^{j}.$

Давайте рассмотрим действие

$S=\int _{\mathbb {R} }dt\int _{M}{\sqrt {h}}d\mathbf {x} \,{\mathcal {L}},\quad {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}\phi \triangle \phi +{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+g\phi ^{4}$

где $\triangle$ это лапласиан на $\mathbb {R} \times M$. Теория g =0 может быть канонически квантована , что наделяет поле $\phi$ с модовым разложением

$\phi (t,\mathbf {x} )=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{n}}}}\left(a_{n}\,e^{-i\omega _{n}t}f_{n}(\mathbf {x} )+a_{n}^{\dagger }\,e^{i\omega _{n}t}f_{n}(\mathbf {x} )^{*}\right)$

где операторы рождения и уничтожения подчиняются каноническим коммутационным соотношениям $[a_{m},a_{n}^{\dagger }]=\delta _{mn}$. Одночастичные энергии $\omega _{n}>0$ и функции режима $f_{n}(\mathbf {x} )$ зависят от пространственного многообразия M . Тогда гамильтониан при t =0 определяется выражением

$H=H_{0}+gV,\quad H_{0}=\sum _{n\in \mathbb {N} }\omega _{n}a_{n}^{\dagger }a_{n}\quad {\text{and}}\quad V=\int _{M}{\sqrt {h}}d\mathbf {x} \;\phi (t=0,\mathbf {x} )^{4}.$

усечение гамильтониана

Гильбертово пространство $g=0$ теория представляет собой пространство Фока мод $\{a_{n}^{\dagger }\}$. То есть существует состояние вакуума. $|\Omega \rangle$ подчиняясь $a_{n}|\Omega \rangle =0$ для всех n , и, кроме того, существуют одно- и многочастичные состояния. Явно, общее собственное состояние $H_{0}$ помечен кортежем $\{k_{n}\}$ номеров занятий:

$|{\mathbf {k} }\rangle =\prod _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{\sqrt {k_{n}!}}}(a_{n}^{\dagger })^{k_{n}}|\Omega \rangle$

где $k_{n}$ может принимать целые значения: $k_{n}\in \{0,1,2,\ldots \}$.Такое состояние обладает энергией

$H_{0}|{\mathbf {k} }\rangle =e({\mathbf {k} })|{\mathbf {k} }\rangle ,\quad e({\mathbf {k} })=\sum _{n\in \mathbb {N} }k_{n}\omega _{n}$

поэтому поиск основы низкоэнергетических состояний сводится к поиску всех кортежей $\{k_{n}\}$ подчиняясь $e(\mathbf {k} )\leq \Lambda$. Обозначим все такие состояния схематически как $|i\rangle$. Далее элементы матрицы $V_{ij}$ может быть вычислено явно с использованием канонических коммутационных соотношений. Наконец, явный гамильтониан $H(\Lambda )_{ij}=e_{i}\delta _{ij}+gV_{ij}$ должна быть диагонализирована.

Полученные спектры можно использовать для изучения точной физики. В зависимости от значений g и $m^{2}$, выше $\phi ^{4}$ Теория может находиться в фазе, сохраняющей симметрию, или фазе с нарушением симметрии, которую можно изучить явно, используя приведенный выше алгоритм. случае спектр и собственные состояния H содержат информацию о конформной теории поля класса универсальности Изинга Также можно проанализировать непрерывный фазовый переход между этими двумя фазами, и в этом .

Особые случаи

Подход усеченного конформного пространства

Подход усеченного конформного пространства (TCSA) представляет собой версию усечения гамильтониана, которая применяется к возмущенным конформным теориям поля . Этот подход был предложен Юровым и Ал. Замолодчиков в 1990 году. и стал стандартным компонентом, используемым для изучения двумерных КТП. D - мерная версия TCSA впервые была изучена в 2014 году.

исходящий Поток РГ, из конформной теории поля (КТП), описывается действием

$S=S_{\text{CFT}}+g\int d^{d}x\,{\mathcal {V}}(x)$

где ${\mathcal {V}}$ является скалярным оператором в ЦФТ масштабирующей размерности $\Delta _{\mathcal {V}}\leq d$. На больших расстояниях такие теории сильно связаны. Такие течения РГ удобно изучать на цилиндре $\mathbb {R} \times S^{d-1}$, приняв сферу радиусом R и наделив все пространство координатами $(t,\mathbf {n} )$. Причина в том, что невозмущенная ( g = 0) теория допускает простое описание благодаря радиальному квантованию . Схематически говорится $|i\rangle$ на цилиндре находятся в однозначной переписке с местными операторами ${\mathcal {O}}_{i}$ вставлено в начало плоского пространства:

$|i\rangle =\lim _{x\to 0}{\mathcal {O}}_{i}(x)|\Omega \rangle$

где $|\Omega \rangle$ – вакуумное состояние КТМ. Гамильтониан на цилиндре — это в точности оператор дилатации D КТМ: невозмущенные энергии определяются выражением

$H_{0}|i\rangle ={\frac {\Delta _{i}}{R}}|i\rangle$

где $\Delta _{i}$ масштабируемая размерность оператора ${\mathcal {O}}_{i}$. Наконец, матричные элементы деформации V

$V_{ij}=R^{d-1}\int _{S^{d-1}}d\mathbf {n} \;\langle i|{\mathcal {V}}(t=0,\mathbf {n} )|j\rangle$

пропорциональны коэффициентам OPE ${\mathcal {V}}\times {\mathcal {O}}_{j}\sim {\mathcal {O}}_{i}$ в оригинальном ЦФТ.

Методы усечения светового конуса

QFT в реальном времени часто изучаются в координатах светового конуса.

$ds^{2}=2dx^{+}dx^{-}-(dx^{i})^{2}.$

Хотя спектр гамильтониана светового конуса $P_{+}=i\partial /\partial x^{+}$ является непрерывным, все еще возможно вычислить определенные наблюдаемые, используя методы усечения. Наиболее часто используемая схема, используемая, когда теория УФ является конформной, известна как конформное усечение светового конуса (LCT). Примечательно, что пространственное многообразие M в этом случае некомпактно, в отличие от квантования с равным временем, описанного ранее. См. также страницу, посвященную методам расчета светового фронта , где описаны соответствующие вычислительные установки.

Численная реализация

Вычисления усечения гамильтониана обычно выполняются с использованием системы компьютерной алгебры или языка программирования, такого как Python или C++ .

Количество низкоэнергетических состояний $N(\Lambda )$ имеет тенденцию быстро расти с УФ-обрезанием, и обычно вычисления усечения гамильтониана выполняются с учетом нескольких тысяч состояний. менее, часто интересуют только первые энергии O(10) и собственные состояния H. Тем не Вместо явной диагонализации полного гамильтониана (что очень затратно в численном отношении) методы аппроксимации, такие как итерация Арнольди и алгоритм Ланцоша обычно используются .

В некоторых случаях ортонормировать низкоэнергетические состояния невозможно. $|i\rangle$либо потому, что это требует больших вычислительных затрат, либо потому, что лежащее в основе гильбертово пространство не является положительно определенным . В этом случае необходимо решить обобщенную проблему собственных значений

$H_{ij}(\Lambda )v_{\alpha }^{j}=E_{\alpha }(\Lambda )\,G_{ij}v_{\alpha }^{j}$

где $H_{ij}(\Lambda )=\langle i|H(\Lambda )|j\rangle$ и $G_{ij}=\langle i|j\rangle$ – матрица Грама теории. В этой формулировке собственные состояния усеченного гамильтониана равны $|\psi _{\alpha }\rangle =v_{\alpha }^{i}|i\rangle$.

На практике важно отслеживать симметрии теории , то есть все генераторы $G_{i}$ которые удовлетворяют $[G_{i},H(\Lambda )]=0$. В усечении гамильтониана есть два типа симметрии:

1. Глобальные симметрии, например $\mathbb {Z} _{2}$ симметрия $\phi \mapsto -\phi$ в $\phi ^{4}$ теория.
2. Симметрии пространственного многообразия M , например ортогональная группа $O(d)$ когда $M=S^{d-1}$.

Когда все состояния организованы в секторах симметрии относительно $G_{i}$ гамильтониан является блочно-диагональным , поэтому усилия, необходимые для диагонализации H, уменьшаются.