Методы расчета светового фронта

Световой конус специальной теории относительности. Квантование светового фронта использует координаты светового фронта (или светового конуса) для выбора начальной поверхности, касательной к световому конусу. При равновременном квантовании используется горизонтальная начальная поверхность, обозначенная здесь как «гиперповерхность настоящего».

Квантование светового фронта квантовых теорий поля представляет собой полезную альтернативу обычному квантованию с равным временем . В частности, это может привести к релятивистскому описанию связанных систем в терминах квантово-механических волновых функций . Квантование основано на выборе координат светового фронта: где $x^{+}\equiv ct+z$ играет роль времени, а соответствующая пространственная координата равна $x^{-}\equiv ct-z$. Здесь, $t$ это обычное время, $z$ - одна декартова координата , и $c$ это скорость света. Две другие декартовы координаты, $x$ и $y$, нетронуты и часто называются поперечными или перпендикулярными, обозначаются символами типа ${\vec {x}}_{\perp }=(x,y)$. Выбор системы отсчета, в которой время $t$ и $z$-ось определены, можно оставить неопределенным в точно решаемой релятивистской теории, но в практических расчетах некоторые варианты могут оказаться более подходящими, чем другие.

Решение уравнения собственных значений гамильтониана LFQCD будет использовать доступные математические методы квантовой механики и способствовать развитию передовых методов вычислений для больших квантовых систем, включая ядра . Например, в методе дискретного квантования светового конуса (DLCQ) вводятся периодические условия, при которых импульсы дискретизируются, а размер пространства Фока ограничивается без нарушения лоренц-инвариантности. Тогда решение квантовой теории поля сводится к диагонализации большой разреженной эрмитовой матрицы . Метод DLCQ успешно использовался для получения полного спектра и волновых функций светового фронта в многочисленных модельных квантовых теориях поля, таких как КХД, с одним или двумя пространственными измерениями для любого количества ароматов и масс кварков. Распространение этого метода на суперсимметричные теории , SDLCQ, использует тот факт, что гамильтониан легкого фронта можно факторизовать как произведение операторов подъема и опускания лестницы . SDLCQ предоставил новое понимание ряда суперсимметричных теорий, включая прямые численные доказательства. для двойственности супергравитации/супер-Яна – Миллса, выдвинутой Малдасеной.

Удобно работать в фоке. $\{|n:p_{i}^{+},{\vec {p}}_{\perp i}\rangle \}$ где импульс светового фронта ${\mathcal {P}}^{+}$ и ${\vec {\mathcal {P}}}_{\perp }$ являются диагональными. Государство $|{\underline {P}}\rangle$ дается расширением

$|{\underline {P}}\rangle =\sum _{n}\int [dx]_{n}\,[d^{2}k_{\perp }]_{n}\,\psi _{n}(x,{\vec {k}}_{\perp })|n:xP^{+},x{\vec {P}}_{\perp }+{\vec {k}}_{\perp }\rangle \,,$

с

$[dx]_{n}=4\pi \delta (1-\sum _{i=1}^{n}x_{i})\prod _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{4\pi {\sqrt {x_{i}}}}}\,,\;\;\;[d^{2}k_{\perp }]_{n}=4\pi ^{2}\delta (\sum _{i=1}^{n}{\vec {k}}_{\perp i})\prod _{i=1}^{n}{\frac {d^{2}k_{\perp i}}{4\pi ^{2}}}\,.$

$\psi _{n}$ интерпретируется как волновая функция вклада состояний с $n$ частицы. Проблема собственных значений ${\mathcal {P}}^{-}|{\underline {P}}\rangle ={\frac {M^{2}+P_{\perp }^{2}}{P^{+}}}|{\underline {P}}\rangle$ представляет собой набор связанных интегральных уравнений для этих волновых функций. Хотя представленные обозначения поддерживают только один тип частиц, обобщение на несколько типов тривиально.

Дискретное квантование светового конуса

Систематическим подходом к дискретизации проблемы собственных значений является метод DLCQ, первоначально предложенный Паули и Бродским. По сути это замена интегралов трапециевидными аппроксимациями с равноотстоящими интервалами продольных и поперечных импульсов.

$p^{+}\rightarrow {\frac {2\pi }{L}}n\,,\;\;{\vec {p}}_{\perp }\rightarrow ({\frac {\pi }{L_{\perp }}}n_{x},{\frac {\pi }{L_{\perp }}}n_{y}),$

соответствующие периодическим граничным условиям на интервалах $-L<x^{-}<L$ и $-L_{\perp }<x,y<L_{\perp }$. Длина шкалы $L$ и $L_{\perp }$ определить разрешающую способность расчета. Поскольку положительная составляющая импульса всегда положительна, предел $L\rightarrow \infty$ можно обменять на предел целочисленного разрешения $K\equiv {\frac {L}{2\pi }}P^{+}$. Сочетание компонентов импульса, определяющее $H_{\rm {LC}}=P^{+}{\mathcal {P}}^{-}$ тогда не зависит от $L$. Доли продольного импульса $x_{i}\equiv p_{i}^{+}/P^{+}$ стать отношениями целых чисел $n_{i}/K$. Потому что $n_{i}$ все положительны, DLCQ автоматически ограничивает количество частиц не более $K$. Когда ограничение на поперечный импульс достигается через выбранное обрезание, получается задача с конечной матрицей; однако матрица может быть слишком большой для современных численных методов. Затем можно сделать явное усечение числа частиц, эквивалент светового конуса приближения Тамма-Данкова. Большие размеры базиса требуют специальных методов диагонализации матрицы; обычно используется алгоритм Ланцоша . В случае одного измерения пространства можно легко найти адронный спектр КХД для любых масс и цветов кварков.

Большинство расчетов DLCQ выполняются без нулевых мод. Однако в принципе любой базис DLCQ с периодическими граничными условиями может включать их в качестве связанных мод, зависящих от других мод с ненулевым импульсом. Ограничение исходит из пространственного среднего значения уравнения Эйлера – Лагранжа для поля. Это уравнение связи может оказаться трудным для решения даже для самых простых теорий. Однако можно найти приближенное решение, согласующееся с основными приближениями самого метода DLCQ. Это решение порождает эффективные взаимодействия нулевой моды для гамильтониана светового фронта.

Расчеты в массивном секторе, выполненные без нулевых мод, обычно дают правильный ответ. Пренебрежение нулевыми модами лишь ухудшает сходимость. Единственным исключением являются кубические скалярные теории, в которых спектр простирается до минус бесконечности. Расчет DLCQ без нулевых мод потребует тщательной экстраполяции для обнаружения этой бесконечности, тогда как расчет, включающий нулевые моды, немедленно дает правильный результат. Нулевых мод можно избежать, если использовать антипериодические граничные условия.

Суперсимметричное дискретное квантование светового конуса

Суперсимметричная форма DLCQ (SDLCQ). специально разработан для поддержания суперсимметрии в дискретном приближении. Обычный DLCQ нарушает суперсимметрию членами, которые не выдерживают предела континуума . Конструкция SDLCQ дискретизирует наддув. $Q^{-}$ и определяет гамильтониан ${\mathcal {P}}^{-}$ по соотношению супералгебры ${\mathcal {P}}^{-}=\{Q^{-},Q^{-}\}/2{\sqrt {2}}$. Диапазон поперечного импульса ограничен простым ограничением значения импульса. Ожидается, что эффекты нулевых мод нивелируются.

Помимо расчетов спектров, этот метод можно использовать для расчета математических ожиданий. Одна из таких величин – коррелятор $\langle T^{++}(x)T^{++}(y)\rangle$ тензора энергии напряжений был вычислен как проверка гипотезы Малдасены . Для этого расчета был разработан очень эффективный метод на основе Ланцоша. Последние результаты дают прямое подтверждение этой гипотезы.

Поперечная решетка

Метод поперечной решетки объединяет две мощные идеи квантовой теории поля: квантование гамильтониана светового фронта и калибровочную теорию решетки. Решетчатая калибровочная теория является очень популярным средством регулирования расчетов калибровочных теорий, которые описывают всю видимую материю во Вселенной; в частности, он явно демонстрирует линейное ограничение КХД, которое удерживает кварки и глюоны внутри протонов и нейтронов атомного ядра. В общем, чтобы получить решения квантовой теории поля с ее непрерывно бесконечными степенями свободы, необходимо наложить кинематические обрезания или другие ограничения на пространство квантовых состояний. Чтобы устранить возникающие при этом ошибки, можно затем экстраполировать эти ограничения при условии, что существует предел континуума , и/или перенормировать наблюдаемые, чтобы учесть степени свободы выше порога. Для целей гамильтонового квантования необходимо иметь непрерывное направление времени. В случае квантования гамильтониана светового фронта, помимо непрерывного времени светового фронта $x^{+}$, необходимо сохранить $x^{-}$ направление непрерывно, если кто-то хочет сохранить явную лоренц-инвариантность буста в одном направлении и включить малые энергии светового фронта. $p^{-}$. Поэтому самое большее можно наложить решеточное обрезание на оставшиеся поперечные пространственные направления. Такая калибровочная теория поперечной решетки была впервые предложена Бардином и Пирсоном в 1976 году.

В большинстве практических расчетов, выполненных с использованием калибровочной теории поперечной решетки, использовался еще один ингредиент: цветовое диэлектрическое расширение. Диэлектрическая формулировка — это формулировка, в которой элементы калибровочной группы, генераторами которых являются глюонные поля в случае КХД, заменяются коллективными (размытыми, заблокированными и т. д.) переменными, которые представляют собой среднее значение по их флуктуациям на малых масштабах расстояний. Эти диэлектрические переменные массивны, несут цвет и образуют эффективную калибровочную теорию поля с классическим действием, минимизированным при нулевом поле, что означает, что цветовой поток вытесняется из вакуума на классическом уровне. Это сохраняет тривиальность вакуумной структуры светового фронта, но возникает только при низком обрезании импульса в эффективной теории (что соответствует поперечным шагам решетки порядка 1/2 Фм в КХД). В результате эффективный обрезанный гамильтониан изначально плохо ограничен. Тем не менее цветово-диэлектрическое разложение вместе с требованиями восстановления симметрии Лоренца успешно использовалось для организации взаимодействий в гамильтониане способом, пригодным для практического решения. Самый точный спектр крупных $N_{c}$ Таким образом были получены глюболы , а также волновые функции светового фронта пионов , что согласуется с рядом экспериментальных данных.

Базисное квантование светового фронта

Базовый подход квантования светового фронта (BLFQ) использует разложение в произведения одночастичных базисных функций для представления волновых функций в состоянии Фока. Обычно продольное ( $x^{-}$) зависимость представлена ​​в базисе DLCQ плоских волн , а поперечная зависимость представлена ​​двумерными гармоническими осцилляторными функциями. Последние идеально подходят для применения в ограничивающих полостях и согласуются с голографической КХД светового фронта . Использование произведений одночастичных базисных функций также удобно для учета статистики бозонов и фермионов , поскольку эти продукты легко (анти)симметризуются. Используя двумерные базисные функции с вращательной симметрией относительно продольного направления (примером которых служат функции гармонического осциллятора), сохраняется квантовое число проекции полного углового момента, что облегчает определение полного углового момента собственных состояний массы. Для приложений без внешней полости, где поперечный импульс сохраняется, используется метод множителей Лагранжа, чтобы отделить относительное поперечное движение от движения всей системы.

Первое применение BLFQ к КЭД решило проблему электрона в двумерной поперечной удерживающей полости и показало, как аномальный магнитный момент ведет себя в зависимости от прочности полости. Второе применение BLFQ к КЭД решило аномальный магнитный момент электрона в свободном пространстве. и продемонстрировали согласие с моментом Швингера в соответствующем пределе.

Расширение BLFQ на нестационарный режим, а именно, на нестационарный BLFQ (tBLFQ), является простым и в настоящее время находится в стадии активной разработки. Целью tBLFQ является решение теории поля светового фронта в реальном времени (с зависящими от времени фоновыми полями или без них). Типичные области применения включают интенсивные лазеры (см. Квантование светового фронта#Интенсивные лазеры }) и релятивистские столкновения тяжелых ионов .

Метод связанных кластеров светового фронта

Метод кластеров со связанным световым фронтом (LFCC). представляет собой особую форму усечения бесконечной связанной системы интегральных уравнений для волновых функций светового фронта. Система уравнений, возникающая из теоретико-полевого уравнения Шредингера, также требует регуляризации, чтобы сделать интегральные операторы конечными. Традиционное усечение системы в пространстве Фока, где разрешенное количество частиц ограничено, обычно нарушает регуляризацию, удаляя бесконечные части, которые в противном случае были бы отменены по сравнению с оставшимися частями. Хотя существуют способы обойти это, они не являются полностью удовлетворительными.

Метод LFCC позволяет избежать этих трудностей за счет усечения набора уравнений совершенно другим способом. Вместо сокращения числа частиц он сокращает способ связи волновых функций друг с другом; волновые функции высших состояний Фока определяются волновыми функциями нижних состояний и возведением в степень оператора $T$. В частности, собственное состояние записывается в виде ${\sqrt {Z}}e^{T}|\phi \rangle$, где ${\sqrt {Z}}$ является коэффициентом нормализации и $|\phi \rangle$ Государство с минимальным числом субъектов. Оператор $T$ увеличивает число частиц и сохраняет все соответствующие квантовые числа, включая импульс светового фронта. В принципе это точно, но все же бесконечно, потому что $T$ может иметь бесконечное количество членов. Нулевые моды могут быть включены путем включения их создания в качестве терминов в $T$; это порождает нетривиальный вакуум как обобщенное когерентное состояние нулевых мод.

Произведенное усечение является усечением $T$. Исходная проблема собственных значений становится проблемой собственных значений конечного размера для валентного состояния. $|\phi \rangle$, в сочетании со вспомогательными уравнениями для членов, оставшихся в $T$:

$P_{v}{\overline {{\mathcal {P}}^{-}}}|\phi \rangle ={\frac {M^{2}+P_{\perp }^{2}}{P^{+}}}|\phi \rangle ,\;\;\;\;(1-P_{v}){\overline {{\mathcal {P}}^{-}}}|\phi \rangle =0.$

Здесь $P_{v}$ является проекцией на валентный сектор, а ${\overline {{\mathcal {P}}^{-}}}\equiv e^{-T}{\mathcal {P}}^{-}e^{T}$ – эффективный гамильтониан LFCC. Проекция $1-P_{v}$ усекается, чтобы обеспечить достаточно вспомогательных уравнений для определения функций в усеченном $T$ оператор. Эффективный гамильтониан вычисляется на основе его разложения Бейкера – Хаусдорфа. ${\overline {{\mathcal {P}}^{-}}}={\mathcal {P}}^{-}+[{\mathcal {P}}^{-},T]+{\frac {1}{2}}[[{\mathcal {P}}^{-},T],T]+\cdots$, который может быть прерван в тот момент, когда создается больше частиц, чем удерживается усеченной проекцией $1-P_{v}$. Использование экспоненты $T$ а не какая-то другая функция удобна не только из-за расширения Бейкера-Хаусдорфа, но и в более общем смысле потому, что она обратима; в принципе, можно использовать и другие функции, которые также будут обеспечивать точное представление до тех пор, пока не будет выполнено усечение.

Усечение $T$ можно решать систематически. Термины можно классифицировать по количеству аннигилированных компонентов и чистому увеличению числа частиц. Например, в КХД вклады низшего порядка аннигилируют одну частицу и увеличивают сумму на единицу. Это одноглюонная эмиссия из кварка, рождение пары кварков из одного глюона и рождение глюонной пары из одного глюона. Каждый из них включает в себя функцию относительного импульса для перехода от одной частицы к двум. Члены более высокого порядка аннигилируют больше частиц и/или увеличивают общее количество более чем на одну. Они дают дополнительный вклад в волновые функции более высокого порядка и даже в волновые функции низкого порядка для более сложных валентных состояний. Например, волновая функция для $|q{\bar {q}}g\rangle$ Фокковское состояние мезона может иметь вклад от слагаемого в $T$ который уничтожает $q{\bar {q}}$ пара и создает пару плюс глюон, когда это действует на валентное состояние мезона $|q{\bar {q}}\rangle$.

Математика метода LFCC берет свое начало в методе связанных кластеров многих тел , используемом в ядерной физике и квантовой химии . Однако физика совсем другая. Метод многих тел работает с состоянием большого числа частиц и использует возведение в степень $T$ построить корреляции возбуждений с высшими одночастичными состояниями; число частиц не меняется. Метод LFCC начинается с небольшого количества компонентов в валентном состоянии и использует $e^{T}$ строить состояния с большим количеством частиц; метод решения проблемы собственных значений валентного состояния не указан.

Вычисление физических наблюдаемых из матричных элементов операторов требует некоторой осторожности. Прямые вычисления потребовали бы бесконечной суммы в пространстве Фока. Вместо этого можно позаимствовать метод связанных кластеров многих тел. конструкция, которая вычисляет значения ожидания на основе правого и левого собственных состояний. Эту конструкцию можно расширить, включив в нее недиагональные матричные элементы и калибровочные проекции. Затем физические величины можно вычислить на основе правого и левого собственных состояний LFCC.

Ренормгруппа

Концепции перенормировки, особенно методы ренормгруппы в квантовых теориях и статистической механике , имеют долгую историю и очень широкую сферу применения. Понятия перенормировки, которые оказываются полезными в теориях, квантованных во фронтальной форме динамики, по существу, бывают двух типов, как и в других областях теоретической физики. Два типа концепций связаны с двумя типами теоретических задач, связанных с применением теории. Одна из задач — вычислить наблюдаемые (значения оперативно определяемых величин) в теории, которая определена однозначно. Другая задача — однозначно определить теорию. Это объясняется ниже.

Поскольку фронтальная форма динамики направлена ​​на объяснение адронов как связанных состояний кварков и глюонов, а механизм связи не поддается описанию с помощью теории возмущений, необходимое в этом случае определение теории не может ограничиваться пертурбативными разложениями. Например, недостаточно построить теорию, используя порядковую регуляризацию петлевых интегралов и соответственно порядковое переопределение масс, констант связи и констант нормировки поля. Другими словами, необходимо разработать пространственно-временную формулировку Минковского релятивистской теории, которая не основана на какой-либо априорной схеме возмущений. Фронтальная форма гамильтоновой динамики многими исследователями воспринимается как наиболее подходящий для этой цели каркас среди известных вариантов.

Желаемое определение релятивистской теории включает в себя расчеты такого количества наблюдаемых, которое необходимо использовать, чтобы зафиксировать все параметры, которые появляются в теории. Связь между параметрами и наблюдаемыми может зависеть от количества степеней свободы, включенных в теорию.

Например, рассмотрим виртуальные частицы в возможной формулировке теории. Формально специальная теория относительности требует, чтобы диапазон импульсов частиц был бесконечным, поскольку можно изменить импульс частицы на произвольную величину посредством изменения системы отсчета. Если формулировка не предполагает различения какой-либо инерциальной системы отсчета, частицам должно быть разрешено иметь любое значение импульса. Поскольку моды квантового поля, соответствующие частицам с разными импульсами, образуют разные степени свободы, требование включения бесконечного числа значений импульса означает, что теория требует включения бесконечного числа степеней свободы. Но по математическим причинам, будучи вынужденным использовать компьютеры для достаточно точных вычислений, приходится работать с конечным числом степеней свободы. Необходимо ограничить диапазон импульса каким-то порогом.

Создавая теорию с конечным обрезанием по математическим причинам, можно надеяться, что обрезание можно сделать достаточно большим, чтобы избежать его появления в наблюдаемых, представляющих физический интерес, но в локальных квантовых теориях поля, представляющих интерес для адронной физики, ситуация не такова. простой. А именно, частицы с разными импульсами связаны динамикой нетривиальным образом, и расчеты, направленные на предсказание наблюдаемых, дают результаты, которые зависят от обрезаний. Причем делают они это по-разному.

Параметры отсечки могут быть не только для импульса. Например, можно предположить, что объем пространства ограничен, что помешало бы трансляционной инвариантности теории, или предположить, что число виртуальных частиц ограничено, что помешало бы предположению о том, что каждая виртуальная частица может расщепиться на более виртуальные частицы. частицы. Все подобные ограничения приводят к набору ограничений, которые становятся частью определения теории.

Следовательно, каждый результат расчета для любой наблюдаемой $X_{\rm {observable}}(\mu )$ характеризуется своим физическим масштабом $\mu$ имеет вид функции набора параметров теории, $p$, набор отсечек, скажем $\Lambda$, и масштаб $\mu$. Таким образом, результаты принимают вид

$X_{\rm {observable}}(\mu )=X_{\rm {theory}}(p,\Lambda ,\mu )\,.$

Однако эксперименты дают значения наблюдаемых, которые характеризуют естественные процессы, независимо от ограничений теории, используемой для их объяснения. Если обрезания не описывают свойства природы и вводятся просто для того, чтобы сделать теорию вычислимой, необходимо понять, как зависимость от $\Lambda$ может выпасть из $X_{\rm {theory}}(p,\Lambda ,\mu )$. Обрезания также могут отражать некоторые естественные особенности рассматриваемой физической системы, например, в модельном случае обрезания волновых векторов звуковых волн в кристалле ультрафиолетовым излучением из-за расстояния между атомами в кристаллической решетке. Естественные обрезания могут иметь огромные размеры по сравнению с масштабом. $\mu$. Тогда возникает вопрос, как в теории получается, что ее результаты для наблюдаемых в масштабе $\mu$ не имеют также огромных размеров обрезания, а если нет, то как они зависят от масштаба $\mu$.

Два упомянутых выше типа понятий перенормировки связаны со следующими двумя вопросами:

• Какими должны быть параметры $p$ зависит от лимитов $\Lambda$ так что все наблюдаемые $X(p,\Lambda ,\mu )$ физического интереса не зависят от $\Lambda$, включая случай, когда отсечения удаляются, формально отправляя их на бесконечность?
• Какой набор параметров необходим $p$?

Понятие ренормгруппы, связанное с первым вопросом. предшествует концепции, связанной со вторым вопросом. Конечно, если бы у кого-то был хороший ответ на второй вопрос, то можно было бы ответить и на первый вопрос. В отсутствие хорошего ответа на второй вопрос можно задаться вопросом, почему любой конкретный выбор параметров и их зависимость от обрезания может обеспечить независимость всех наблюдаемых от обрезания. $X(p,\Lambda ,\mu )$ с конечными масштабами $\mu$.

Концепция ренормгруппы, связанная с первым вопросом выше, основана на том обстоятельстве, что некоторое конечное множество $p(\Lambda )$ дает желаемый результат,

$X_{\rm {observable}}(\mu )=\lim _{\Lambda \rightarrow \infty }X_{\rm {theory}}[p(\Lambda ),\Lambda ,\mu ]\,.$

При таком подходе можно ожидать, что в теории с $n$ параметры расчет $n$ наблюдаемые в некотором масштабе $\mu$ достаточно, чтобы зафиксировать все параметры как функции $\Lambda$. Итак, можно надеяться, что существует коллекция $n$ эффективные параметры в масштабе $\mu$, соответствующий $n$ наблюдаемые в масштабе $\mu$, достаточных для параметризации теории таким образом, чтобы предсказания, выраженные через эти параметры, были свободны от зависимости от $\Lambda$. Поскольку масштаб $\mu$ произвольно, целое семейство таких $n$-наборы параметров, помеченные $\mu$ должно существовать, и каждый член этого семейства соответствует одной и той же физике. Переход из одного такого семейства в другое путем изменения одного значения $\mu$ к другому описывается как действие ренормгруппы . Слово «группа» оправдано, поскольку выполняются аксиомы группы: два таких изменения образуют еще одно такое же изменение, одно изменение можно инвертировать и т. д.

Однако остается вопрос, зачем фиксировать зависимость от среза $n$ параметры $p$ на $\Lambda$, с использованием $n$ условия, которые $n$ выбранные наблюдаемые не зависят от $\Lambda$, достаточно хорош, чтобы сделать все наблюдаемые в физическом диапазоне $\mu$ не зависеть от $\Lambda$. В некоторых теориях такое чудо может произойти, но в других – нет. Те, где это происходит, называются перенормируемыми, потому что можно правильно нормализовать параметры, чтобы получить результаты, независимые от обрезания.

Как правило, набор $p(\Lambda )$ устанавливается с помощью пертурбативных расчетов в сочетании с моделями описания непертурбативных эффектов. Например, пертурбативные диаграммы КХД для кварков и глюонов сочетаются с партонными моделями для описания связывания кварков и глюонов в адроны. Набор параметров $p(\Lambda )$ включает в себя массы, заряды и константы нормализации поля, зависящие от обрезания. Предсказательная сила построенной таким образом теории зависит от того обстоятельства, что требуемый набор параметров относительно невелик. Регуляризация разрабатывается по порядку так, чтобы как можно больше формальных симметрий локальной теории сохранялось и использовалось в вычислениях, как при размерной регуляризации диаграмм Фейнмана. Утверждение о том, что набор параметров $p(\Lambda )$ приводит к конечным, независимым от обрезания пределам для всех наблюдаемых, ограничивается необходимостью использования той или иной формы теории возмущений и включения модельных предположений относительно связанных состояний.

Концепция ренормгруппы, связанная со вторым вопросом выше, призвана объяснить, почему концепция ренормгруппы, связанная с первым вопросом, может иметь смысл, вместо того, чтобы быть в лучшем случае успешным рецептом борьбы с расхождениями в пертурбативных вычислениях. А именно, чтобы ответить на второй вопрос, разрабатывается расчет (см. ниже), который определяет необходимый набор параметров для определения теории, причем отправной точкой является некоторое конкретное начальное предположение, например, некоторая локальная лагранжева плотность, которая является функцией полевых переменных. и его необходимо изменить, включив все необходимые параметры. Как только требуемый набор параметров известен, можно установить набор наблюдаемых, достаточный для определения зависимости требуемого набора от отсечки. Наблюдаемые могут иметь любой конечный масштаб. $\mu$, и можно использовать любой масштаб $\mu$ определить параметры $p(\Lambda )$, вплоть до их конечных частей, которые необходимо подогнать для эксперимента, включая такие особенности, как наблюдаемые симметрии.

Таким образом, можно понять не только возможность существования ренормгруппы первого типа, но и найти альтернативные ситуации, когда набор требуемых параметров, зависящих от обрезания, не обязательно должен быть конечным. Предсказательная сила последних теорий обусловлена ​​известными взаимосвязями между требуемыми параметрами и вариантами установления всех соответствующих параметров.

Понятие ренормгруппы второго рода связано с характером математических вычислений, используемых для обнаружения набора параметров. $p$. По сути, расчет начинается с некоторой конкретной формы теории с обрезанием $\Lambda$ и выводит соответствующую теорию с меньшим порогом, в смысле более ограничительного, скажем $\Lambda /2$. После повторной параметризации с использованием обрезания как единицы получается новая теория аналогичного типа, но с новыми терминами. Это означает, что стартовая теория с отсечкой $\Lambda$ также должен содержать такие новые термины, чтобы его форма соответствовала наличию отсечения. В конечном итоге можно найти набор термов, воспроизводящий себя с точностью до изменения коэффициентов искомых термов. Эти коэффициенты изменяются в зависимости от количества шагов, которые вы делаете, на каждом шаге уменьшая отсечку в два раза и изменяя масштаб переменных. Можно было бы использовать и другие коэффициенты, кроме двух, но два удобнее.

Таким образом, получается траектория точки пространства размерностью, равной числу требуемых параметров, и движение по траектории описывается преобразованиями, образующими новый вид группы. Разные начальные точки могут вести к разным траекториям, но если шаги самоподобны и сводятся к многократному действию одного и того же преобразования, скажем $T$то, что происходит, можно описать с точки зрения особенностей $T$, называемое преобразованием ренормгруппы. Преобразование $T$ может трансформировать точки в пространстве параметров, заставляя некоторые параметры уменьшаться, некоторые увеличиваться, а некоторые остаются неизменными. Он может иметь фиксированные точки , предельные циклы или даже приводить к хаотическому движению .

Предположим, что $T$ имеет фиксированную точку. Если начать процедуру с этого момента, то бесконечно длинная последовательность сокращений обрезания в два раза ничего не меняет в структуре теории, кроме масштаба ее обрезания. Это означает, что начальное отсечение может быть сколь угодно большим. Такая теория может обладать симметрией специальной теории относительности, поскольку нет необходимости платить за расширение обрезания, как это требуется, когда кто-то хочет выполнить преобразование Лоренца, которое дает импульсы, превышающие обрезание.

Оба понятия ренормгруппы можно рассматривать в квантовых теориях, построенных с использованием фронтальной формы динамики. Первая концепция позволяет играть с небольшим набором параметров и добиваться согласованности, что является полезной стратегией в теории возмущений, если из других подходов известно, чего ожидать. В частности, можно изучить новые пертурбативные особенности, возникающие во фронтальной форме динамики, поскольку она отличается от мгновенной формы. Основное отличие состоит в том, что передние переменные $x^{-}$ (или $p^{+}$) существенно отличаются от поперечных переменных $x^{\perp }$ (или $p^{\perp }$), так что между ними нет простой вращательной симметрии.Можно также изучить достаточно упрощенные модели, для которых можно использовать компьютеры для проведения расчетов, и посмотреть, может ли процедура, предложенная теорией возмущений, работать за ее пределами. Вторая концепция позволяет решить проблему определения релятивистской теории ab initio, не ограничивая это определение пертурбативными разложениями. Этот вариант особенно актуален для вопроса описания связанных состояний в КХД. Однако для решения этой проблемы необходимо преодолеть определенные трудности, которые не могут быть легко разрешены процедурами ренормгруппы, основанными на идее сокращения обрезаний. Чтобы избежать трудностей, можно воспользоваться процедурой перенормировки группы подобия. Как трудности, так и сходство объясняются в следующем разделе.

Преобразования подобия

Немного о сложностях процедуры снижения отсечки $\Lambda$ отрезать $\Lambda /2$ в фронтальной форме гамильтоновой динамики сильных взаимодействий можно получить, рассмотрев проблему собственных значений гамильтониана $H$,

$H\psi =E\psi ,$

где $H=H_{0}+H_{I}$, $H_{0}$ имеет известный спектр и $H_{I}$ описывает взаимодействие. Предположим, что собственное состояние $\psi$ можно записать как суперпозицию собственных состояний $H_{0}$ и введем два оператора проектирования: $P$ и $Q$, такой, что $P$ проекты по собственным состояниям $H_{0}$ с собственными значениями меньшими $\Lambda /2$ и $Q$ проекты по собственным состояниям $H_{0}$ с собственными значениями между $\Lambda /2$ и $\Lambda$. Результат проектирования проблемы собственных значений для $H$ с использованием $P$ и $Q$ представляет собой систему двух связанных уравнений

$H_{0}Q\psi +QH_{I}Q\psi +QH_{I}P\psi =EQ\psi \,,$

$H_{0}P\psi +PH_{I}Q\psi +PH_{I}P\psi =EP\psi \,.$

Первое уравнение можно использовать для оценки $Q\psi$ с точки зрения $P\psi$,

$Q\psi ={\frac {1}{E-H_{0}-QH_{I}Q}}\ QH_{I}P\psi \,.$

Это выражение позволяет написать уравнение для $P\psi$ в форме

$H_{\rm {eff}}P\psi =EP\psi \,,$

где

$H_{\rm {eff}}=H_{0}+PH_{I}P+PH_{I}Q{\frac {1}{E-H_{0}-QH_{I}Q}}QH_{I}P.$

Уравнение для $P\psi$ похоже на проблему собственных значений для $H_{\rm {eff}}$. Это справедливо в теории с обрезанием $\Lambda /2$, но его эффективный гамильтониан $H_{\rm {eff}}$ зависит от неизвестного собственного значения $E$. Однако, если $\Lambda /2$ намного больше, чем $E$ интереса, можно пренебречь $E$ по сравнению с $QH_{0}Q$ при условии, что $QH_{I}Q$ мал по сравнению с $QH_{0}Q$.

В КХД, которая асимптотически свободна , действительно имеется $H_{0}$ как доминирующий член в знаменателе энергии в $H_{\rm {eff}}$ для малых собственных значений $E$. На практике это происходит для отсечек $\Lambda$ намного больше, чем наименьшие собственные значения $E$ Физический интерес представляет то, что соответствующие задачи на собственные значения слишком сложны для их решения с требуемой точностью. А именно, существует еще слишком много степеней свободы. Необходимо еще значительно сократить отсечки. Эта проблема возникает во всех подходах к проблеме связанного состояния в КХД, а не только в передней форме динамики.Даже если взаимодействия достаточно малы, возникает дополнительная трудность при устранении $Q$-государства. А именно, для малых взаимодействий можно исключить собственное значение $E$ из собственного эффективного гамильтониана в $P$-подпространство в пользу собственных значений $H_{0}$. Следовательно, знаменатели, аналогичные тому, который фигурирует выше в $H_{\rm {eff}}$ содержат только разности собственных значений $H_{0}$, один выше $\Lambda /2$ и один ниже. К сожалению, вблизи границы такие различия могут стать сколь угодно малыми. $\Lambda /2$, и они генерируют сильные взаимодействия в эффективной теории из-за связи между состояниями чуть ниже и чуть выше обрезания $\Lambda /2$. Это особенно неприятно, когда собственные состояния $H_{0}$ вблизи обрезания сильно вырождены, и разделение задачи связанного состояния на части ниже и выше обрезания не может быть достигнуто с помощью простого разложения по степеням константы связи.

В любом случае, при уменьшении порога $\Lambda$ к $\Lambda /2$, а потом $\Lambda /2$ к $\Lambda /4$ и т. д., сила взаимодействия в гамильтонианах КХД возрастает и, особенно если взаимодействие притягивающее, $QH_{I}Q$ могу отменить $H_{0}$ и $E$ нельзя игнорировать, независимо от того, насколько мала она по сравнению с уменьшенным порогом. В частности, эта трудность касается связанных состояний, где взаимодействия должны препятствовать доминированию свободного относительного движения компонентов на сцене и должны быть сформированы пространственно компактные системы. Пока не представляется возможным точно исключить собственное значение $E$ из эффективной динамики, полученной путем проецирования на собственные состояния достаточно низкой энергии $H_{0}$ для облегчения достоверных расчетов.

К счастью, вместо этого можно использовать смену базиса. А именно, можно определить процедуру, в которой базисные состояния вращаются таким образом, что матричные элементы $H_{I}$ исчезают между базисными состояниями, что согласно $H_{0}$ отличаются по энергии более чем на бегущее отсечение, скажем $\lambda$. Рабочая граница называется энергетической шириной полосы. Название происходит от зонно-диагональной формы матрицы Гамильтона в новом базисе, упорядоченном по энергии с помощью $H_{0}$. Различные значения рабочей отсечки $\lambda$ соответствуют использованию по-разному повернутых базисных состояний. Вращение спроектировано так, чтобы вообще не зависеть от собственных значений. $E$ человек хочет вычислить.

В результате в повернутом базисе получается эффективная матричная задача на собственные значения гамильтоновой матрицы, в которой зависимость от обрезания $\Lambda$ может проявиться лишь в явной зависимости матричных элементов нового $H_{\rm {eff}}$. Две черты сходства, которые (1) $\Lambda$-зависимость становится явной, прежде чем мы приступим к решению проблемы собственных значений для $H_{\rm {eff}}$ и (2) эффективный гамильтониан с малой энергетической шириной может не зависеть от собственных значений, которые пытаются найти, что позволяет заранее обнаружить необходимые контрчлены к расходящейся зависимости от обрезания. Полный набор контрчленов определяет набор параметров, необходимых для определения теории, имеющей конечную энергетическую полосу пропускания. $\lambda$ и нет зависимости от среза в полосе. В ходе обнаружения контрчленов и соответствующих им параметров происходит постоянное изменение исходного гамильтониана. В конце концов, полный гамильтониан может иметь обрезанные независимые собственные значения, включая связанные состояния.

В случае гамильтониана фронтальной формы для КХД пертурбативная версия процедуры перенормировки группы подобия изложена Уилсоном и др. Дальнейшее обсуждение вычислительных методов, вытекающих из концепции перенормировочной группы подобия, представлено в следующем разделе.

Процедура ренормгруппы для эффективных частиц

Процедура перенормировки группы подобия, обсуждаемая в разделе #Преобразования подобия , может быть применена к задаче описания связанных состояний кварков и глюонов с использованием КХД в соответствии с общей вычислительной схемой, изложенной Уилсоном и др. и проиллюстрировано в численно решаемой модели Глазека и Уилсона. После завершения этих работ метод стал применяться к различным физическим системам с использованием разложения по слабой связи. Совсем недавно подобие превратилось в вычислительный инструмент, называемый процедурой ренормгруппы для эффективных частиц, или RGPEP. В принципе, RGPEP теперь определяется без необходимости ссылки на какое-то пертурбативное расширение. Самое последнее объяснение RGPEP дано Глазеком в терминах элементарной и точно решаемой модели релятивистских фермионов, которые взаимодействуют через член смешения масс произвольной силы в их гамильтониане.

Эффективные частицы можно рассматривать как результат динамического преобразования, подобного преобразованию Мелоша, от тока к составляющим кваркам. А именно, преобразование RGPEP заменяет затраченные кванты в канонической теории на эффективные кванты в эквивалентной эффективной теории с гамильтонианом, имеющим энергетическую ширину $\lambda$; см. Преобразования #Similarity и ссылки там для объяснения полосы. Преобразования, которые меняют $\lambda$ сформировать группу.

Эффективные частицы вводятся путем преобразования

$\psi _{s}=U_{s}\,\psi _{0}\,U_{s}^{\dagger }\,,$

где $\psi _{s}$ — это оператор квантового поля, построенный на основе операторов рождения и уничтожения эффективных частиц размером $s\sim 1/\lambda$ и $\psi _{0}$ - это исходный оператор квантового поля, построенный на основе операторов рождения и уничтожения точечных голых квантов канонической теории. Вкратце, каноническая плотность гамильтониана строится из полей $\psi _{0}$ и эффективный гамильтониан в масштабе $s$ построен из полей $\psi _{s}$, но без фактического изменения гамильтониана. Таким образом,

$H_{s}(\psi _{s})=H_{0}(\psi _{0})\,,$

это означает, что одна и та же динамика выражается через разные операторы для разных значений $s$. Коэффициенты $c_{s}$ в разложении гамильтониана по степеням операторов поля $\psi _{s}$ зависеть от $s$ и операторы поля зависят от $s$, но гамильтониан не меняется с увеличением $s$. RGPEP предоставляет уравнение для коэффициентов $c_{s}$ как функции $s$.

В принципе, если бы точно решить уравнение RGPEP для гамильтониана фронтальной формы КХД, проблему собственных значений можно было бы записать с использованием эффективных кварков и глюонов, соответствующих любым $s$. В частности, для $s$ очень мала, проблема собственных значений будет включать очень большое количество виртуальных составляющих, способных взаимодействовать с большой передачей импульса, примерно до ширины полосы пропускания. $\lambda \sim 1/s$. Напротив, та же задача на собственные значения, записанная в терминах квантов, соответствующих большому $s$Предполагается, что , сравнимое с размером адронов, примет форму простого уравнения, напоминающего составляющие модели кварков . Математически продемонстрировать, что именно это и происходит в РГПЭП в КХД, представляет собой серьезную задачу.

Уравнение Бете – Солпитера

Амплитуда Бете-Солпитера, удовлетворяющая уравнению Бете-Солпитера (см. обзоры Наканиси ), при проецировании на плоскость светового фронта получается волновая функция светового фронта. Смысл «проекции светового фронта» следующий. В координатном пространстве амплитуда Бете–Солпитера является функцией двух четырехмерных координат $x_{1,2}=(ct_{1,2},{\vec {x}}_{1,2})$, а именно: $\Phi =\Phi (x_{1},x_{2};p)$, где $p$ – полный четырехимпульс системы. В импульсном пространстве это определяется преобразованием Фурье:

$\Phi (k_{1},k_{2};p)=\int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\Phi (x_{1},x_{2};p)\exp(ik_{1}x_{1}+ik_{2}x_{2})$

(пространство импульсов, амплитуда Бете–Солпитера $\Phi (k_{1},k_{2};p)$ определенное таким образом, включает в себя дельта-функцию, отвечающую за сохранение импульса $k_{1}+k_{2}=p$). Проекция светового фронта означает, что аргументы $x_{1},x_{2}$ лежат на плоскости светового фронта, т. е. ограничены условием (в ковариантной формулировке): $\omega \cdot x_{1}=\omega \cdot x_{2}=0$. Это достигается подстановкой в ​​преобразование Фурье соответствующих дельта-функций $\delta (\omega \cdot x_{1,2})$:

$\psi _{LF}\propto \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\delta (\omega \cdot x_{1})\delta (\omega \cdot x_{2})\Phi (x_{1},x_{2};p)\exp(ik_{1}x_{1}+ik_{2}x_{2}).$

Таким образом, мы можем найти волновую функцию светового фронта $\psi _{LF}$. Применяя эту формулу к амплитуде Бете-Солпитера с заданным полным угловым моментом, можно воспроизвести структуру углового момента волновой функции светового фронта, описанную в разделе Квантование светового фронта # Угловой момент . В частности, проецирование амплитуды Бете–Солпитера, соответствующей системе двух бесспиновых частиц с угловым моментом $l$, воспроизводит волновую функцию светового фронта

$\psi _{lm}({\vec {k}},{\hat {n}})=f_{1}(k,{\vec {k}}\cdot {\hat {n}})Y_{lm}({\hat {k}})+f_{2}(k,{\vec {k}}\cdot {\hat {n}})Y_{lm}({\hat {n}}),$

приведено в разделе «Квантование светового фронта» # «Угловой момент» .

Амплитуда Бете–Солпитера включает в себя пропагаторы внешних частиц и поэтому сингулярна. Его можно представить в виде интеграла Наканиши через невырожденную функцию $g(\gamma ,z)$:

$\Phi (k,p)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-1}^{1}dz'\int _{0}^{\infty }d\gamma '{\frac {g(\gamma ',z')}{\left[\gamma '+m^{2}-{\frac {1}{4}}M^{2}-k^{2}-p\cdot k\;z'-i\epsilon \right]^{3}}},$ ( 1 )

где $k=(k_{1}-k_{2})/2$ – относительный четырехимпульс. Весовая функция Наканиши $g(\gamma ,z)$ находится из уравнения и обладает свойствами: $g(\gamma ,z=\pm 1)=0$, $g(\gamma \to \infty ,z)\to 0$. Проецируя амплитуду Бете–Солпитера ( 1 ) на плоскость светового фронта, мы получаем следующее полезное представление для волновой функции светового фронта (см. обзор Карбонелла и Карманова ):

$\psi _{LF}(k_{\perp },x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x(1-x)g(\gamma ',1-2x)d\gamma '}{{\Bigl [}\gamma '+k_{\perp }^{2}+m^{2}-x(1-x)M^{2}{\Bigr ]}^{2}}}.$

Оказывается, массы системы двух тел, найденные из уравнения Бете–Солпитера для $\Phi (k,p)$ и из уравнения светового фронта для $\psi _{LF}(k_{\perp },x)$ с ядром, соответствующим одному и тому же физическому содержанию, скажем, однобозонный обмен (которые, однако, в обоих подходах имеют весьма разные аналитические формы) очень близки друг к другу. То же самое справедливо и для электромагнитных форм-факторов. Это, несомненно, доказывает существование трехчастичных сил, хотя вклад релятивистского происхождения, конечно, не исчерпывает всех вкладов. Та же самая релятивистская динамика должна порождать четырехчастичные силы и т. д. Поскольку в ядрах малые энергии связи (относительно массы нуклона) возникают в результате сокращения между кинетической и потенциальной энергиями (которые сравнимы с массой нуклона и, следовательно, релятивистскими), заметны релятивистские эффекты в ядрах. Следовательно, для точной настройки экспериментальных данных необходимо учитывать силы многих тел.

Структура вакуума и нулевые моды

Одним из преимуществ квантования светового фронта является то, что пустое состояние, так называемый пертурбативный вакуум, является физическим вакуумом. Массивные состояния теории затем могут быть построены на этом низшем состоянии без каких-либо вкладов вакуумной структуры, а волновые функции этих массивных состояний не содержат вакуумных вкладов. Это происходит потому, что каждый $p_{i}^{+}$ положителен, и взаимодействия теории не могут производить частицы из вакуума с нулевым импульсом без нарушения сохранения импульса. Нет необходимости в обычном порядке заказывать пылесос с легким фронтом .

Однако некоторые аспекты некоторых теорий связаны со структурой вакуума. Например, механизм Хиггса Стандартной модели основан на спонтанном нарушении симметрии в вакууме теории. Обычное вакуумное математическое ожидание Хиггса в мгновенной форме заменяется на $k^{+}=0$ нулевая мода, аналогичная постоянному полю Штарка при квантовании Стандартной модели с использованием передней формы. Нарушение киральной симметрии квантовой хромодинамики в мгновенной форме часто связывают с кварковыми и глюонными конденсатами в вакууме КХД. Однако при использовании формы фронта эти эффекты становятся свойствами самих волновых функций адронов. Это также устраняет конфликт на многие порядки между измеренной космологической постоянной и квантовой теорией поля.

Некоторые аспекты структуры вакуума при квантовании светового фронта можно проанализировать, изучая свойства массивных состояний. В частности, изучая возникновение вырождений среди низших массивных состояний, можно определить критическую силу связи, связанную со спонтанным нарушением симметрии. Можно также использовать предельный процесс, при котором анализ начинается с равновременного квантования, но заканчивается в координатах светового фронта как пределе некоторого выбранного параметра. Гораздо более прямой подход - включить моды с нулевым продольным импульсом (нулевые моды) в расчет нетривиального вакуума светового фронта, построенного на основе этих мод; тогда гамильтониан содержит эффективные взаимодействия, которые определяют структуру вакуума и обеспечивают нулевые обменные взаимодействия между составляющими массивных состояний.

См. также

• Легкое фронтальное квантование
• Приложения квантования светового фронта
• Квантовые теории поля
• Квантовая хромодинамика
• Квантовая электродинамика
• Светофронтная голография

Внешние ссылки

• ILCAC, Inc. , Международный консультативный комитет светового конуса.
• Публикации по динамике светового фронта , поддерживаемые А. Хариндранатом.