Практически

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , изучающей бесконечные группы , наречие фактически используется для изменения свойства так, что оно должно выполняться только для подгруппы с конечным индексом . Учитывая свойство P, группа G называется виртуально P, если существует подгруппа конечного индекса. $H\leq G$ такой, что H обладает свойством P.

Обычно это используется в случаях, когда P абелева , нильпотентна , разрешима или свободна . Например, виртуально разрешимые группы являются одной из двух альтернатив в альтернативе Титса , в то время как теорема Громова утверждает, что конечно порожденные группы с полиномиальным ростом - это в точности конечно порожденные практически нильпотентные группы.

Эта терминология также используется, когда P — это просто еще одна группа. То есть, если G и H — группы, то практически H является , если G имеет подгруппу K конечного индекса в G такую, K изоморфна что H G .

В частности, группа практически тривиальна тогда и только тогда, когда она конечна. Две группы практически равны тогда и только тогда, когда они соизмеримы .

Примеры

Практически абелева

Следующие группы практически абелевы.

Любая абелева группа.
Любой полупрямой продукт $N\rtimes H$ где N абелева, а H конечна. (Например, любая обобщенная группа диэдра .)
Любой полупрямой продукт $N\rtimes H$ где N конечно, а H абелева.
Любая конечная группа (поскольку тривиальная подгруппа абелева).

Практически нильпотентный

Любая группа практически абелева.
Любая нильпотентная группа.
Любой полупрямой продукт $N\rtimes H$ где N нильпотентен, а H конечен.
Любой полупрямой продукт $N\rtimes H$ где N конечно, а H нильпотентно.

Теорема Громова утверждает, что конечно порожденная группа практически нильпотентна тогда и только тогда, когда она имеет полиномиальный рост.

Практически полициклический

Практически бесплатно

Любая бесплатная группа .
Любая практически циклическая группа.
Любой полупрямой продукт $N\rtimes H$ где N свободен, а H конечен.
Любой полупрямой продукт $N\rtimes H$ где N конечно, а H свободно.
Любой бесплатный продукт $H*K$ , где H и K конечны. (Например, модульная группа $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ .)

следует Из теоремы Столлинга , что любая виртуально свободная группа без кручения свободна.

Другие

Бесплатная группа $F_{2}$ на 2 генераторах практически $F_{n}$ для любого $n\geq 2$ как следствие теоремы Нильсена-Шрайера и формулы индекса Шрайера .

Группа $\operatorname {O} (n)$ виртуально связан как $\operatorname {SO} (n)$ имеет индекс 2.

Ссылки

Шнебели, Ганс Рудольф (1978). «О виртуальных свойствах и расширениях групп». Математический журнал . 159 : 159–167. дои : 10.1007/bf01214488 . Збл 0358.20048 .