Координаты линии

В геометрии так же , координаты линии используются для указания положения линии точно как координаты точки (или просто координаты ) используются для указания положения точки.

Линии на плоскости [ править ]

Существует несколько возможных способов указать положение линии на плоскости. Простой способ — использовать пару ( m , b ) , где уравнение линии — y = mx + b . Здесь m — наклон , а b — точка y пересечения оси . Эта система определяет координаты для всех линий, которые не являются вертикальными. Однако более распространено и проще алгебраически использовать координаты ( l , m ) , где уравнение линии имеет вид lx + my + 1 = 0. Эта система определяет координаты для всех линий, кроме тех, которые проходят через начало координат. Геометрические интерпретации l и m являются отрицательными обратными величинами точки x и y пересечения соответственно.

Исключение линий, проходящих через начало координат, можно решить, используя систему трех координат ( l , m , n ), чтобы указать линию с уравнением lx + my + n = 0. Здесь l и m не могут быть оба равны 0. В этом уравнении значимы только отношения между l , m и n , другими словами, если координаты умножаются на ненулевой скаляр, то представленная линия остается той же. Итак ( l , m , n ) — система однородных координат прямой.

Если точки на вещественной проективной плоскости представлены однородными координатами ( x , y , z ) , уравнение прямой будет lx + my + nz = 0 при условии ( l , m , n ) ≠ (0,0,0) . В частности, координата линии (0, 0, 1) представляет линию z = 0, которая является линией, находящейся на бесконечности в проективной плоскости . Линейные координаты (0, 1, 0) и (1, 0, 0) представляют собой оси x и y соответственно.

Тангенциальные уравнения [ править ]

Точно так же, как f ( x , y ) = 0 может представлять кривую как подмножество точек на плоскости, уравнение φ( l , m ) = 0 представляет подмножество линий на плоскости. Набор прямых на плоскости в абстрактном смысле можно рассматривать как набор точек на проективной плоскости, двойственной исходной плоскости. Уравнение φ( l , m ) = 0 тогда представляет кривую в двойной плоскости.

Для кривой f ( x , y ) = 0 на плоскости касательные к кривой образуют кривую в двойственном пространстве, называемую двойственной кривой . Если φ( l , m ) = 0 — уравнение двойственной кривой, то оно называется касательным уравнением для исходной кривой. Данное уравнение φ( l , m ) = 0 представляет собой кривую в исходной плоскости, определяемую как огибающую линий, удовлетворяющих этому уравнению. Аналогично, если φ( l , m , n ) является однородной функцией , то φ( l , m , n ) = 0 представляет собой кривую в двойственном пространстве, заданную в однородных координатах, и может быть названа однородным касательным уравнением огибающей кривой. .

Тангенциальные уравнения полезны при изучении кривых, определяемых как огибающие, так же, как декартовы уравнения полезны при изучении кривых, определяемых как локусы.

Тангенциальное уравнение точки [ править ]

Линейное уравнение в линейных координатах имеет вид al + bm + c = 0, где a , b и c — константы. Предположим, ( l , m ) — линия, удовлетворяющая этому уравнению. Если c не равно 0, то lx + my + 1 = 0, где x = a / c и y = b / c , поэтому каждая линия, удовлетворяющая исходному уравнению, проходит через точку ( x , y ). И наоборот, любая линия, проходящая через ( x , y ), удовлетворяет исходному уравнению, поэтому al + bm + c = 0 является уравнением набора линий, проходящих через ( x , y ). Для данной точки ( x , y ) уравнение набора прямых равно lx + my + 1 = 0, поэтому его можно определить как касательное уравнение точки. Аналогично, для точки ( x , y , z ), заданной в однородных координатах, уравнение точки в однородных касательных координатах равно lx + my + nz = 0.

Формулы [ править ]

Пересечение прямых ( l ₁ , m ₁ ) и ( l ₂ , m ₂ ) является решением линейных уравнений

l_{1}x+m_{1}y+1=0

l_{2}x+m_{2}y+1=0.

По правилу Крамера решение:

x={\frac {m_{1}-m_{2}}{l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}}},\,y=-{\frac {l_{1}-l_{2}}{l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}}}.

Прямые ( l ₁ , m ₁ ), ( l ₂ , m ₂ ) и ( l ₃ , m ₃ ) совпадают , когда определитель

{\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}&1\\l_{2}&m_{2}&1\\l_{3}&m_{3}&1\end{vmatrix}}=0.

Для однородных координат пересечение прямых ( l ₁ , m ₁ , n ₁ ) и ( l ₂ , m ₂ , n ₂ ) равно

(m_{1}n_{2}-m_{2}n_{1},\,l_{2}n_{1}-l_{1}n_{2},\,l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}).

Прямые ( l ₁ , m ₁ , n ₁ ), ( l ₂ , m ₂ , n ₂ ) и ( l ₃ , m ₃ , n ₃ ) совпадают , когда определитель

{\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}&n_{1}\\l_{2}&m_{2}&n_{2}\\l_{3}&m_{3}&n_{3}\end{vmatrix}}=0.

Двойственно, координаты линии, содержащей ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ), равны

(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\,x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\,x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}).

Линии в трехмерном пространстве [ править ]

Для двух данных точек вещественной проективной плоскости ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) три определителя

y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\,x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\,x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}

определите проективную прямую, содержащую их.

Аналогично для двух точек в RP ³, ( x ₁ , y ₁ , z ₁ , w ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ , z ₂ , w ₂ ), строка, содержащая их, определяется шестью определителями

x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},\,x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1},\,y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\,x_{1}w_{2}-x_{2}w_{1},\,y_{1}w_{2}-y_{2}w_{1},\,z_{1}w_{2}-z_{2}w_{1}.

Это основа системы однородных линейных координат в трехмерном пространстве, называемой координатами Плюккера . Шесть чисел в наборе координат представляют линию только в том случае, если они удовлетворяют дополнительному уравнению. Эта система отображает пространство линий в трехмерном пространстве в проективное пространство RP. ⁵, но с дополнительным требованием пространство прямых соответствует квадрике Клейна , которая является многообразием размерности четыре.

В более общем смысле, линии в n -мерном проективном пространстве определяются системой из n ( n - 1)/2 однородных координат, которые удовлетворяют набору ( n - 2) ( n - 3)/2 условий, в результате чего образуется многообразие. размерности 2 n − 2.

С комплексными числами [ править ]

Исаак Яглом показал ^[1] как двойственные числа обеспечивают координаты ориентированных прямых на евклидовой плоскости, а расщепленные комплексные числа образуют координаты линий на гиперболической плоскости . Координаты зависят от наличия на ней начала координат и опорной линии. Затем по произвольной линии находятся ее координаты по пересечению с опорной линией. Используются расстояние s от начала координат до пересечения и угол наклона θ между двумя линиями:

$z=\left(\tan {\frac {\theta }{2}}\right)(1+s\epsilon )$ это двойное число ^[1]^: 81 для евклидовой линии, и
$z=\left(\tan {\frac {\theta }{2}}\right)(\cosh s+j\sinh s)$ – расщепленное комплексное число ^[1]^: 118 для линии в плоскости Лобачевского.

Поскольку в плоскости Лобачевского существуют линии, ультрапараллельные базовой линии, им тоже нужны координаты: существует единственный общий перпендикуляр , скажем, s — расстояние от начала координат до этого перпендикуляра, а d — длина отрезка между точкой отсчета и точкой отсчета. данную строку.