Периодический график (геометрия)
Евклидов граф (граф, вложенный в некоторое евклидово пространство ) является периодическим , если существует базис этого евклидова пространства, соответствующие сдвиги которого вызывают симметрии этого графа (т. е. применение любого такого перевода к графу, вложенному в евклидово пространство, оставляет граф без изменений). Эквивалентно, периодический евклидов граф — это периодическая реализация абелева накрывающего графа над конечным графом. [1] [2] Евклидов граф равномерно дискретен , если между любыми двумя вершинами существует минимальное расстояние. Периодические графы тесно связаны с мозаикой пространства (или сот) и геометрией их групп симметрии , следовательно, с геометрической теорией групп , а также с дискретной геометрией и теорией многогранников и подобными областями.
Большая часть усилий по созданию периодических графов мотивирована приложениями к естествознанию и технике, особенно к трехмерным кристаллическим сетям для инженерии кристаллов , прогнозирования (проектирования) кристаллов и моделирования поведения кристаллов. Периодические графы также изучались при моделировании схем очень большой интеграции (СБИС) . [3]
Основная формулировка [ править ]
Евклидов граф — это пара ( V , E ), где V — это набор точек (иногда называемых вершинами или узлами), а E — это набор ребер (иногда называемых связями), где каждое ребро соединяет две вершины. В то время как ребро, соединяющее две вершины u и v, обычно интерпретируется как набор { u , v }, ребро иногда интерпретируется как отрезок прямой, соединяющий u и v, так что результирующая структура представляет собой комплекс CW . В полиэдрической и химической литературе существует тенденция называть геометрические графы сетями (в отличие от многогранных сетей ), а номенклатура в химической литературе отличается от номенклатуры теории графов. [4] Большая часть литературы посвящена периодическим графам, которые равномерно дискретны , поскольку существует e > 0 такое, что для любых двух различных вершин расстояние между ними равно | ты – в | > е .
С математической точки зрения евклидов периодический граф — это реализация бесконечнократного абелева накрывающего графа над конечным графом.
Получение периодичности [ править ]
Идентификация и классификация кристаллографических пространственных групп заняла большую часть XIX века, а подтверждение полноты списка завершилось теоремами Евграфа Федорова и Артура Шенфлиса . [5] Проблема была обобщена в восемнадцатой проблеме Дэвида Гильберта , а теорема Федорова-Шенфлиса была обобщена на более высокие измерения Людвигом Бибербахом . [6]
Теорема Федорова–Шенфлиса утверждает следующее. Предположим, что дан евклидов граф в трехмерном пространстве такой, что справедливы следующие условия:
- Он равномерно дискретен в том смысле, что существует e > 0 такое, что для любых двух различных вершин расстояние между ними равно | ты – в | > е .
- Он заполняет пространство в том смысле, что для любой плоскости в трехмерном пространстве существуют вершины графа по обе стороны плоскости.
- Каждая вершина имеет конечную степень или валентность .
- Под группой симметрии геометрического графа имеется конечное число орбит вершин.
Тогда евклидов граф является периодическим в том смысле, что векторы сдвигов в его группе симметрии охватывают основное евклидово пространство, а его группа симметрии является кристаллографической пространственной группой .
В науке и технике интерпретация заключается в том, что, поскольку евклидов граф, представляющий материал, простирающийся в пространстве, должен удовлетворять условиям (1), (2) и (3), некристаллические вещества от квазикристаллов до стекол должны нарушать (4). Однако за последнюю четверть века было признано, что квазикристаллы обладают достаточно многими общими химическими и физическими свойствами с кристаллами, поэтому существует тенденция классифицировать квазикристаллы как «кристаллы» и соответствующим образом корректировать определение «кристалл». [7]
Математика и вычисления [ править ]
Большая часть теоретических исследований периодических графов сосредоточена на проблемах их генерации и классификации.
Проблемы классификации
Большая часть работ по проблемам классификации была сосредоточена на трех измерениях, особенно на классификации кристаллических сетей , то есть периодических графов, которые могли бы служить описаниями или схемами размещения атомов или молекулярных объектов со связями, обозначенными краями, в кристалле. . Одним из наиболее популярных критериев классификации является изоморфизм графов, который не следует путать с кристаллографическим изоморфизмом . Два периодических графа часто называют топологически эквивалентными , если они изоморфны, хотя и не обязательно гомотопны . Даже несмотря на то, что проблема изоморфизма графов сводится за полиномиальное время к топологической эквивалентности кристаллической сети (что делает топологическую эквивалентность кандидатом на роль «вычислительно неразрешимой» в том смысле, что она не вычислима за полиномиальное время ), кристаллическая сеть обычно считается новой тогда и только тогда, когда топологически эквивалентная сеть неизвестна. Это привлекло внимание к топологическим инвариантам.
Одним из инвариантов является массив минимальных циклов (часто называемых кольцами в химической литературе), расположенных вокруг общих вершин и представленных символом Шлефли . Циклы кристаллической сети связаны [8] к другому инварианту, инварианту координационной последовательности (или карте оболочки в топологии [9] ), который определяется следующим образом. Во-первых, последовательность расстояний от вершины v в графе — это последовательность n 1 , n 2 , n 3 , ..., где n i — количество вершин на расстоянии i от v . Координационной последовательностью является последовательность s 1 , s 2 , s 3 , ..., где s i — средневзвешенное значение i -х вхождений последовательностей расстояний вершин (орбит) кристаллических сетей, где веса — это асимптотическая пропорция вершин каждой орбиты. Совокупные суммы координационной последовательности обозначаются топологической плотностью , а сумма первых десяти членов (плюс 1 для нулевого термина) – часто обозначаемая TD10 – является стандартным термином поиска в базах данных кристаллических сетей. Видеть [10] [11] для математического аспекта топологической плотности, который тесно связан со свойством больших отклонений простых случайных блужданий.
Другой инвариант возникает из связи между мозаикой и евклидовыми графами. Если мы рассматриваем мозаику как совокупность (возможно, многогранных) сплошных областей, (возможно, многоугольных) граней, (возможно, линейных) кривых и вершин – то есть как CW-комплекс – тогда кривые и вершины образуют евклидов граф ( или 1-скелет ) мозаики. (Кроме того, граф смежности плиток порождает еще один евклидов граф.) Если в замощении конечное число прототайлов и замощение является периодическим, то результирующий евклидов граф будет периодическим. Идя в обратном направлении, прототипы мозаики, чей 1-скелет является (топологически эквивалентным) данному периодическому графу, имеют другой инвариант, и именно этот инвариант вычисляется компьютерной программой TOPOS. [12]
Создание периодических графиков [ править ]
Существует несколько существующих алгоритмов перечисления периодических графов, включая модификацию существующих сетей для создания новых, [13] но, похоже, существует два основных класса счетчиков.
Один из основных кристаллической сети . существующих алгоритмов систематического перебора [14] основан на представлении мозаики посредством обобщения символа Шлефли Бориса Делоне и Андреаса Дресса, с помощью которого любая мозаика (любого измерения) может быть представлена конечной структурой, [15] который мы можем назвать символом Дресса-Делейни . Любой эффективный перечислитель символов Дресса – Делейни может эффективно перечислять те периодические сети, которые соответствуют мозаике. Трехмерный перечислитель символов Дресса-Делейни, предложенный Дельгадо-Фридрихсом и др. предсказал несколько новых кристаллических сетей, которые были позже синтезированы. [16] Между тем, двумерный перечислитель Дресса-Делейни, генерирующий сетки двумерного гиперболического пространства , которое хирургически рассечено и обернуто вокруг тройной периодической минимальной поверхности, такой как Gyroid , Diamond или Primitive , создал множество новых кристаллических сетей. [17] [18]
Другой существующий счетчик в настоящее время сосредоточен на создании вероятных кристаллических сетей цеолитов . Расширение группы симметрии на трехмерное пространство позволяет охарактеризовать фундаментальную область (или область) трехмерного пространства, пересечение которой с сетью порождает подграф, который в общем положении будет иметь по одной вершине из каждой орбиты вершин. Этот подграф может быть связным, а может и не быть, и если вершина лежит на оси вращения или какой-либо другой фиксированной точке некоторой симметрии сети, вершина обязательно может лежать на границе любой фундаментальной области. В этом случае сеть может быть создана путем применения группы симметрии к подграфу в фундаментальной области. [19] Разработаны и другие программы, аналогичным образом генерирующие копии исходного фрагмента и склеивающие их в периодический граф. [20]
См. также [ править ]
- Периодические графики как модели кристаллов для дизайна.
Ссылки [ править ]
- ^ Сунада, Т. (2012), «Лекция по топологической кристаллографии», Япония. Дж. Математика. , 7 : 1–39, doi : 10.1007/s11537-012-1144-4 , S2CID 255312584
- ^ Сунада, Т. (2012), Топологическая кристаллография с точки зрения дискретного геометрического анализа , обзоры и учебные пособия по прикладным математическим наукам, том. 6, Спрингер
- ^ Коэн, Э .; Мегиддо, Н. (1991), «Распознавание свойств периодических графов», Прикладная геометрия и дискретная математика: The Victor Klee Festschrift (PDF) , Серия DIMACS по дискретной математике и теоретической информатике, том. 4, стр. 135–146, doi : 10.1090/dimacs/004/10 , ISBN. 9780821865934 , получено 15 августа 2010 г.
- ^ Дельгадо-Фридрихс, О.; О'Киф, М. (2005), «Кристаллические сети как графики: Терминология и определения», Journal of Solid State Chemistry , 178 (8): 2480–2485, Бибкод : 2005JSSCh.178.2480D , doi : 10.1016/j.jssc .2005.06.011
- ^ Сенешаль, М. (1990), «Краткая история геометрической кристаллографии», в Лима-де-Фариа, Дж. (ред.), Исторический атлас кристаллографии , Kluwer, стр. 43–59.
- ^ Винберг, Е.Б.; Шварцман О.В. (1993), «Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны», в Винберге, Э.Б. (ред.), Геометрия II: Пространства постоянной кривизны , Springer-Verlag
- ^ Сенешаль, М. (1995), Квазикристаллы и геометрия , Кембриджский университет, стр. 27
- ^ Эон, Дж. Г. (2004), «Топологическая плотность сетей: прямой расчет», Acta Crystallogr. A , 60 (Pt 1): 7–18, Bibcode : 2004AcCrA..60....7E , doi : 10.1107/s0108767303022037 , PMID 14691323 .
- ^ Асте, Т. (1999), «Карта ракушек», в Садоке, Дж. Ф.; Ривьер, Н. (ред.), КАРТА РАКУШКИ: Структура пен через динамическую карту , Пены и эмульсии, Kluwer, стр. 497–510, arXiv : cond-mat/9803183 , Bibcode : 1998cond.mat..3183A
- ^ М. Котани и Т. Сунада «Геометрические аспекты больших отклонений случайных блужданий по кристаллическим решеткам» В: Микролокальный анализ и комплексный анализ Фурье (Т. Каваи и К. Фудзита, редактор), World Scientific, 2002, стр. 215. –237.
- ^ Котани, М.; Сунада, Т. (2006), «Большое отклонение и касательный конус на бесконечности кристаллической решетки», Math. З. , 254 (4): 837–870, doi : 10.1007/s00209-006-0951-9 , S2CID 122531716
- ^ Блатов В.А.; Прозерпио, Д.М., Пакет программ TOPOS для топологического анализа кристаллических структур , получено 15 августа 2010 г.
- ^ Эрл, диджей; Дим, М.В. (2006), «К базе данных гипотетических структур цеолита», Индиана, Англия. хим. Рез. , 45 (16): 5449–5454, doi : 10.1021/ie0510728 , S2CID 40620797
- ^ Дельгадо Фридрихс, О.; Платье, АВМ; Хьюсон, Д.Х.; Клиновски Дж.; Маккей, Ал. (12 августа 1999 г.), «Систематическое перечисление кристаллических сетей», Nature , 400 (6745): 644–647, Бибкод : 1999Natur.400..644D , doi : 10.1038/23210 , S2CID 4388277 .
- ^ Платье, А.; Дельгадо Фридрихс, О.; Хьюсон, Д. (1995), «Алгоритмический подход к мозаике», в книге Чарльза Дж., Колборн ; Эбадолла С., Махмудиан (ред.), Достижения комбинаторики: материалы двадцать пятой ежегодной иранской математической конференции (AIMC25), состоявшейся в Технологическом университете Шарифа, Тегеран, 28–31 марта 1994 г. , Математика и ее приложения, том. 329, Клувер, стр. 111–119, номер документа : 10.1007/978-1-4613-3554-2_7.
- ^ Нуар, Фарид; Юбанк, Джаррод Ф.; Буске, Тилль; Войтас, Лукаш; Заворотко, Майкл Дж.; Эддауди, Мохамед (2008), «Супермолекулярные строительные блоки (СББ) для проектирования и синтеза высокопористых металлоорганических каркасов», Журнал Американского химического общества , 130 (6): 1833–1835, doi : 10.1021/ja710123s , ПМИД 18205363
- ^ Рамсден, С.Дж.; Робинс, В .; Хайд, С. (2009), «Трехмерные евклидовы сети из двумерных гиперболических мозаик: калейдоскопические примеры», Acta Crystallogr. A , 65 (Pt 2): 81–108, Bibcode : 2009AcCrA..65...81R , doi : 10.1107/S0108767308040592 , PMID 19225190 .
- ^ EPINET: Евклидовы закономерности в неевклидовых мозаиках , получено 30 января 2013 г.
- ^ Трейси, MMJ; Ривин, И.; Балковский Е.; Рэндалл, КХ; Фостер, доктор медицинских наук (2004), «Перечисление периодических тетраэдрических каркасов. II. Полинодальные графы» (PDF) , Microporous and Mesoporous Materials , 74 (1–3): 121–132, doi : 10.1016/j.micromeso.2004.06.013 , получено 15 августа 2010 г.
- ^ ЛеБейл, А. (2005), «Прогнозирование неорганической структуры с помощью GRINSP», J. Appl. Кристаллогр. , 38 (2): 389–395, doi : 10.1107/S0021889805002384
Дальнейшее чтение [ править ]
- Конвей, Дж. Х. ; Бургель, Х.; Гудман-Штраус, К. (2008), Симметрии вещей , А. К. Питерс
- Котани, М.; Сунада, Т. (2000), «Карты Альбанезе и недиагональная долговременная асимптотика теплового ядра», Comm. Математика. Физ. , 209 (3): 633–670, Bibcode : 2000CMaPh.209..633K , doi : 10.1007/s002200050033 , S2CID 121065949
- Котани, М.; Сунада, Т. (2003), «Спектральная геометрия кристаллических решеток», Contemporary Math. , Современная математика, 338 : 271–305, doi : 10.1090/conm/338/06077 , ISBN 9780821833834
- Казами, Т.; Утияма, К. (2008), «Случайные блуждания по периодическим графам», Transactions of the American Mathematical Society , 360 (11): 6065–6087, doi : 10.1090/S0002-9947-08-04451-6 .