Операция симметрии

В математике операция симметрии — это геометрическое преобразование объекта, в результате которого объект выглядит прежним после выполнения. Например, оборота 1/3 , вокруг Поворот на правильного треугольника его центра отражение квадрата через . его диагональ , сдвиг евклидовой плоскости или точечное отражение сферы через ее центр — все это операции симметрии Каждая операция симметрии выполняется относительно некоторого элемента симметрии (точки, линии или плоскости). ^[1]

В контексте молекулярной симметрии операция симметрии — это перестановка атомов, при которой молекула или кристалл преобразуются в состояние, неотличимое от исходного состояния.Из этого определения следуют два основных факта, подчеркивающих его полезность.

Физические свойства должны быть инвариантны относительно операций симметрии.
Операции симметрии могут быть собраны в группы, изоморфные перестановок группам .

В контексте молекулярной симметрии квантовые волновые функции не обязательно должны быть инвариантными, поскольку эта операция может умножать их на фазу или смешивать состояния в вырожденном представлении, не затрагивая никаких физических свойств.

Молекулы

Операция идентификации

Операция идентификации соответствует ничеговедению с объектом. Поскольку каждая молекула неотличима от самой себя, если с ней ничего не делают, каждый объект обладает по крайней мере операцией идентичности. обозначается $E$ или $I.$ Тождественная операция При операции тождества никаких изменений в молекуле не наблюдается. Даже самая асимметричная молекула обладает операцией тождества. Необходимость такой операции тождества вытекает из математических требований теории групп.

Отражение через зеркальные плоскости

Операция отражения осуществляется относительно элементов симметрии, известных как плоскости симметрии или зеркальные плоскости. ^[2] Каждая такая плоскость обозначается $σ$ (сигма). Его ориентация относительно главной оси молекулы обозначена нижним индексом. Плоскость должна проходить сквозь молекулу и не может находиться полностью вне ее.

Если плоскость симметрии содержит главную ось молекулы (т. е. молекулярную $ось z$ ), ее обозначают как вертикальную зеркальную плоскость, что обозначается индексом $v$ ( $σ v$ ).
Если плоскость симметрии перпендикулярна главной оси, ее называют горизонтальной зеркальной плоскостью, что обозначается индексом $h$ ( $σ h$ ).
Если плоскость симметрии делит пополам угол между двумя осями 2-го порядка, перпендикулярными главной оси, она обозначается как двугранная зеркальная плоскость, что обозначается индексом $d$ ( $σ d$ ).

За счет отражения каждой плоскости зеркала молекула должна иметь возможность создавать идентичное изображение самой себя.

Операция инверсии

При инверсии через центр симметрии $i$ (элемент) мы представляем, что берем каждую точку молекулы, а затем перемещаем ее на то же расстояние на другую сторону. Таким образом, операция инверсии проецирует каждый атом через центр инверсии на то же расстояние на противоположной стороне. Центр инверсии — это точка пространства, лежащая в геометрическом центре молекулы. В результате все декартовы координаты атомов инвертируются (т.е. $x,y,z$ в $-x,-y,-z$ ). Символ, используемый для обозначения центра инверсии, — $i$ . Когда операция инверсии выполняется $n$ раз, она обозначается $i н$ , где $i^{n}=E$ когда $n$ четное и $i^{n}=-E$ когда $n$ нечетно.

Примеры молекул, имеющих центр инверсии, включают определенные молекулы с октаэдрической геометрией (общая формула AB ₆ ), плоская квадратная геометрия (общая формула АВ ₄ ) и этилен ( Н ₂ С=СН ₂ ). Примерами молекул без центров инверсии являются циклопентадиениды ( C ₅ H − 5 ) и молекулы с тригонально-пирамидальной геометрией (общая формула АВ ₃ ). ^[3]

Правильные операции вращения или n -кратное вращение

Правильное вращение означает простое вращение вокруг оси . Такие операции обозначаются ⁠ $C_{n}^{m},$ ⁠ где $C n$ — вращение ⁠ ${\tfrac {360^{\circ }}{n}}$ ⁠ или ⁠ ${\tfrac {2\pi }{n}},$ ⁠ выполнено $m$ раз. Верхний индекс $m$ опускается, если он равен единице. $C 1$ - поворот на 360°, где $n = 1$ . Это эквивалентно операции Identity ( $E$ ). $C 2$ — это поворот на 180°, так как ⁠ ${\tfrac {360^{\circ }}{2}}=180^{\circ },$ ⁠ $C 3$ — поворот на 120°, так как ⁠ ${\tfrac {360^{\circ }}{3}}=120^{\circ },$ ⁠ и так далее.

Здесь молекулу можно вращать в эквивалентные положения вокруг оси. Примером молекулы с $симметрией C 2$ является вода ( H ₂ O ) молекула. Если Молекула H ₂ O повернута на 180° вокруг оси, проходящей через атом кислорода, заметной разницы до и после $операции C 2$ не наблюдается.

Порядок $оси n$ можно рассматривать как количество раз, которое для наименьшего поворота, дающего эквивалентную конфигурацию, необходимо повторить, чтобы получить конфигурацию, идентичную исходной структуре (т. е. поворот на 360° или 2 $π$ ). Примером этого является $собственное вращение C 3$ , которое вращается на ⁠. ${\tfrac {2\pi }{3}}.$ ⁠ $C 3$ представляет собой первое вращение вокруг $оси C 3$ на ⁠ ${\tfrac {2\pi }{3}},$ ⁠ ⁠ $C_{3}^{2}$ ⁠ — вращение на ⁠ $2\times {\tfrac {2\pi }{3}},$ ⁠ пока ⁠ $C_{3}^{3}$ ⁠ — вращение на ⁠ $3\times {\tfrac {2\pi }{3}}.$ ⁠ ⁠ $C_{3}^{3}$ ⁠ — это идентичная конфигурация, поскольку она дает исходную структуру и называется единичным элементом ( $E$ ). Следовательно, $C 3$ имеет порядок трех и часто называется осью тройного порядка . ^[3]

Неправильные операции вращения

Неправильное вращение включает в себя два этапа: правильное вращение, за которым следует отражение через плоскость, перпендикулярную оси вращения. Неправильный поворот обозначается символом $S n,$ где $n$ — порядок. Поскольку неправильный поворот представляет собой комбинацию правильного вращения и отражения, $S n$ будет существовать всегда, когда $C n$ и перпендикулярная плоскость существуют отдельно. ^[3] $S 1$ обычно обозначается как $σ$ , операция отражения от зеркальной плоскости. $S 2$ обычно обозначается как $i$ , операция инверсии вокруг центра инверсии. Когда $n$ четное число $S_{n}^{n}=E,$ но когда $n$ нечетно $S_{n}^{2n}=E.$

Оси вращения, зеркальные плоскости и центры инверсии являются элементами симметрии , а не операциями симметрии. Ось вращения высшего порядка называется главной осью вращения. Обычно принято считать, что декартова $ось z$ молекулы содержит главную ось вращения.

Примеры

дихлорметан , СН ₂ Cl ₂ . Существует $ось вращения C 2$ , которая проходит через атом углерода и средние точки между двумя атомами водорода и двумя атомами хлора. Определим ось z как коллинеарную оси $C2 как$ , $плоскость xz$ содержащую CH ₂ и $плоскость yz$ как содержащие ССl ₂ . Операция вращения C $меняет 2$ местами два атома водорода и два атома хлора. Отражение в $плоскости yz$ меняет местами атомы водорода, а отражение в $плоскости xz$ — атомы хлора. Четыре операции симметрии $E$ , $C2 ($ , $σ xz)$ и $σ yz)$ образуют группу $C2v точечную ($ . Обратите внимание, что если любые две операции выполняются последовательно, результат будет таким же, как если бы была выполнена одна операция группы.

Метан , Ч ₄ . Помимо собственных вращений 2-го и 3-го порядка, существуют три взаимно перпендикулярные $оси S 4$ , которые проходят посередине между связями CH и шестью зеркальными плоскостями. Обратите внимание, что $S_{4}^{2}=C_{2}.$

Кристаллы

В кристаллах винтовые вращения и/или скользящие отражения дополнительно возможны . Это вращения или отражения вместе с частичным переводом. Эти операции могут меняться в зависимости от размеров кристаллической решетки.

Решетки Браве можно рассматривать как представляющие операции трансляционной симметрии. Комбинация операций кристаллографических точечных групп с операциями сложения симметрии дает 230 кристаллографических пространственных групп .

См. также

Молекулярная симметрия

Кристаллическая структура

Кристаллографическая ограничительная теорема

Ссылки

Ф.А. Коттон. Химические приложения теории групп , Уайли, 1962, 1971.

^ Аткинс, Питер (2006). ФИЗИЧЕСКАЯ ХИМИЯ Аткинса . Издательство Оксфордского университета Великобритании: WH Freeman and Company. п. 404. ИСБН 0-7167-8759-8 .
^ «Элементы симметрии и операции» (PDF) .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Коттон, Альберт (1990). Химические приложения теории групп . США: Wiley-Interscience . п. 23.

[1] Аткинс, Питер (2006). ФИЗИЧЕСКАЯ ХИМИЯ Аткинса . Издательство Оксфордского университета Великобритании: WH Freeman and Company. п. 404. ИСБН 0-7167-8759-8 .

[2] «Элементы симметрии и операции» (PDF) .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б ^с Коттон, Альберт (1990). Химические приложения теории групп . США: Wiley-Interscience . п. 23.

[1]

[2]

[3]