Закон полной вероятности

В теории вероятностей закон предельные (или формула ) полной вероятности является фундаментальным правилом, связывающим вероятности с условными вероятностями . Он выражает общую вероятность результата, который может быть реализован посредством нескольких различных событий , отсюда и название.

Заявление

Закон полной вероятности ^[1] теорема если , которая в дискретном случае утверждает, что $\left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}$ представляет собой конечное или счетно бесконечное множество взаимоисключающих и коллективно исчерпывающих событий, то для любого события $A$ :

P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})

или, альтернативно, ^[1]

P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}),

где для любого $n$ , если $P(B_{n})=0$ , то эти члены просто исключаются из суммирования, так как $P(A\mid B_{n})$ конечно.

Суммирование можно интерпретировать как средневзвешенное значение и, следовательно, как предельную вероятность, $P(A)$ , иногда называют «средней вероятностью»; ^[2] «общая вероятность» иногда используется в менее формальных произведениях. ^[3]

Закон полной вероятности можно сформулировать и для условных вероятностей:

P({A|C})={\frac {P({A,C})}{P(C)}}={\frac {\sum \limits _{n}{P({A,{B_{n}},C})}}{P(C)}}={\frac {\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})P(C)}{P(C)}}=\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})

Принимая $B_{n}$ как указано выше, и предполагая $C$ является событием, независимым от любого из $B_{n}$ :

P(A\mid C)=\sum _{n}P(A\mid C,B_{n})P(B_{n})

Непрерывный случай

Закон полной вероятности распространяется на случай обусловленности событий, порождаемых непрерывными случайными величинами. Позволять $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ быть вероятностным пространством . Предполагать $X$ — случайная величина с функцией распределения $F_{X}$ , и $A$ событие на $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ . Тогда закон полной вероятности гласит:

$P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)dF_{X}(x).$

Если $X$ допускает функцию плотности $f_{X}$ , то результат

$P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)f_{X}(x)dx.$

Более того, для конкретного случая, когда $A=\{Y\in B\}$ , где $B$ является борелевским множеством, то это дает

$P(Y\in B)=\int _{-\infty }^{\infty }P(Y\in B|X=x)f_{X}(x)dx.$

Пример

Предположим, что два завода поставляют лампочки на рынок . Лампочки фабрики X работают более 5000 часов в 99% случаев, тогда как лампочки фабрики Y работают более 5000 часов в 95% случаев. Известно, что завод X поставляет 60% общего количества имеющихся лампочек, а завод Y поставляет 40% общего количества имеющихся лампочек. Какова вероятность того, что купленная лампочка проработает более 5000 часов?

Применяя закон полной вероятности, имеем:

{\begin{aligned}P(A)&=P(A\mid B_{X})\cdot P(B_{X})+P(A\mid B_{Y})\cdot P(B_{Y})\\[4pt]&={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}\end{aligned}}

где

$P(B_{X})={6 \over 10}$ – вероятность того, что купленная лампочка была произведена на заводе X ;
$P(B_{Y})={4 \over 10}$ – вероятность того, что купленная лампочка была произведена на заводе Y ;
$P(A\mid B_{X})={99 \over 100}$ – вероятность того, что лампочка, изготовленная компанией X, проработает более 5000 часов;
$P(A\mid B_{Y})={95 \over 100}$ — вероятность того, что лампочка, изготовленная Y, проработает более 5000 часов.

Таким образом, каждая купленная лампочка с вероятностью 97,4% проработает более 5000 часов.

Другие имена

Термин «закон полной вероятности» иногда понимают как закон альтернатив , который является частным случаем закона полной вероятности, применимого к дискретным случайным величинам . ^{[ нужна ссылка ]} Один автор использует терминологию «Правила средних условных вероятностей», ^[4] в то время как другой называет это «непрерывным законом альтернатив» в непрерывном случае. ^[5] Этот результат дали Гриммет и Уэлш. ^[6] как теорема о распределении , название, которое они также дали родственному закону полного ожидания .

См. также

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Цвиллингер Д., Кокоска С. (2000) Таблицы и формулы стандартной вероятности и статистики CRC , CRC Press. ISBN 1-58488-059-7, стр. 31.
^ Пол Э. Пфайффер (1978). Понятия теории вероятностей . Публикации Courier Dover. стр. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1 .
^ Дебора Рамси (2006). Вероятность для чайников . Для чайников. п. 58. ИСБН 978-0-471-75141-0 .
^ Джим Питман (1993). Вероятность . Спрингер. п. 41. ИСБН 0-387-97974-3 .
^ Кеннет Баклавски (2008). Введение в вероятность с помощью R. ЦРК Пресс. п. 179. ИСБН 978-1-4200-6521-3 .
^ Вероятность: введение , Джеффри Гриммет и Доминик Уэлш , Oxford Science Publications, 1986, Теорема 1B.

Ссылки

Введение в вероятность и статистику Роберта Дж. Бивера, Барбары М. Бивер, Томсона Брукса/Коула, 2005 г., стр. 159.
Теория статистики , Марк Дж. Шервиш, Springer, 1995.
«Очерк вероятности» Шаума, второе издание , Джон Дж. Шиллер, Сеймур Липшуц, McGraw – Hill Professional, 2010, стр. 89.
Первый курс стохастических моделей , Х.К. Таймс, Джон Вили и сыновья, 2003, страницы 431–432.
Промежуточный курс теории вероятностей , автор Алан Гут, Springer, 1995, страницы 5–6.

[ZK-1] Jump up to: ^а ^б Цвиллингер Д., Кокоска С. (2000) Таблицы и формулы стандартной вероятности и статистики CRC , CRC Press. ISBN 1-58488-059-7, стр. 31.

[Pfeiffer1978-2] Пол Э. Пфайффер (1978). Понятия теории вероятностей . Публикации Courier Dover. стр. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1 .

[Rumsey2006-3] Дебора Рамси (2006). Вероятность для чайников . Для чайников. п. 58. ИСБН 978-0-471-75141-0 .

[Pitman1993-4] Джим Питман (1993). Вероятность . Спрингер. п. 41. ИСБН 0-387-97974-3 .

[Baclawski2008-5] Кеннет Баклавски (2008). Введение в вероятность с помощью R. ЦРК Пресс. п. 179. ИСБН 978-1-4200-6521-3 .

[6] Вероятность: введение , Джеффри Гриммет и Доминик Уэлш , Oxford Science Publications, 1986, Теорема 1B.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]