Лакунарная функция

Доменная раскраска 128-й частичной суммы лакунарной функции $\sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}$.

В анализе , лакунарная функция также известная как лакунарный ряд , представляет собой аналитическую функцию , которая не может быть аналитически продолжена нигде за пределами радиуса сходимости , в пределах которого она определяется степенным рядом . Слово «лакунарный» происходит от слова «lacuna» ( мн. lacunae), что означает «пробел» или «вакансия».

Первыми известными примерами лакунарных функций были ряды Тейлора с большими промежутками или лакунами между ненулевыми коэффициентами их разложений. Более поздние исследования также сосредоточили внимание на рядах Фурье с аналогичными разрывами между ненулевыми коэффициентами. Существует небольшая двусмысленность в современном использовании термина «лакунарный ряд» , который может относиться либо к ряду Тейлора, либо к ряду Фурье.

Простой пример

Выберите целое число $a\geq 2$. Рассмотрим следующую функцию, определяемую простым степенным рядом:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{a^{n}}=z+z^{a}+z^{a^{2}}+z^{a^{3}}+z^{a^{4}}+\cdots \,$

Степенной ряд сходится локально равномерно на любой открытой области | г | < 1. Это можно доказать, сравнивая f с геометрическим рядом , абсолютно сходящимся при | г | < 1. Поэтому f аналитична на открытом единичном круге. Тем не менее, f имеет особенность в каждой точке единичного круга и не может быть аналитически продолжена за пределы открытого единичного круга, как показывает следующий аргумент.

Очевидно, f имеет особенность в точке z = 1, поскольку

$f(1)=1+1+1+\cdots \,$

является расходящимся рядом. Но если допустить, что z нереально, возникают проблемы, поскольку

$f\left(z^{a}\right)=f(z)-z\qquad f\left(z^{a^{2}}\right)=f(z^{a})-z^{a}\qquad f\left(z^{a^{3}}\right)=f\left(z^{a^{2}}\right)-z^{a^{2}}\qquad \cdots \qquad f\left(z^{a^{n+1}}\right)=f\left(z^{a^{n}}\right)-z^{a^{n}}$

мы видим, что f имеет особенность в точке z, когда z ^а = 1, а также когда z ^{а 2} = 1. По индукции, подсказанной приведенными выше уравнениями, f должна иметь особенность в каждой из точек a ^н -й степени Корни из единицы для всех натуральных чисел n. Множество всех таких точек плотно на единичной окружности, следовательно, в результате непрерывного расширения каждая точка единичной окружности должна быть особенностью f.

Элементарный результат

Очевидно, рассуждения, выдвинутые в простом примере, показывают, что можно построить некоторые ряды, определяющие лакунарные функции. Что не так очевидно, так это то, что разрывы между степенями z могут расширяться гораздо медленнее, и полученный ряд все равно будет определять лакунарную функцию. Для уточнения этого понятия необходимы некоторые дополнительные обозначения.

Мы пишем

$f(z)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}z^{\lambda _{k}}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}z^{n}\,$

где b _n = a _k, когда n = λ _k , и b _n = 0 в противном случае. Участки, где все коэффициенты b _n во второй серии равны нулю, представляют собой пробелы в коэффициентах. Монотонно возрастающая последовательность положительных натуральных чисел {λ _k } определяет степени z , которые находятся в степенном ряду для f ( z ).

теорему Адамара . Теперь можно сформулировать Если

${\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{k-1}}}>1+\delta \,$

для всех k , где δ > 0 — произвольная положительная константа, то f ( z ) — лакунарная функция, которую нельзя продолжить за пределы круга сходимости. Другими словами, последовательность {λ _k } не обязательно должна расти так быстро, как 2 ^к чтобы f ( z ) была лакунарной функцией – она просто должна расти так быстро, как некоторая геометрическая прогрессия (1 + δ) ^к . ряд, для которого λ _k Говорят, что растет так быстро, содержит пробелы Адамара . См. теорему Островского–Адамара о разрыве .

Лакунарный тригонометрический ряд

Математики также исследовали свойства лакунарных тригонометрических рядов.

$S((\lambda _{k})_{k},\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta )\qquad S((\lambda _{k})_{k},\theta ,\omega )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta +\omega )\,$

для которых λ _k далеко друг от друга. Здесь коэффициенты a _k — действительные числа. В связи с этим внимание было сосредоточено на критериях, достаточных для того, чтобы гарантировать сходимость тригонометрического ряда почти всюду (т. е. почти для любого значения угла θ и коэффициента искажения ω ).

• Колмогоров показал, что если последовательность { λ _k } содержит пробелы Адамара, то ряд S ( λ _k , θ , ω ) сходится (расходится) почти всюду, когда

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{2}$

сходится (расходится).

• Зигмунд показал при том же условии, что S ( λ _k , θ , ω ) не является рядом Фурье, представляющим интегрируемую функцию , когда эта сумма квадратов a k _{является} расходящимся рядом.

Единый взгляд

Более глубокое понимание основного вопроса, который мотивирует исследование лакунарных степенных рядов и лакунарных тригонометрических рядов, можно получить, повторно изучив простой пример, приведенный выше. В этом примере мы использовали геометрическую прогрессию

$g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\,$

и М-тест Вейерштрасса , чтобы продемонстрировать, что простой пример определяет аналитическую функцию на открытом единичном круге.

Сама геометрическая серия определяет аналитическую функцию, которая сходится всюду на замкнутом единичном круге, за исключением случаев, когда z = 1, где g ( z ) имеет простой полюс. А поскольку z = e ^я для точек единичного круга геометрическая прогрессия принимает вид

$g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{in\theta }=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right)\,$

в определенном z , | г | = 1. Таким образом, с этой точки зрения математики, исследующие лакунарные ряды, задаются вопросом: насколько нужно искажать геометрическую серию – вырезая большие сечения и вводя коэффициенты a _k ≠ 1 – перед полученным математическим объектом преобразуется из красивой гладкой мероморфной функции в нечто, демонстрирующее примитивную форму хаотического поведения?

См. также

• Аналитическое продолжение
• Солем Мандельброт
• Бенуа Мандельброт
• Набор Мандельброта
• Теорема о разрыве Фабри
• Теорема Островского–Адамара о разрыве

Ссылки

• Катуси Фукуяма и Сигэру Такахаши, Труды Американского математического общества , том. 127 № 2, стр. 599–608 (1999), «Центральная предельная теорема для лакунарных рядов».
• Золем Мандельбройт и Эдвард Рой Сесил Майлз, Брошюра Института Райса , том. 14 № 4, стр. 261–284 (1927), «Лакунарные функции».
• Э. Т. Уиттакер и Дж. Н. Уотсон , Курс современного анализа , четвертое издание, издательство Кембриджского университета, 1927.

Внешние ссылки

• Фукуяма и Такахаши, 1999 г. Статья (PDF) под названием «Центральная предельная теорема для лакунарных рядов » из AMS.
• Мандельбройт и Майлз, 1927 г. Статья (PDF) под названием «Лакунарные функции » из Университета Райса.
• Статья MathWorld о лакунарных функциях