Теорема Альвена

В идеальной магнитогидродинамике теорема Альвена или теорема о вмороженном потоке утверждает, что электропроводящие жидкости и встроенные магнитные поля вынуждены двигаться вместе в пределе больших магнитных чисел Рейнольдса . Он назван в честь Ханнеса Альфвена , выдвинувшего эту идею в 1943 году.

Из теоремы Альвена следует, что магнитная топология жидкости в пределе больших магнитных чисел Рейнольдса не может измениться. Это приближение не работает в токовых слоях , где может произойти магнитное пересоединение .

История

Концепция магнитных полей, вмороженных в жидкости с бесконечной электропроводностью, была впервые предложена Ханнесом Альфвеном в статье 1943 года под названием «О существовании электромагнитно-гидродинамических волн», опубликованной в журнале Arkiv for matematik, astronomi och fysik . Он написал: ^[1]

Ввиду бесконечной проводимости любое движение (перпендикулярное полю) жидкости относительно силовых линий запрещено, поскольку оно создаст бесконечные вихревые токи . Таким образом, вещество жидкости «привязывается» к силовым линиям...

«О существовании электромагнитно-гидродинамических волн» интерпретирует результаты более ранней статьи Альфвена «Существование электромагнитно-гидродинамических волн», опубликованной в журнале Nature в 1942 году. ^[2]

Позже Альфвен посоветовал не использовать свою собственную теорему. ^[3]

Обзор

Неформально, теорема Альвена относится к фундаментальному результату идеальной магнитогидродинамической теории , согласно которому электропроводящие жидкости и магнитные поля внутри них вынуждены двигаться вместе в пределе больших магнитных чисел Рейнольдса ( R _m ) , например, когда жидкость является идеальным проводником или когда масштабы скорости и длины бесконечно велики. Их движения ограничены тем, что все движения объемной жидкости, перпендикулярные магнитному полю, приводят к согласованному перпендикулярному движению поля с той же скоростью, и наоборот.

Формально связь между движением жидкости и движением магнитного поля детализируется в двух основных результатах, часто называемых сохранением магнитного потока и сохранением линии магнитного поля . Сохранение магнитного потока подразумевает, что магнитный поток через поверхность, движущуюся со скоростью объемной жидкости, является постоянным, а сохранение линии магнитного поля подразумевает, что, если два элемента жидкости соединены линией магнитного поля, они всегда будут такими. ^[4]

Трубки магнитного потока и силовые линии

Теорему Альвена часто выражают в терминах трубок магнитного потока и силовых линий магнитного поля.

Трубка магнитного потока представляет собой область пространства, похожую на трубку или цилиндр, содержащую магнитное поле, так что ее стороны повсюду параллельны полю. Следовательно, магнитный поток через эти стороны равен нулю, а сечения по длине трубки имеют постоянный, равный магнитный поток. В пределе большого магнитного числа Рейнольдса теорема Альвена требует, чтобы эти поверхности с постоянным потоком перемещались вместе с жидкостью, в которой они заключены. Таким образом, трубки магнитного потока вморожены в жидкость.

Пересечение сторон двух трубок магнитного потока образует силовую линию магнитного поля — кривую, которая всюду параллельна магнитному полю. Из этого следует, что в жидкостях, где трубки магнитного потока вморожены, линии магнитного поля также должны быть вморожены. Однако условия вмороженности силовых линий слабее, чем условия вмороженности силовых трубок или, что то же самое, сохранения потока. ^[5]^: 25

Математическое утверждение

В математических терминах теорема Альвена утверждает, что в электропроводящей жидкости в пределе большого магнитного числа Рейнольдса магнитный поток $Φ B$ через ориентируемую , открытую поверхность материала переносимый макроскопическим, зависящим от пространства и времени полем скорости ^{[примечание 1]} $v$ является постоянным, или

{\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=0,

где $D / Dt = \partial/\partial t + (v \cdot \nabla)$ — адвективная производная .

Сохранение потока

В идеальной магнитной гидродинамике магнитная индукция доминирует над магнитной диффузией на изучаемых масштабах скорости и длины. При этом предполагается, что диффузионный член в основном уравнении индукции мал по сравнению с индукционным членом, и им пренебрегают. Тогда уравнение индукции сводится к идеальной форме:

{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).

Сохранение магнитного потока через материальные поверхности, погруженные в жидкость, следует непосредственно из идеального уравнения индукции и предположения об отсутствии магнитных монополей согласно закону Гаусса для магнетизма . ^[6]^[7]

В электропроводящей жидкости с зависящим от пространства и времени магнитным полем $B$ и полем скорости $v$ произвольная ориентируемая открытая поверхность $S 1$ в момент времени $t$ адвектируется под действием $v$ за малое время $δt$ к поверхности $S 2$ . скорость изменения магнитного потока через поверхность при его переносе от $S 1$ к $S 2$ Тогда равна

{\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\lim _{\delta t\to 0}{\frac {\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}-\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t)\cdot d\mathbf {S} _{1}}{\delta t}}.

Поверхностный интеграл по $S 2$ можно выразить, применив закон Гаусса для магнетизма и предположив, что магнитный поток через замкнутую поверхность, образованную $S 1$ , $S 2$ , и поверхность $S 3,$ соединяющую границы $S 1$ и $S 2,$ равен ноль. В момент времени $t + δt$ эту связь можно выразить как

0=-\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{1}+\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}+\iint _{S_{3}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{3},

где направление S $указывает наружу из 1$ было изменено на противоположное, так что $d S 1$ замкнутого объема. В поверхностном интеграле по $S 3$ дифференциальный элемент поверхности $d S 3 = d l \times v δt,$ где $d l$ — линейный элемент вокруг границы $\partial S 1$ поверхности $S 1$ . Тогда решение поверхностного интеграла по $S 2$ дает

\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}=\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{1}-\oint _{\partial S_{1}}\left(\mathbf {v} \ \delta t\times \mathbf {B} (t)\right)\cdot d\mathbf {l} ,

где последний член был переписан с использованием свойств скалярных тройных произведений и приближение первого порядка взято . Подставив это в выражение для $D Φ B / Dt$ и упростив, получим

{\begin{aligned}{\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\lim _{\delta t\to 0}\iint _{S_{1}}{\frac {\mathbf {B} (t+\delta t)-\mathbf {B} (t)}{\delta t}}\cdot d\mathbf {S} _{1}-\oint _{\partial S_{1}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} (t)\right)\cdot d\mathbf {l} .\end{aligned}}

Применение определения частной производной к подынтегральной функции первого члена, применение теоремы Стокса ко второму члену и объединение полученных поверхностных интегралов дает

{\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\iint _{S_{1}}\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right)\cdot d\mathbf {S} _{1}.

Используя идеальное уравнение индукции, подынтегральная функция обращается в нуль, и

{\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=0.

Сохранение линии поля

Сохранение силовой линии также можно вывести математически, используя уравнение идеальной индукции, закон магнетизма Гаусса и уравнение неразрывности массы. ^[5]

Идеальное уравнение индукции можно переписать, используя векторное тождество и закон Гаусса для магнетизма, как

{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {B} -\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {v} ).

Используя уравнение неразрывности массы,

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\rho =-\rho \nabla \cdot \mathbf {v} ,

идеальное уравнение индукции можно дополнительно перестроить, чтобы получить

{\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)=\left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\cdot \nabla \right)\mathbf {v} .

Аналогично, для отрезка линии $δ l$ , где $v$ — объемная скорость плазмы на одном конце, а $v + δ v$ — скорость на другом конце, дифференциальная скорость между двумя концами равна $δ v = (δ l \cdot \nabla) v$ и

{\frac {D\delta \mathbf {l} }{Dt}}=(\delta \mathbf {l} \cdot \nabla )\mathbf {v}

,

которое имеет тот же вид, что и уравнение, полученное ранее для $B / ρ$ . Следовательно, если $δ l$ и $B$ изначально параллельны, они останутся параллельными.

Хотя сохранение потока подразумевает сохранение силовой линии (см . § Трубки магнитного потока и силовые линии ), условия для последнего слабее, чем условия для первого. В отличие от условий сохранения потока, условия сохранения силовой линии могут выполняться, когда в идеальном уравнении индукции присутствует дополнительный источник, параллельный магнитному полю.

Математически, чтобы линии поля были вморожены, жидкость должна удовлетворять условиям

\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right)\times \mathbf {B} =0,

тогда как для сохранения потока жидкость должна удовлетворять более сильному условию, налагаемому идеальным уравнением индукции. ^[8]^[9]

Теорема Кельвина о циркуляции

Теорема Кельвина о циркуляции утверждает, что вихревые трубки, движущиеся с идеальной жидкостью, вморожены в жидкость, аналогично тому, как трубки магнитного потока, движущиеся с идеально проводящей идеальной МГД-жидкостью, вморожены в жидкость. Идеальное уравнение индукции принимает тот же вид, что и уравнение завихренности $ω = \nabla \times v$ в идеальной жидкости, где $v$ — поле скорости:

{\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}).

существует нелинейная связь между $\nabla \times v$ и $v .$ Однако уравнение индукции является линейным, тогда как в уравнении завихренности ^[9]

Подразумеваемое

Теорема Альвена показывает, что топология магнитного поля не может измениться в идеально проводящей жидкости. Однако в случае сложных или турбулентных потоков это приведет к сильно запутанным магнитным полям с очень сложной топологией, которые должны препятствовать движению жидкости. Астрофизическая плазма с высокой электропроводностью обычно не демонстрирует таких сложных запутанных полей. Магнитное пересоединение , по-видимому, происходит в этой плазме в отличие от того, что можно было бы ожидать от условий замораживания потока. Это имеет важные последствия для магнитных динамо . Фактически, очень высокая электропроводность приводит к высоким магнитным числам Рейнольдса, что указывает на то, что плазма будет турбулентной. ^[10]

Резистивные жидкости

Даже для неидеального случая, когда электропроводность не бесконечна, аналогичный результат можно получить, определив скорость переноса магнитного потока следующим образом:

\nabla \times ({\bf {{w}\times {\bf {{B})=\eta \nabla ^{2}{\bf {{B}+\nabla \times ({\bf {{v}\times {\bf {{B}),}}}}}}}}}}

в котором вместо скорости жидкости $v$ скорость потока $w$ использовалась . Хотя в некоторых случаях это поле скоростей можно найти с помощью уравнений магнитогидродинамики , существование и единственность этого векторного поля зависит от лежащих в его основе условий. ^[11]

Стохастическое замораживание потока

Представления о замораживании потока в высокопроводящей плазме несовместимы с явлением спонтанной стохастичности. Однако в некоторых учебниках замораживание магнитного потока должно сохраняться все лучше, поскольку магнитная диффузия стремится к нулю (недиссипативный режим). Но тонкость в том, что очень большие магнитные числа Рейнольдса (т. е. малое электрическое сопротивление или высокая электропроводность) обычно связаны с высокими кинетическими числами Рейнольдса (т. е. с очень малой вязкостью). Если кинематическая вязкость стремится к нулю одновременно с удельным сопротивлением и если плазма становится турбулентной (связанной с высокими числами Рейнольдса), то лагранжевы траектории перестанут быть уникальными. Аргумент о замораживании потока, обсуждавшийся выше, в целом неприменим, и необходимо использовать стохастическое замораживание потока. ^[12]

Теорема стохастического замораживания потока для резистивной магнитогидродинамики обобщает обычное замораживание потока, обсуждавшееся выше. Эта обобщенная теорема утверждает, что силовые линии мелкозернистого магнитного поля $B$ «вморожены» в стохастические траектории, решая следующее стохастическое дифференциальное уравнение , известное как уравнение Ланжевена :

d{\bf {x}}={\bf {u}}({\bf {x}},t)dt+{\sqrt {2\eta }}d{\bf {W}}(t)

где $η$ — коэффициент магнитной диффузии, а $W$ — трехмерный гауссовский белый шум (см. также Винеровский процесс ). Множество «виртуальных» векторов поля, приходящих в одну и ту же конечную точку, необходимо усреднить, чтобы получить физическое магнитное поле в этой точке. . ^[13]

См. также

Пояснительные примечания

^ В магнитогидродинамике (МГД) поле объемной скорости $v$ представляет собой линейную комбинацию средних движений отдельных видов, взвешенных по соответствующей массе видов. Согласно теореме Альвена, магнитное поле может двигаться с этой объемной скоростью, но не обязательно со скоростью отдельных видов. Таким образом, теорема Альвена не гарантирует, что отдельные частицы внутри жидкости будут ограничены в движении вместе с магнитным полем, и токи могут течь перпендикулярно магнитному полю при условии, что объемная скорость соответствует скорости магнитного поля. ^{[ нужна ссылка ]}

Ссылки

^ Альфвен, Ханнес (1943). «О существовании электромагнитно-гидродинамических волн» (PDF) . Архивы математики, астрономии и физики . 29Б(2): 1–7.
^ Альфвен, Ханнес (1942). «Существование электромагнитно-гидродинамических волн». Природа . 150 (3805): 405. Бибкод : 1942Natur.150..405A . дои : 10.1038/150405d0 . S2CID 4072220 .
^ Альфвен, Х. (август 1976 г.). «О вмороженных силовых линиях и переподключении силовых линий» . Журнал геофизических исследований . 81 (22): 4019–4021. Бибкод : 1976JGR....81.4019A . дои : 10.1029/JA081i022p04019 .
^ Священник, Э. (2016). «МГД-структуры в трехмерном пересоединении». Магнитное пересоединение . Библиотека астрофизики и космических наук. Том. 427. стр. 101–142. дои : 10.1007/978-3-319-26432-5_3 . ISBN 978-3-319-26430-1 .
^ Jump up to: ^а ^б Священник, Эрик; Форбс, Терри (2000). Магнитное пересоединение: теория МГД и приложения (первое изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-48179-1 .
^ Блэкман, Эрик Дж. (1 марта 2013 г.). «О получении замораживания потока в магнитогидродинамике прямым дифференцированием». Европейский журнал физики . 34 (2): 489–494. arXiv : 1301.3562 . Бибкод : 2013EJPh...34..489B . дои : 10.1088/0143-0807/34/2/489 . S2CID 119247916 .
^ Лю, Лин-Сяо (2010). Элементарная физика космической плазмы (PDF) . Тайбэй: Airiti Press Inc., стр. 173–176. ISBN 978-9868270954 . Проверено 12 января 2023 г.
^ Эйинк, Грегори Л.; Алуие, Хусейн (ноябрь 2006 г.). «Нарушение теоремы Альвена в потоках идеальной плазмы: необходимые условия и физические гипотезы». Физика D: Нелинейные явления . 223 (1): 82–92. arXiv : физика/0607073 . Бибкод : 2006PhyD..223...82E . дои : 10.1016/j.physd.2006.08.009 . S2CID 16529234 .
^ Jump up to: ^а ^б Габбинс, Дэвид; Эрреро-Бервера, Эмилио, ред. (2007). Энциклопедия геомагнетизма и палеомагнетизма . Дордрехт: Спрингер. стр. 7–11. дои : 10.1007/978-1-4020-4423-6 . ISBN 978-1-4020-3992-8 .
^ Эйинк, Грегори; Алуие, Хусейн (2006). «Нарушение теоремы Альвена в потоках идеальной плазмы: необходимые условия и физические гипотезы». Физика D: Нелинейные явления . 223 (1): 82. arXiv : физика/0607073 . Бибкод : 2006PhyD..223...82E . дои : 10.1016/j.physd.2006.08.009 . S2CID 16529234 .
^ Уилмот-Смит, Алабама; Священник, скорая помощь; Хоринг, Г. (2005). «Магнитная диффузия и движение силовых линий». Геофизическая и астрофизическая гидродинамика . 99 (2): 177–197. Бибкод : 2005GApFD..99..177W . дои : 10.1080/03091920500044808 . S2CID 51997635 .
^ Эйинк, Грегори (2011). «Стохастическое замораживание потока и магнитное динамо» . Физический обзор E . 83 (5): 056405. arXiv : 1008.4959 . Бибкод : 2011PhRvE..83e6405E . дои : 10.1103/PhysRevE.83.056405 . ПМИД 21728673 .
^ Лалеску, Кристиан К.; Ши, И-Кан; Эйинк, Грегори; Дривас, Теодор Д.; Вишняк, Итан; Лазариан, Алекс (2015). «Пересоединение инерционного диапазона в магнитогидродинамической турбулентности и солнечном ветре» . Письма о физических отзывах . 115 (2): 025001. arXiv : 1503.00509 . Бибкод : 2015PhRvL.115b5001L . doi : 10.1103/PhysRevLett.115.025001 . ПМИД 26207472 .

[fn1-6] В магнитогидродинамике (МГД) поле объемной скорости $v$ представляет собой линейную комбинацию средних движений отдельных видов, взвешенных по соответствующей массе видов. Согласно теореме Альвена, магнитное поле может двигаться с этой объемной скоростью, но не обязательно со скоростью отдельных видов. Таким образом, теорема Альвена не гарантирует, что отдельные частицы внутри жидкости будут ограничены в движении вместе с магнитным полем, и токи могут течь перпендикулярно магнитному полю при условии, что объемная скорость соответствует скорости магнитного поля. ^{[ нужна ссылка ]}

[alfven43-1] Альфвен, Ханнес (1943). «О существовании электромагнитно-гидродинамических волн» (PDF) . Архивы математики, астрономии и физики . 29Б(2): 1–7.

[2] Альфвен, Ханнес (1942). «Существование электромагнитно-гидродинамических волн». Природа . 150 (3805): 405. Бибкод : 1942Natur.150..405A . дои : 10.1038/150405d0 . S2CID 4072220 .

[3] Альфвен, Х. (август 1976 г.). «О вмороженных силовых линиях и переподключении силовых линий» . Журнал геофизических исследований . 81 (22): 4019–4021. Бибкод : 1976JGR....81.4019A . дои : 10.1029/JA081i022p04019 .

[4] Священник, Э. (2016). «МГД-структуры в трехмерном пересоединении». Магнитное пересоединение . Библиотека астрофизики и космических наук. Том. 427. стр. 101–142. дои : 10.1007/978-3-319-26432-5_3 . ISBN 978-3-319-26430-1 .

[priest00-5] Jump up to: ^а ^б Священник, Эрик; Форбс, Терри (2000). Магнитное пересоединение: теория МГД и приложения (первое изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-48179-1 .

[7] Блэкман, Эрик Дж. (1 марта 2013 г.). «О получении замораживания потока в магнитогидродинамике прямым дифференцированием». Европейский журнал физики . 34 (2): 489–494. arXiv : 1301.3562 . Бибкод : 2013EJPh...34..489B . дои : 10.1088/0143-0807/34/2/489 . S2CID 119247916 .

[8] Лю, Лин-Сяо (2010). Элементарная физика космической плазмы (PDF) . Тайбэй: Airiti Press Inc., стр. 173–176. ISBN 978-9868270954 . Проверено 12 января 2023 г.

[eyink06-9] Эйинк, Грегори Л.; Алуие, Хусейн (ноябрь 2006 г.). «Нарушение теоремы Альвена в потоках идеальной плазмы: необходимые условия и физические гипотезы». Физика D: Нелинейные явления . 223 (1): 82–92. arXiv : физика/0607073 . Бибкод : 2006PhyD..223...82E . дои : 10.1016/j.physd.2006.08.009 . S2CID 16529234 .

[gubbins07-10] Jump up to: ^а ^б Габбинс, Дэвид; Эрреро-Бервера, Эмилио, ред. (2007). Энциклопедия геомагнетизма и палеомагнетизма . Дордрехт: Спрингер. стр. 7–11. дои : 10.1007/978-1-4020-4423-6 . ISBN 978-1-4020-3992-8 .

[11] Эйинк, Грегори; Алуие, Хусейн (2006). «Нарушение теоремы Альвена в потоках идеальной плазмы: необходимые условия и физические гипотезы». Физика D: Нелинейные явления . 223 (1): 82. arXiv : физика/0607073 . Бибкод : 2006PhyD..223...82E . дои : 10.1016/j.physd.2006.08.009 . S2CID 16529234 .

[12] Уилмот-Смит, Алабама; Священник, скорая помощь; Хоринг, Г. (2005). «Магнитная диффузия и движение силовых линий». Геофизическая и астрофизическая гидродинамика . 99 (2): 177–197. Бибкод : 2005GApFD..99..177W . дои : 10.1080/03091920500044808 . S2CID 51997635 .

[13] Эйинк, Грегори (2011). «Стохастическое замораживание потока и магнитное динамо» . Физический обзор E . 83 (5): 056405. arXiv : 1008.4959 . Бибкод : 2011PhRvE..83e6405E . дои : 10.1103/PhysRevE.83.056405 . ПМИД 21728673 .

[14] Лалеску, Кристиан К.; Ши, И-Кан; Эйинк, Грегори; Дривас, Теодор Д.; Вишняк, Итан; Лазариан, Алекс (2015). «Пересоединение инерционного диапазона в магнитогидродинамической турбулентности и солнечном ветре» . Письма о физических отзывах . 115 (2): 025001. arXiv : 1503.00509 . Бибкод : 2015PhRvL.115b5001L . doi : 10.1103/PhysRevLett.115.025001 . ПМИД 26207472 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[примечание 1]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]