Операция (математика)

Не путать с Оператором (математика) .

Элементарные арифметические операции:

• +, плюс (дополнение)
• −, минус (вычитание)
• ÷, обелис (деление)
• ×, раз (умножение)

В математике операция функция — это , которая преобразует ноль или более входных значений (также называемых « операндами » или «аргументами») в четко определенное выходное значение. Количество операндов определяет арность операции.

Наиболее часто изучаемыми операциями являются бинарные операции (т. е. операции арности 2), такие как сложение и умножение , и унарные операции (т. е. операции арности 1), такие как аддитивные обратные и мультипликативные обратные операции . Операция нулевой арности или нулевая операция является константой . Смешанное произведение является примером операции арности 3, также называемой троичной операцией .

Обычно арность считается конечной. Однако бесконечные операции , иногда рассматривают в этом случае «обычные» операции конечной арности называются финитными операциями .

Частичная операция определяется аналогично операции, но используется частичная функция вместо функции .

Виды операций

Бинарная операция принимает два аргумента $x$ и $y$и возвращает результат $x\circ y$.

Существует два распространенных типа операций: унарные и бинарные . Унарные операции включают только одно значение, например отрицание и тригонометрические функции . Двоичные операции, с другой стороны, принимают два значения и включают в себя сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень .

Операции могут включать в себя не только числа, но и математические объекты. Логические значения true и false можно комбинировать с помощью логических операций , таких как and , or, and not . Векторы можно складывать и вычитать. Повороты можно комбинировать с помощью операции композиции функций , выполняя первый поворот, а затем второй. К операциям над множествами относятся бинарные операции объединения и пересечения , а также унарная операция дополнения . Операции над функциями включают композицию и свертку .

Операции не могут быть определены для каждого возможного значения области определения . Например, действительные числа нельзя делить на ноль. или извлечь квадратные корни из отрицательных чисел. Значения, для которых определена операция, образуют набор, называемый областью определения или активной областью . Набор, содержащий полученные значения, называется кодоменом , но набор фактических значений, полученных в результате операции, является его коденом определения, активным кодоменом, изображением или диапазоном . Например, в действительных числах операция возведения в квадрат дает только неотрицательные числа; кодомен — это набор действительных чисел, а диапазон — неотрицательные числа.

Операции могут включать в себя разные объекты: вектор можно умножить на скаляр, чтобы сформировать другой вектор (операция, известная как скалярное умножение ), а операция скалярного произведения над двумя векторами дает скалярную величину. Операция может иметь или не иметь определенные свойства, например, она может быть ассоциативной , коммутативной , антикоммутативной , идемпотентной и т. д.

Объединенные значения называются операндами , аргументами или входными данными , а полученное значение называется значением , результатом или выходом . Операции могут иметь меньше или более двух входов (включая случай нулевого входа и бесконечного количества входов). ).

Оператор похож на операцию в том , что он относится к символу или процессу, используемому для обозначения операции, поэтому их точка зрения различна. Например, часто говорят об «операции сложения» или «операции сложения», когда фокусируются на операндах и результате, но переключаются на «оператор сложения» (редко «оператор сложения»), когда фокусируется на процессе. , или с более символической точки зрения, функция +: X × X → X .

Определение

n -арная операция ω из X ₁ , …, X _n в Y — это функция ω : X ₁ × … × X _n → Y . Множество X ₁ × … × X _n называется областью определения операции, множество Y называется кодоменом операции, а фиксированное неотрицательное целое число n (количество операндов) называется арностью операции. Таким образом, унарная операция имеет арность один, а бинарная операция имеет арность два. Операция нулевой арности, называемая нулевой операцией, представляет собой просто элемент кодомена Y . n -арную операцию также можно рассматривать как ( n + 1) -арное отношение , которое является полным в n входных областях и уникальным в выходной области.

n -арная частичная операция ω из X ₁ , …, X _n в Y является частичной функцией ω : X ₁ × … × X _n → Y . n -арную частичную операцию также можно рассматривать как ( n + 1) -арное отношение, уникальное в своей выходной области.

Вышеописанное описывает то, что обычно называют финитной операцией , имея в виду конечное число операндов (значение n ). Существуют очевидные расширения, в которых арность считается бесконечным порядковым или кардинальным числом . или даже произвольный набор, индексирующий операнды.

Часто использование термина «операция» подразумевает, что область определения функции включает степень кодомена (т. е. декартово произведение одной или нескольких копий кодомена), хотя это ни в коем случае не является универсальным, как в случае скалярного произведения , когда векторы умножаются и в результате получают скаляр. операция n -арная ω : X ^н → X называется внутренняя операция . операция n -арная ω : X ^я × С × Х ^{п - я - 1} → X , где 0 ≤ i < n, внешней операцией со стороны скалярного набора или набора операторов S. называется В частности, для бинарной операции ω : S × X → X называется левой внешней операцией по S , а ω : X × S → X называется правовнешней операцией по S . Примером внутренней операции является сложение векторов , при котором два вектора складываются и в результате получается вектор. Примером внешней операции является скалярное умножение , когда вектор умножается на скаляр и в результате получается вектор.

многофункциональность n -арная или мультиоперация ω — это отображение декартовой степени множества во множество подмножеств этого множества, формально ω : X ^н → п ( Икс ) .

См. также

• Финитарное соотношение
• Гипероперация
• Инфиксная запись
• Оператор
• Порядок действий