Закон Торричелли

Закон Торричелли описывает скорость разделения струи воды на основе расстояния под поверхностью, на котором начинается струя, при условии отсутствия сопротивления воздуха, вязкости или других препятствий для потока жидкости. На этой схеме показано несколько таких струй, расположенных вертикально и выходящих из резервуара горизонтально. В этом случае струи имеют огибающую (концепция также принадлежит Торричелли), представляющую собой линию, спускающуюся под углом 45° от поверхности воды над струями. Каждая струя простирается дальше, чем любая другая, в той точке, где она касается оболочки, которая находится на двойной глубине источника струи. Глубина пересечения двух струй равна сумме глубин их источников. Каждая струя (даже если она не выходит горизонтально) движется по параболической траектории, направляющей которой является поверхность воды.

Закон Торричелли , также известный как теорема Торричелли , представляет собой теорему гидродинамики , связывающую скорость жидкости, вытекающей из отверстия, с высотой жидкости над отверстием. Закон гласит, что скорость $v$ истечения жидкости через отверстие с острыми краями в стенке резервуара, заполненного на высоту $h$ над отверстием равна скорости, которую приобрело бы тело, свободно падая с высоты. $h$,

$v={\sqrt {2gh}}$

где $g$ это ускорение свободного падения . Это выражение получается из уравнения полученной кинетической энергии: ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}$, с потерей потенциальной энергии, $mgh$и решение для $v$. Закон был открыт (хотя и не в такой форме) итальянским учёным Евангелистой Торричелли в 1643 году. Позже было показано, что он является частным случаем принципа Бернулли .

Вывод

В предположении о несжимаемой жидкости с незначительной вязкостью гидравлическая принцип Бернулли утверждает, что энергия постоянна.

${\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}+{\frac {{v_{1}}^{2}}{2}}+gy_{1}={\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}+{\frac {{v_{2}}^{2}}{2}}+gy_{2}={\text{constant}}$

в любых двух точках текущей жидкости. Здесь $v$ скорость жидкости, $g$ ускорение свободного падения, $y$ это высота над некоторой контрольной точкой, $p$ это давление, и $\rho$ это плотность.

Чтобы вывести формулу Торричелли, первая точка без индекса берется на поверхности жидкости, а вторая - сразу за отверстием. Поскольку жидкость предполагается несжимаемой, $\rho _{1}$ равно $\rho _{2}$ и; оба могут быть представлены одним символом $\rho$. Давление $p_{1}$ и $p_{2}$ обычно оба представляют собой атмосферное давление, поэтому $p_{1}=p_{2}\Rightarrow p_{1}-p_{2}=0$. Более того $y_{1}-y_{2}$ равен высоте $h$ поверхности жидкости над отверстием:

${\frac {{v_{1}}^{2}}{2}}+gh={\frac {{v_{2}}^{2}}{2}}$

Скорость поверхности $v_{1}$ может быть связано со скоростью истечения $v_{2}$ по уравнению неразрывности $v_{1}A=v_{2}A_{A}$, где $A_{A}$ - поперечное сечение отверстия и $A$ — поперечное сечение (цилиндрического) сосуда. Переименование $v_{2}$ к $v_{A}$ (Похоже на Aperture) дает:

${\frac {{v_{A}}^{2}}{2}}{\frac {A_{A}^{2}}{A^{2}}}+gh={\frac {{v_{A}}^{2}}{2}}$

$\Rightarrow gh={\frac {{v_{A}}^{2}}{2}}\left(1-{\frac {A_{A}^{2}}{A^{2}}}\right).$

$\Rightarrow {v_{A}}={\sqrt {\frac {2gh}{1-{\frac {A_{A}^{2}}{A^{2}}}}}}.$

Закон Торричелли получается как частный случай, когда открытие $A_{A}$ очень мал по отношению к горизонтальному сечению контейнера $A_{1}$:

$v_{A}={\sqrt {2gh}}.$

Закон Торричелли можно применять только в том случае, если можно пренебречь эффектами вязкости, как это происходит в случае воды, вытекающей через отверстия в сосудах.

Экспериментальная проверка: фонтанирование может экспериментировать

Эксперимент по определению траектории вытекающей струи: вертикальные стержни отрегулированы так, чтобы они почти касались струи. После эксперимента расстояние между горизонтальной линией и расположением струи можно измерить, регулируя длину стержней.

Любая физическая теория должна быть проверена экспериментами. Изливная банка для эксперимента состоит из цилиндрического сосуда, наполненного водой и имеющего несколько отверстий разной высоты. Он призван показать, что в жидкости с открытой поверхностью давление увеличивается с глубиной. Чем ниже струя расположена на трубке, тем она мощнее. Скорость выхода жидкости выше по трубке.

Выходящая струя образует нисходящую параболу, причем каждая парабола простирается тем дальше, чем больше расстояние между отверстием и поверхностью. Форма параболы $y(x)$ зависит только от скорости истечения и может быть определена из того факта, что каждая молекула жидкости образует баллистическую траекторию (см. Движение снаряда ), где начальная скорость - это скорость истечения. $v_{A}$:

$y(x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {g}{v_{A}^{2}}}x^{2}.$

Результаты очень хорошо подтверждают правильность закона Торричелли.

Слив и время опорожнения цилиндрического сосуда

Предполагая, что сосуд имеет цилиндрическую форму с фиксированной площадью поперечного сечения. $A$, с отверстием площадью $A_{A}$ внизу, затем скорость изменения высоты уровня воды $dh/dt$ не является постоянным. Объем воды в сосуде меняется за счет сброса ${\dot {V}}$ вне судна:

${\frac {dV}{dt}}=A{\frac {dh}{dt}}={\dot {V}}=A_{A}v_{A}=A_{A}{\sqrt {2gh}}\quad \Rightarrow \quad A{\frac {dh}{\sqrt {h}}}=A_{A}{\sqrt {2g}}\;dt$

Интегрируя обе части и переставляя, получаем

$T={\frac {A}{A_{A}}}{\sqrt {\frac {2H}{g}}},$

где $H$ - начальная высота уровня воды и $T$ — общее время, необходимое для слива всей воды и, следовательно, опорожнения сосуда.

Эта формула имеет несколько значений. Если резервуар объемом $V$ с поперечным сечением $A$ и высота $H$, так что $V=AH$, полностью заполнен, то настало время слить всю воду.

$T={\frac {V}{A_{A}}}{\sqrt {\frac {2}{gH}}}.$

Это означает, что высокие баки с одинаковым объемом наполнения опорожняются быстрее, чем более широкие.

Наконец, мы можем перестроить приведенное выше уравнение, чтобы определить высоту уровня воды. $h(t)$ как функция времени $t$ как

$h(t)=H\left(1-{\frac {t}{T}}\right)^{2},$

где $H$ - высота контейнера, а $T$ — время разряда, указанное выше.

Разрядный эксперимент, коэффициент разряда

Теорию разряда можно проверить, измерив время опорожнения. $T$ или временной ряд уровня воды $h(t)$ внутри цилиндрического сосуда. Во многих случаях подобные эксперименты не подтверждают изложенную теорию разряда: при сравнении теоретических предсказаний процесса разряда с измерениями в таких случаях можно обнаружить очень большие различия. В действительности бак обычно опорожняется гораздо медленнее. Смотрим на формулу разряда

${\dot {V}}=A_{A}v_{A}=A_{A}{\sqrt {2gh}}$

За это несоответствие могут быть ответственны две величины: скорость истечения или эффективное сечение истечения.

Рисунок 28 из « Гидродинамики» Даниэля Бернулли (1738 г.), показывающий образование контрактной вены с линиями тока.

В 1738 году Даниэль Бернулли объяснил несоответствие между теоретическим и наблюдаемым поведением оттока образованием контрактной вены , которая уменьшает поперечное сечение оттока по сравнению с поперечным сечением отверстия. $A_{A}$ к сжатому сечению $A_{C}$ и заявил, что разряд:

${\dot {V}}=A_{C}v_{A}=A_{C}{\sqrt {2gh}}$

Собственно это подтверждается современными экспериментами (см. ), при котором измеряли отток, скорость оттока и поперечное сечение контрактной вены. Здесь также было показано, что скорость истечения очень хорошо предсказывается законом Торричелли и что никакая поправка на скорость (например, «коэффициент скорости») не требуется.

Остается проблема, как определить поперечное сечение контрактной вены. Обычно это делается путем введения коэффициента расхода , который связывает расход с поперечным сечением отверстия, и закона Торричелли:

${\dot {V}}_{\text{real}}=\mu A_{A}v_{A}\quad {\text{with}}\quad \mu ={\frac {A_{C}}{A_{A}}}$

Для жидкостей с низкой вязкостью (например, воды), вытекающих из круглого отверстия резервуара, коэффициент расхода составляет порядка 0,65. При сливе через круглую трубку или шланг коэффициент расхода можно увеличить до значения более 0,9. Для прямоугольных проемов коэффициент расхода может достигать 0,67 в зависимости от соотношения высоты и ширины.

Приложения

Горизонтальное расстояние, преодолеваемое струей жидкости

Если $h$ - высота отверстия над землей и $H$ - это высота столба жидкости от земли (высота поверхности жидкости), тогда можно легко определить горизонтальное расстояние, преодолеваемое струей жидкости до достижения того же уровня, что и основание столба жидкости. С $h$ — вертикальная высота, которую преодолевает частица реактивной струи, мы имеем из законов падения тела

$h={\frac {1}{2}}gt^{2}\quad \Rightarrow \quad t={\sqrt {\frac {2h}{g}}},$

где $t$ — время, за которое частица струи упадет из отверстия на землю. Если скорость горизонтального истечения равна $v$, то горизонтальное расстояние, пройденное частицей струи за время $t$ является

$D=vt=v{\sqrt {\frac {2h}{g}}}.$

Поскольку уровень воды $H-h$ над отверстием скорость горизонтального истечения $v={\sqrt {2g(H-h)}},$ согласно закону Торричелли. Таким образом, из двух уравнений мы имеем

$D=2{\sqrt {h(H-h)}}.$

Местоположение отверстия, обеспечивающее максимальный горизонтальный диапазон, определяется путем дифференцирования приведенного выше уравнения для $D$ относительно $h$и решение $dD/dh=0$. Здесь у нас есть

${\frac {dD}{dh}}={\frac {H-2h}{\sqrt {h(H-h)}}}.$

Решение $dD/dh=0,$ мы получаем

$h^{*}={\frac {H}{2}},$

и максимальная дальность

$D_{\max }=H.$

Проблема клепсидры

Приток клепсидры

Клепсидра — часы , измеряющие время по течению воды. Он представляет собой горшок с небольшим отверстием внизу, через которое может выходить вода. Количество выходящей воды является мерой времени. Согласно закону Торричелли, скорость истечения через отверстие зависит от высоты воды; и по мере того, как уровень воды уменьшается, расход становится неравномерным. Простое решение — поддерживать постоянную высоту воды. Этого можно добиться, пропуская в сосуд постоянный поток воды, перелив которого может выходить сверху, из другого отверстия. Таким образом, имея постоянную высоту, вытекающую снизу воду можно собирать в другой цилиндрический сосуд с равномерной градуировкой для измерения времени. Это клепсидра приточная.

Альтернативно, тщательно выбрав форму сосуда, можно заставить уровень воды в сосуде снижаться с постоянной скоростью. Измерив уровень воды, оставшейся в сосуде, можно измерить время с равномерной градуировкой. Это пример клепсидры оттока. Поскольку скорость истечения воды выше, когда уровень воды выше (из-за большего давления), объем жидкости должен быть больше, чем у простого цилиндра, когда уровень воды высокий. То есть радиус должен быть больше, когда уровень воды выше. Пусть радиус $r$ увеличивается с высотой уровня воды $h$ над выходным отверстием области $a.$ То есть, $r=f(h)$. Мы хотим найти такой радиус, при котором уровень воды будет уменьшаться с постоянной скоростью, т.е. $dh/dt=c$.

При заданном уровне воды $h$, площадь водной поверхности $A=\pi r^{2}$. Мгновенная скорость изменения объема воды равна

${\frac {dV}{dt}}=A{\frac {dh}{dt}}=\pi r^{2}c.$

По закону Торричелли скорость оттока равна

${\frac {dV}{dt}}=A_{A}v=A_{A}{\sqrt {2gh}},$

Из этих двух уравнений

${\begin{aligned}A_{A}{\sqrt {2gh}}&=\pi r^{2}c\\\Rightarrow \quad h&={\frac {\pi ^{2}c^{2}}{2gA_{A}^{2}}}r^{4}.\end{aligned}}$

Таким образом, радиус контейнера должен меняться пропорционально корню четвертой степени из его высоты: $r\propto {\sqrt[{4}]{h}}.$

Аналогично, если форму сосуда оттока клепсидры невозможно изменить по приведенной выше спецификации, то для измерения времени необходимо использовать неравномерную градуировку. Приведенная выше формула времени опорожнения говорит нам, что время должно быть откалибровано как квадратный корень из высоты сливаемой воды, $T\propto {\sqrt {h}}.$ Точнее,

$\Delta t={\frac {A}{A_{A}}}{\sqrt {\frac {2}{g}}}({\sqrt {h_{1}}}-{\sqrt {h_{2}}})$

где $\Delta t$ это время, за которое уровень воды упадет с высоты $h_{1}$ на высоту $h_{2}$.

Оригинальный вывод Торричелли

Рисунки из «Геометрической оперы» Евангелисты Торричелли (1644 г.), описывающие вывод его знаменитой формулы оттока: (а) Одна трубка заполнена водой от А до Б. (б) В двух соединенных трубках вода поднимается на одинаковую высоту. (в) Когда трубку C вынимают, вода должна подняться на высоту D. Из-за эффектов трения вода поднимается только до точки C.

Оригинальный вывод Евангелисты Торричелли можно найти во второй книге «De motu aquarum» его «Геометрической оперы» (см. ): Он начинает трубку АВ (рисунок (а)) наполняется водой до уровня А. Затем на уровне В просверливается узкое отверстие и соединяется со второй вертикальной трубкой ВС. Благодаря гидростатическому принципу сообщающихся сосудов вода поднимается до одинакового уровня наполнения AC в обеих трубках (рис. (б)). Когда, наконец, трубка BC удалена (рисунок (c)) вода должна снова подняться на эту высоту, которая на рисунке (c) обозначена AD. Причиной такого поведения является тот факт, что скорость падения капли с высоты A на высоту B равна начальной скорости, необходимой для подъема капли с высоты B на A.

При проведении такого эксперимента будет достигнута только высота C (вместо D на рисунке (в)), что противоречит предложенной теории. Торричелли объясняет этот дефект сопротивлением воздуха и тем, что нисходящие капли сталкиваются с восходящими каплями.

Аргументация Торричелли, по сути, неверна, поскольку давление в свободной струе есть окружающее атмосферное давление, а давление в сообщающемся сосуде — гидростатическое давление. В то время понятие давления было неизвестно.

См. также

• Закон Дарси
• Динамическое давление
• Статика жидкости
• Уравнение Хагена – Пуазейля
• Теоремы Гельмгольца
• Уравнения Кирхгофа
• уравнение Кнудсена
• Уравнение Мэннинга
• Уравнение с мягким наклоном
• Уравнение Морисона
• Уравнения Навье – Стокса.
• Осеен поток
• Закон Паскаля
• Закон Пуазейля
• Потенциальный поток
• Давление
• Статическое давление
• Напор
• Релятивистские уравнения Эйлера
• Разложение Рейнольдса
• Стоксов поток
• Функция потока Стокса
• Функция потока
• Линии оптимизации, полосы и пути

Дальнейшее чтение

• Т.Е. Фабер (1995). Гидродинамика для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-42969-6 .
• Стэнли Миддлман, Введение в гидродинамику: принципы анализа и проектирования ( John Wiley & Sons , 1997) ISBN   978-0-471-18209-2
• Деннис Г. Зилл (14 мая 2008 г.). Первый курс дифференциальных уравнений . Cengage Обучение. ISBN  978-0-495-10824-5 .