Jump to content

Лицо (геометрия)

(Перенаправлено с Hypercell )

В твердотельной геометрии грань это плоская поверхность ( плоская область ), которая образует часть границы твердого объекта; [1] трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, — это многогранник .

В более технических трактовках геометрии многогранников и многогранников более высокой размерности этот термин также используется для обозначения элемента любого измерения более общего многогранника (в любом количестве измерений). [2]

Многоугольное лицо

[ редактировать ]

В элементарной геометрии грань — это многоугольник. [примечание 1] на границе многогранника . [2] [3] Другие названия многоугольной грани включают сторону многогранника евклидовой плоскости и плитку .

Например, любой из шести квадратов , ограничивающих куб, является гранью куба. Иногда «лицо» также используется для обозначения двумерных особенностей 4-мерного многогранника . В этом смысле четырехмерный тессеракт имеет 24 квадратных грани, каждая из которых имеет две из 8 кубических ячеек.

Обычные примеры символа Шлефли
Многогранник Звездный многогранник Евклидова мозаика Гиперболическая мозаика 4-многогранник
{4,3} {5/2,5} {4,4} {4,5} {4,3,3}

Куб на имеет по три квадратных грани каждую вершину.

Маленький звездчатый додекаэдр имеет по пять пентаграммных граней на вершину.

Квадратная мозаика на евклидовой плоскости имеет по 4 квадратных грани на вершину.

имеет Квадратная мозаика 5-го порядка 5 квадратных граней на вершину.

Тессеракт на имеет по три квадратных грани каждом ребре.

Количество многоугольных граней многогранника

[ редактировать ]

Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику.

где V — количество вершин , E — количество ребер , а F — количество граней. Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, количество граней на 2 больше, чем превышение числа ребер над числом вершин. Например, у куба 12 ребер и 8 вершин, а значит, 6 граней.

В многомерной геометрии грани многогранника являются элементами всех измерений. [2] [4] [5] Грань размерности k называется k -гранью. Например, многоугольные грани обычного многогранника являются 2-гранями. В теории множеств набор граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество, причем пустое множество предназначено для согласованности с учетом «размерности» -1. Для любого n -многогранника ( n -мерного многогранника) −1 ≤ k n .

Например, в этом значении грани куба включают в себя сам куб (3-грань), его (квадратные) грани (2-грани), его (отрезки) ребра (1-грани), его (точечные) вершины. (0-грани) и пустое множество.

В некоторых областях математики, таких как многогранная комбинаторика , многогранник по определению является выпуклым. Формально грань многогранника P — это пересечение P с любым замкнутым полупространством , граница которого не пересекается с внутренностью P . [6] Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество. [4] [5]

В других областях математики, таких как теории абстрактных многогранников и звездных многогранников , требование выпуклости ослаблено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы набор граней включал сам многогранник и пустое множество.

n = -мерный симплекс (отрезок ( n = 1 ), треугольник ( n = 2 ), тетраэдр ( n 3 ) и т. д.), определенный n + 1 вершиной, имеет грань для каждого подмножества вершин, из пустое множество через множество всех вершин. В частности, есть 2 п + 1 лица в целом. Число из них, являющихся k -гранями, для k ∈ {−1, 0, ..., n } , является биномиальным коэффициентом .

Существуют конкретные имена k -граней в зависимости от значения k и, в некоторых случаях, от того, насколько близко k к размерности n многогранника.

Вершина или 0-грань

[ редактировать ]

Вершина — это общее название 0-грани.

Край или 1 грань

[ редактировать ]

Край — это общее название одногранника.

Лицевое или двустороннее

[ редактировать ]

Использование face в контексте, где конкретный k предназначен для k -грани, но не указан явно, обычно является 2-гранью.

Ячейка или 3-гранная

[ редактировать ]

Ячейка . — это многогранный элемент ( 3-грань ) 4-мерного многогранника или 3-мерной мозаики или выше Ячейки являются гранями для 4-многогранников и 3-сот.

Примеры:

Обычные примеры символа Шлефли
4-многогранники 3-соты
{4,3,3} {5,3,3} {4,3,4} {5,3,4}

Тессеракт имеет по 3 кубические ячейки (3 грани) на каждом ребре.

имеет 120-ячеечная структура по 3 додекаэдра (3 грани) на ребро.

Кубические соты заполняют евклидово трехмерное пространство кубами с 4 ячейками (3-гранями) на каждом ребре.

заполняют Додекаэдрические соты четвертого порядка трехмерное гиперболическое пространство додекаэдрами, по 4 ячейки (3 грани) на ребро.

Фасет или ( n − 1)-грань

[ редактировать ]

В многомерной геометрии грани (также называемые гипергранями ) [7] -многогранника n - это ( n - 1 )-грани (грани размерности на единицу меньше, чем сам многогранник). [8] Многогранник ограничен своими гранями.

Например:

Гребень или ( n − 2)-грань

[ редактировать ]

В родственной терминологии ( n − 2 ) -грани s n -многогранника называются гребнями (также подгранями ). [9] Гребень рассматривается как граница между ровно двумя гранями многогранника или сот.

Например:

Пик или ( n − 3)-грань

[ редактировать ]

( n − 3 ) -грани s n -многогранника называются вершинами . Пик содержит оси вращения граней и гребней в правильном многограннике или сотах.

Например:

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Некоторые другие многоугольники, не являющиеся гранями, также важны для многогранников и мозаик. К ним относятся многоугольники Петри , вершинные фигуры и грани (плоские многоугольники, образованные копланарными вершинами, не лежащими в одной грани многогранника).
  1. ^ Университетский словарь Мерриам-Вебстера (одиннадцатое изд.). Спрингфилд, Массачусетс: Мерриам-Вебстер . 2004.
  2. ^ Перейти обратно: а б с Матушек, Иржи (2002), Лекции по дискретной геометрии , Тексты для аспирантов по математике , том. 212, Спрингер, 5.3 Грани выпуклого многогранника, с. 86, ISBN  9780387953748 .
  3. ^ Кромвель, Питер Р. (1999), Многогранники , издательство Кембриджского университета, стр. 13, ISBN  9780521664059 .
  4. ^ Перейти обратно: а б Грюнбаум, Бранко (2003), Выпуклые многогранники , Тексты для аспирантов по математике, том. 221 (2-е изд.), Спрингер, с. 17 .
  5. ^ Перейти обратно: а б Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам , Тексты для аспирантов по математике, том. 152, Спрингер, Определение 2.1, с. 51, ISBN  9780387943657 .
  6. ^ Матушек (2002) и Зиглер (1995) используют немного другое, но эквивалентное определение, которое сводится к пересечению P либо с гиперплоскостью, не пересекающейся с внутренней частью P , либо со всем пространством.
  7. ^ Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации , (2018) ISBN   978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.1 Многогранники и соты, стр. 225
  8. ^ Матушек (2002) , с. 87; Грюнбаум (2003) , с. 27; Зиглер (1995) , с. 17.
  9. ^ Матушек (2002) , стр. 87; Зиглер (1995) , стр. 71.
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 5676fef8399c4c8de12f043c63ebe25d__1701448680
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/56/5d/5676fef8399c4c8de12f043c63ebe25d.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Face (geometry) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)