Квазипериодическое движение

В математике и теоретической физике квазипериодическое движение — это движение по тору , которое никогда не возвращается в ту же точку. Такое поведение также можно назвать квазипериодической эволюцией, динамикой или потоком . Тор может быть обобщенным тором, так что окрестность любой точки более чем двумерна. В каждой точке тора существует направление движения, которое остается на торе. Как только поток на торе определен или фиксирован, он определяет траектории. Если траектории возвращаются в данную точку через определенное время, то движение периодично с этим периодом, в противном случае — квазипериодическое.

Квазипериодическое движение характеризуется конечным набором частот, которые можно рассматривать как частоты, на которых движение огибает тор в разных направлениях. Например, если тор — это поверхность бублика, то существует частота, с которой движение совершается вокруг бублика, и частота, с которой оно движется внутрь и наружу. Но набор частот не уникален: переопределив способ параметризации положения на торе, можно создать другой набор того же размера. Эти частоты будут целочисленными комбинациями первых частот (таким образом, что обратное преобразование также будет целочисленной комбинацией). Чтобы быть квазипериодическим, отношения частот должны быть иррациональными числами. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

В гамильтоновой механике с $n$ переменными положения и соответствующими скоростями изменения иногда можно найти набор из $n$ сохраняющихся величин. Такой случай называется вполне интегрируемым. Затем появляются новые переменные положения, называемые координатами действия-угла , по одной для каждой сохраняющейся величины, и эти углы действия просто линейно увеличиваются со временем. Это дает движение на « множествах уровня » сохраняющихся величин, в результате чего тор представляет собой $n$ -многообразие, локально имеющее топологию $n$ -мерного пространства. ^{[ 5 ]} Это понятие тесно связано с основными фактами о линейном течении на торе . Эти по существу линейные системы и их поведение при возмущении играют существенную роль в общей теории нелинейных динамических систем. ^{[ 6 ]} Квазипериодическое движение не проявляет эффекта бабочки , характерного для хаотических систем . Другими словами, старт из немного другой начальной точки тора приводит к траектории, которая всегда лишь немного отличается от исходной траектории, а не к тому, что отклонение становится большим. ^{[ 4 ]}

Прямолинейное движение

Прямолинейное движение вдоль прямой в евклидовом пространстве порождает квазипериодическое движение, если пространство превратить в тор ( компакт ), сделав каждую точку эквивалентной любой другой точке, расположенной таким же образом относительно целочисленной решетки ( точки с целочисленными координатами), поскольку направляющие косинусы прямолинейного движения образуют иррациональные отношения. Когда размерность равна 2, это означает, что направляющие косинусы несоизмеримы . В более высоких измерениях это означает, что направляющие косинусы должны быть линейно независимыми в поле рациональных чисел . ^{[ 5 ]}

Модель тора

Если мы представим, что фазовое пространство моделируется тором T ( то есть переменные являются периодическими, как углы), траектория квазипериодической системы моделируется кривой на T, которая обертывается вокруг тора, никогда точно не возвращаясь обратно на T. сам. Предполагая, что размерность T равна как минимум двум, их можно рассматривать как однопараметрические подгруппы тора с заданной групповой структурой (путем указания определенной точки в качестве единичного элемента ).

Квазипериодические функции

Квазипериодическое движение можно выразить как функцию времени, значением которой является вектор « квазипериодических функций ». Квазипериодическая функция $f$ на вещественной прямой — это функция, полученная из функции $F$ на стандартном торе T (определяемом $n$ углами) с помощью траектории в торе, в которой каждый угол увеличивается с постоянной скоростью. ^{[ 7 ]} Существует $n$ «внутренних частот», представляющих собой скорости, с которыми $развиваются n$ углов, но, как упоминалось выше, набор не определен однозначно. Во многих случаях функция в торе может быть выражена в виде кратного ряда Фурье . Для $n,$ равного 2, это:

F(\theta _{1},\theta _{2})=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }C_{jk}\exp(ij\theta _{1})\exp(ik\theta _{2})

Если траектория

\theta _{1}=a_{1}+\omega _{1}t

\theta _{2}=a_{2}+\omega _{2}t

тогда квазипериодическая функция:

f(t)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }C_{jk}\exp(ija_{1}+ika_{2}+i(j\omega _{1}+k\omega _{2})t)

Это показывает, что в этом разложении может быть бесконечное число частот, а не кратное конечному числу частот.

См. теорему Кронекера для геометрической теории и теории Фурье, связанную с количеством мод. Замыкание (образ) любой однопараметрической подгруппы в T является подтором некоторой размерности d . В этом подторе применим результат Кронекера: существует d действительных чисел, линейно независимых от рациональных чисел, которые являются соответствующими частотами.

В квазипериодическом случае, когда изображение плотное, можно доказать результат об эргодичности движения: для любого измеримого подмножества A из T (для обычной вероятностной меры) средняя доля времени, затрачиваемого движением в A, равна мере А. равна ^{[ 8 ]}

Терминология и история

Теория почти периодических функций , грубо говоря, предназначена для той же ситуации, но позволяет T быть тором с бесконечным числом измерений. Раннее обсуждение квазипериодических функций, проведенное Эрнестом Эсклангоном после работы Пирса Боля , фактически привело к определению почти периодической функции, терминологии Харальда Бора . ^{[ 9 ]} Ян Стюарт писал, что по умолчанию классическая небесная механика в тот период заключалась в том, что движения, которые можно было описать как квазипериодические, были наиболее сложными из всех, которые происходили. ^{[ 10 ]} Для Солнечной системы это, очевидно, было бы так, если бы можно было пренебречь гравитационным притяжением планет друг к другу: но это предположение оказалось отправной точкой сложной математики. ^{[ 11 ]} Направление исследований, начатое Андреем Колмогоровым в 1950-х годах, привело к пониманию того, что квазипериодический поток на торах фазового пространства может выдерживать возмущения. ^{[ 12 ]}

NB: Концепция квазипериодической функции , например, тот смысл, в котором тета-функции и дзета-функция Вейерштрасса в комплексном анализе имеют квазипериоды относительно решетки периодов , отличается от этой темы.

Ссылки

^ Сергей Васильевич Сидоров; Николай Александрович Магнитский. Новые методы исследования хаотической динамики . Всемирная научная. стр. 23–24. ISBN 9789814477918 .
^ Вайсштейн, Эрик В. (12 декабря 2002 г.). CRC Краткая математическая энциклопедия . ЦРК Пресс. п. 2447. ИСБН 978-1-4200-3522-3 .
^ Рюэль, Дэвид (7 сентября 1989 г.). Хаотическая эволюция и странные аттракторы . Издательство Кембриджского университета. п. 4. ISBN 978-0-521-36830-8 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Бриджес, Хендрик В.; Уитема, Джордж Б.; Севрюк Михаил Борисович (25 января 2009 г.). Квазипериодические движения в семействах динамических систем: порядок среди хаоса . Спрингер. п. 2. ISBN 978-3-540-49613-7 .
^ Перейти обратно: ^а ^б «Квазипериодическое движение» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ Бриджес, Хендрик В.; Уитема, Джордж Б.; Севрюк Михаил Борисович (25 января 2009 г.). Квазипериодические движения в семействах динамических систем: порядок среди хаоса . Спрингер. стр. 100-1 1–4. ISBN 978-3-540-49613-7 .
^ Комленко, Ю. В.; Тонков, Е.Л. (2001) [1994], «Квазипериодическая функция» , Энциклопедия Математики , EMS Press
^ Джорджилли, Антонио (5 мая 2022 г.). Заметки о гамильтоновых динамических системах . Издательство Кембриджского университета. п. 131. ИСБН 978-1-009-15114-6 .
^ Жину, Жан-Марк (18 апреля 2017 г.). История теории нелинейных колебаний во Франции (1880-1940) . Спрингер. стр. 311–312. ISBN 978-3-319-55239-2 .
^ Хау, Лео; Уэйн, Алан (25 марта 1993 г.). Предсказание будущего . Издательство Кембриджского университета. п. 30. ISBN 978-0-521-41323-7 .
^ Брат Хенк; Такенс, Флорис (20 октября 2010 г.). Динамические системы и хаос . Springer Science & Business Media. стр. 89–90. ISBN 978-1-4419-6870-8 .
^ Дюма, Х. Скотт (28 февраля 2014 г.). История Кама: Дружеское введение в содержание, историю и значение классической теории Колмогорова-Арнольда-Мозера . Мировое научное издательство. п. 67. ИСБН 978-981-4556-60-6 .

См. также

[1] Сергей Васильевич Сидоров; Николай Александрович Магнитский. Новые методы исследования хаотической динамики . Всемирная научная. стр. 23–24. ISBN 9789814477918 .

[2] Вайсштейн, Эрик В. (12 декабря 2002 г.). CRC Краткая математическая энциклопедия . ЦРК Пресс. п. 2447. ИСБН 978-1-4200-3522-3 .

[3] Рюэль, Дэвид (7 сентября 1989 г.). Хаотическая эволюция и странные аттракторы . Издательство Кембриджского университета. п. 4. ISBN 978-0-521-36830-8 .

[chaos-4] Перейти обратно: ^а ^б Бриджес, Хендрик В.; Уитема, Джордж Б.; Севрюк Михаил Борисович (25 января 2009 г.). Квазипериодические движения в семействах динамических систем: порядок среди хаоса . Спрингер. п. 2. ISBN 978-3-540-49613-7 .

[QPM-5] Перейти обратно: ^а ^б «Квазипериодическое движение» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[6] Бриджес, Хендрик В.; Уитема, Джордж Б.; Севрюк Михаил Борисович (25 января 2009 г.). Квазипериодические движения в семействах динамических систем: порядок среди хаоса . Спрингер. стр. 100-1 1–4. ISBN 978-3-540-49613-7 .

[7] Комленко, Ю. В.; Тонков, Е.Л. (2001) [1994], «Квазипериодическая функция» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[8] Джорджилли, Антонио (5 мая 2022 г.). Заметки о гамильтоновых динамических системах . Издательство Кембриджского университета. п. 131. ИСБН 978-1-009-15114-6 .

[9] Жину, Жан-Марк (18 апреля 2017 г.). История теории нелинейных колебаний во Франции (1880-1940) . Спрингер. стр. 311–312. ISBN 978-3-319-55239-2 .

[10] Хау, Лео; Уэйн, Алан (25 марта 1993 г.). Предсказание будущего . Издательство Кембриджского университета. п. 30. ISBN 978-0-521-41323-7 .

[11] Брат Хенк; Такенс, Флорис (20 октября 2010 г.). Динамические системы и хаос . Springer Science & Business Media. стр. 89–90. ISBN 978-1-4419-6870-8 .

[12] Дюма, Х. Скотт (28 февраля 2014 г.). История Кама: Дружеское введение в содержание, историю и значение классической теории Колмогорова-Арнольда-Мозера . Мировое научное издательство. п. 67. ИСБН 978-981-4556-60-6 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]