План Мёбиуса

В математике классическая плоскость Мёбиуса (названная в честь Августа Фердинанда Мёбиуса ) — это евклидова плоскость, дополненная единственной точкой, находящейся на бесконечности . Ее также называют инверсивной плоскостью , поскольку она замкнута при инверсии по отношению к любому обобщенному кругу и, таким образом, является естественной средой для плоской инверсивной геометрии .

Инверсия плоскости Мёбиуса по отношению к любому кругу — это инволюция , которая фиксирует точки на круге и меняет местами точки внутри и снаружи, при этом центр круга меняется местами с точкой, находящейся на бесконечности. В инверсной геометрии прямая считается обобщенной окружностью, содержащей точку, находящуюся на бесконечности; Инверсия плоскости относительно прямой есть евклидово отражение .

В более общем смысле, плоскость Мёбиуса представляет собой структуру инцидентности с теми же отношениями инцидентности, что и классическая плоскость Мёбиуса. Это один из самолетов Бенца : самолет Мёбиуса, самолет Лагерра и самолет Минковского .

Отношение к аффинным плоскостям

Плоскость Мёбиуса: отношение прикосновения

Аффинные плоскости — это системы точек и линий, которые, среди прочего, удовлетворяют тому свойству, что две точки определяют ровно одну линию. Эту концепцию можно обобщить на системы точек и окружностей, где каждая окружность определяется тремя неколлинеарными точками. Однако три коллинеарные точки определяют линию, а не окружность. Этот недостаток можно устранить, добавив точку на бесконечности к каждой линии . Если мы назовем и окружности, и такие завершенные линии циклами , мы получим структуру инцидентности , в которой каждые три точки определяют ровно один цикл.

В аффинной плоскости существенное значение имеет параллельность между прямыми. В геометрии циклов это отношение обобщается до отношения касания . Два цикла касаются друг друга, если у них есть хотя бы одна общая точка. Это справедливо для двух касательных окружностей или линии, касающейся окружности . Две завершенные прямые соприкасаются, если у них есть только общая точка, находящаяся на бесконечности, поэтому они параллельны. Отношение прикосновения обладает свойством

• для любого цикла $z$, точка $P$ на $z$ и любая точка $Q$ не включен $z$ существует ровно один цикл $z'$ содержащие точки $P,Q$ и трогательно $z$ (в точку $P$).

Эти свойства по существу определяют аксиоматическую плоскость Мёбиуса . Но классическая плоскость Мёбиуса — не единственная геометрическая структура, удовлетворяющая свойствам аксиоматической плоскости Мёбиуса. Еще один простой пример плоскости Мёбиуса можно получить, если заменить действительные числа рациональными числами . Использование комплексных чисел (вместо действительных чисел) не приводит к плоскости Мёбиуса, поскольку в комплексной аффинной плоскости кривая $x^{2}+y^{2}=1$ кривая не круговая, а гиперболическая. К счастью, существует множество полей (числ) вместе с подходящими квадратичными формами , которые приводят к плоскостям Мёбиуса (см. ниже). Такие примеры называются микелианскими , потому что они удовлетворяют теореме Микеля . Все эти микелевские плоскости Мёбиуса можно описать с помощью космических моделей. Классическую вещественную плоскость Мёбиуса можно рассматривать как геометрию окружностей на единичной сфере. Существенным преимуществом космической модели является то, что любой цикл представляет собой просто круг (на сфере).

Классический настоящий самолет Мёбиуса

Классический самолет Мебиуса:2d/3d-модель

Начнем с реальной аффинной плоскости ${\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )$ с квадратичной формой $\rho (x,y)=x^{2}+y^{2}$ и получим настоящую евклидову плоскость : $\mathbb {R} ^{2}$ – множество точек , линии описываются уравнениями $y=mx+b$ или $x=c$ а круг — это набор точек, удовлетворяющий уравнению

$\rho (x-x_{0},y-y_{0})=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2},\ r>0$.

Геометрию прямых и окружностей евклидовой плоскости можно гомогенизировать (аналогично проективному пополнению аффинной плоскости), вложив ее в структуру инцидентности

$({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$

с

${\mathcal {P}}:=\mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \},\infty \notin \mathbb {R}$, множество точек и

${\mathcal {Z}}:=\{g\cup \{\infty \}\mid g{\text{ line of }}{\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )\}\cup \{k\mid k{\text{ circle of }}{\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )\}$ набор циклов .

Затем $({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ называется классической вещественной плоскостью Мёбиуса .

В новой структуре завершенные линии больше не играют особой роли. Очевидно $({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ имеет следующие свойства.

• Для любого набора из трех точек $A,B,C$ существует ровно один цикл $z$ который содержит $A,B,C$.
• Для любого цикла $z$, любая точка $P\in z$ и $Q\notin z$ существует ровно один цикл $z'$ с: $P,Q\in z'$ и $z\cap z'=\{P\}$, то есть $z$ и $z'$ касаться друг друга в точке $P$.

$({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ можно описать с помощью комплексные числа. $z=x+iy$ представляет точку $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ и ${\overline {z}}=x-iy$ представляет собой комплексное сопряжение $z$.

${\mathcal {P}}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \},\infty \notin \mathbb {C}$, и

${\mathcal {Z}}:=\{\{z\in \mathbb {C} \mid az+{\overline {az}}+b=0\ {\text{(line)}}\ \}\cup \{\infty \}\mid \ 0\neq a\in \mathbb {C} ,b\in \mathbb {R} \}$

$\cup \{\{z\in \mathbb {C} \mid (z-z_{0}){\overline {(z-z_{0})}}=d\ {\text{(circle)}}\mid z_{0}\in \mathbb {C} ,d\in \mathbb {R} ,d>0\}.$

Преимущество этого описания в том, что можно легко проверить, что следующие перестановки ${\mathcal {P}}$ отображать циклы на циклы.

(1) $z\rightarrow rz,\ \ \infty \rightarrow \infty ,\quad$ с $r\in \mathbb {C}$ (вращение + расширение)

(2) $z\rightarrow z+s,\ \ \infty \rightarrow \infty ,\quad$ с $s\in \mathbb {C}$ (перевод)

(3) $z\rightarrow \displaystyle {\frac {1}{z}},\ z\neq 0,\ \ 0\rightarrow \infty ,\ \ \infty \rightarrow 0,\quad$ (отражение в $\pm 1$)

(4) $z\rightarrow {\overline {z}},\ \ \infty \rightarrow \infty .\quad$ (отражение или инверсия через действительную ось)

Учитывая $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ как проективная линия над $\mathbb {C}$ человек узнаетчто отображения (1)–(3) порождают группу $\operatorname {PGL} (2,\mathbb {C} )$ (см. PGL(2,C) , преобразование Мёбиуса ). Геометрия $({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ является однородной структурой, т. е ее группа автоморфизмов транзитивна . . Отсюда из (4) получаем: Для любого цикла существует инверсия . Например: $z\rightarrow {\tfrac {1}{\overline {z}}}$ это инверсия, фиксирующая единичный круг $z{\overline {z}}=1$. Это свойство дает начало альтернативному названию инверсной плоскости .

стереографическая проекция

Аналогично пространственной модели дезарговой проективной плоскости существуеткосмическая модель по геометрии $({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ в котором отсутствует формальное различие между циклами, определяемыми линиями, и циклами, определяемыми кругами: геометрия $({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ изоморфна геометрии окружностей на сфере. Изоморфизм может быть осуществлен с помощью подходящей стереографической проекции . Например:

$\Phi :\ (x,y)\rightarrow \left({\frac {x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {x^{2}+y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)=(u,v,w)\ .$

$\Phi$ это проекция с центром $(0,0,1)$ и карты

• тот $xy$-плоскость на сферу с уравнением $u^{2}+v^{2}+w^{2}-w=0$, середина $(0,0,{\tfrac {1}{2}})$ и радиус $r={\tfrac {1}{2}};$
• круг с уравнением $x^{2}+y^{2}-ax-by-c=0$ в самолет $au+bv-(1+c)w+c=0$. Это означает, что изображение круга — это плоское сечение сферы и, следовательно, снова круг (на сфере). Соответствующие плоскости не содержат центра, $(0,0,1)$;
• линия $ax+by+c=0$ в самолет $au+bv-cw+c=0$. Итак, изображение прямой — это окружность (на сфере), проходящая через точку $(0,0,1)$ но опуская этот момент $(0,0,1).$

Аксиомы плоскости Мёбиуса

Поведение инцидентности классической вещественной плоскости Мёбиуса приводит к следующему определению аксиоматической плоскости Мёбиуса.

Плоскость Мёбиуса: аксиомы (А1),(А2)

Структура заболеваемости ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ с набором точек ${\mathcal {P}}$ и набор циклов ${\mathcal {Z}}$ называется плоскостью Мёбиуса, если выполняются следующие аксиомы:

A1: По любым трем пунктам $A,B,C$ существует ровно один цикл $z$ который содержит $A,B,C$.

A2: Для любого цикла $z$, любая точка $P\in z$ и $Q\notin z$ существует ровно один цикл $z'$ с: $P,Q\in z'$ и $z\cap z'=\{P\}$ ( $z$ и $z'$ касаться друг друга в точке $P$).

A3: Любой цикл содержит минимум три точки. Есть как минимум один цикл.

Четыре очка $A,B,C,D$ являются конциклическими, если существует цикл $z$ с $A,B,C,D\in z$.

Не следует ожидать, что приведенные выше аксиомы определяют классическую вещественную плоскость Мёбиуса. Существует множество аксиоматических плоскостей Мёбиуса, отличных от классической (см. ниже). Аналогичной минимальной модели аффинной плоскости является «минимальная модель» плоскости Мёбиуса. Он состоит из $5$ баллы:

Плоскость Мёбиуса: минимальная модель (только циклы, содержащие $\infty$ нарисованы. Любой набор из 3 точек является циклом.)

${\mathcal {P}}:=\{A,B,C,D,\infty \},\quad {\mathcal {Z}}:=\{z\mid z\subset {\mathcal {P}},|z|=3\}.$ Следовательно: $|{\mathcal {Z}}|={5 \choose 3}=10.$

Связь между классической плоскостью Мёбиуса и реальной аффинной плоскостью аналогична связи между минимальной моделью плоскости Мёбиуса и минимальной моделью аффинной плоскости. Эта сильная связь типична для плоскостей Мёбиуса и аффинных плоскостей (см. ниже).

Для плоскости Мёбиуса ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ и $P\in {\mathcal {P}}$ мы определяем структуру ${\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus \{P\},\{z\setminus \{P\}\mid P\in z\in {\mathcal {Z}}\},\in )$и назовем его остатком в точке P.

Для классической модели остаток ${\mathfrak {A}}_{\infty }$ в точку $\infty$ является базовой реальной аффинной плоскостью. Существенный смысл вычета показывает следующая теорема.

Теорема: Любой остаток плоскости Мёбиуса является аффинной плоскостью.

Эта теорема позволяет использовать многие результаты об аффинных плоскостях для исследования плоскостей Мёбиуса и приводит к эквивалентному определению плоскости Мёбиуса:

Теорема: Структура заболеваемости $({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ является плоскостью Мёбиуса тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия имущество выполнено:

A': Для любой точки $P\in {\mathcal {P}}$ остаток ${\mathfrak {A}}_{P}$ является аффинной плоскостью.

Для конечных плоскостей Мёбиуса, т.е. $|{\mathcal {P}}|<\infty$, имеем (как и в случае с аффинными плоскостями):

Любые два цикла плоскости Мёбиуса имеют одинаковое количество точек.

Это оправдывает следующее определение:

Для конечной плоскости Мёбиуса ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ и цикл $z\in {\mathcal {Z}}$ целое число $n:=|z|-1$ называется порядком ​ ${\mathfrak {M}}.$

Из комбинаторики получаем:

Позволять ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ быть плоскостью Мёбиуса порядка $n$. Тогда а) любой остаток ${\mathfrak {A}}_{P}$ является аффинной плоскостью порядка $n$, б) $|{\mathcal {P}}|=n^{2}+1$, в) $|{\mathcal {Z}}|=n(n^{2}+1).$

Микельские самолеты Мёбиуса

В поисках дальнейших примеров плоскостей Мёбиуса кажется многообещающим обобщить классическую конструкцию, начиная с квадратичной формы. $\rho$ на аффинной плоскости над полем $K$ для определения кругов. Но просто чтобы заменить реальные цифры $\mathbb {R}$ по любому полю $K$ и сохранить классическую квадратичную форму $x^{2}+y^{2}$ для описания кругов не работает вообще. Более подробную информацию можно найти в примечании к лекции ниже. Итак, только для подходящих пар полей и квадратичных форм получаются плоскости Мёбиуса ${\mathfrak {M}}(K,\rho )$. Они (как и классическая модель) характеризуются огромной однородностью и следующей теоремой Микеля.

Теорема Михаила

Теорема (Микеля): Для плоскости Мёбиуса ${\mathfrak {M}}(K,\rho )$ верно следующее:
Если за любые 8 баллов $P_{1},...,P_{8}$которые можно поставить в соответствие вершинамкуба такой, что точки в пяти гранях соответствуют конциклическим четверок, чем шестая четверка точек, тоже конциклична.

Обратное тоже верно.

Теорема (Чэня): Только плоскость Мёбиуса ${\mathfrak {M}}(K,\rho )$ удовлетворяет теореме Микеля.

В силу последней теоремы плоскость Мёбиуса ${\mathfrak {M}}(K,\rho )$ называется микелевой плоскостью Мёбиуса .

Замечание: минимальная модель плоскости Мёбиуса микелевская. Он изоморфен плоскости Мёбиуса.

${\mathfrak {M}}(K,\rho )$ с $K=\mathrm {GF} (2)$ (поле $\{0,1\}$) и $\rho (x,y)=x^{2}+xy+y^{2}$.

(Например, единичный круг $x^{2}+xy+y^{2}=1$ это набор точек $\{(0,1),(1,0),(1,1)\}$.)

Примечание: Если мы выберем $K=\mathbb {C}$ поле комплексных чисел не существует подходящей вообще квадратичной формы.

Выбор $K=\mathbb {Q}$ (поле рациональных чисел) и $\rho (x,y)=x^{2}+y^{2}$ подходит.

Выбор $K=\mathbb {Q}$ (поле рациональных чисел) и $\rho (x,y)=x^{2}-2y^{2}$ тоже подойдет.

Примечание: Стереографическая проекция показывает: ${\mathfrak {M}}(K,\rho )$ изоморфенк геометрии плоскости

сечения на сфере (невырожденная квадрика индекса 1) в проективном 3-мерном пространстве над полем $K$.

Примечание: Доказательство теоремы Микеля для классического (вещественного) случая можно найти здесь . Оно элементарно и основано на теореме о вписанном угле .

Примечание: существует множество плоскостей Мёбиуса, которые не являются микелевскими (см. ссылку ниже). Класс, наиболее похожий на микелевские плоскости Мёбиуса, — это яйцевидные плоскости Мёбиуса . Овоидальная плоскость Мёбиуса — это геометрия плоских сечений овала . Овоид представляет собой квадратичное множество и обладает теми же геометрическими свойствами, что и сфера в проективном трехмерном пространстве: 1) прямая пересекает овоид ни в одной, ни в одной или двух точках и 2) в любой точке овоида множество касательных линии образуют плоскость, касательную плоскость . Простой овал в реальном трехмерном пространстве можно построить, склеив вместе две подходящие половинки разных эллипсоидов, так что в результате не будет квадрики. Даже в конечном случае существуют овоиды (см. квадратичное множество ). Овоидальные плоскости Мёбиуса характеризуются теоремой о расслоении .

Конечные плоскости Мёбиуса и блочные конструкции

Блочная конструкция с параметрами одноточечного расширения конечной аффинной плоскости порядка $n$, то есть $3$- $(n^{2}+1,n+1,1)$-дизайн, представляет собой плоскость Мёбиуса порядка. $n$.

Эти конструкции с конечными блоками удовлетворяют аксиомам, определяющим плоскость Мёбиуса, когда круг интерпретируется как блок конструкции.

Единственные известные конечные значения порядка плоскости Мёбиуса — это простые числа или простые степени. Единственные известные конечные плоскости Мёбиуса построены в пределах конечной проективной геометрии.

См. также

• Конформная геометрия
• Преобразование Мёбиуса

Ссылки

• В. Бенц, Лекции по геометрии алгебр , Springer (1973).
• Ф. Букенхаут (редактор), Справочник по геометрии падения , Elsevier (1995). ISBN   0-444-88355-X
• П. Дембовский, Конечные геометрии , Springer-Verlag (1968). ISBN   3-540-61786-8

Внешние ссылки

• Плоскость Мёбиуса в Математической энциклопедии
• Самолет Бенца в математической энциклопедии
• Конспект лекции «Геометрия плоского круга», введение в плоскости Мёбиуса, Лагерра и Минковского.