Большинство наборов

Игла показана вращающейся внутри дельтовидной мышцы . На каждом этапе вращения (кроме случаев, когда конечная точка находится на вершине дельтовидной мышцы) игла контактирует с дельтовидной мышцей в трех точках: двух конечных точках (синие) и одной точке касания (черная). Середина иглы (красная) описывает круг диаметром, равным половине длины иглы.

В математике множество Какеи или множество Безиковича — это набор точек в евклидовом пространстве , который содержит единичный отрезок прямой в каждом направлении. Например, диск радиуса 1/2 в евклидовой плоскости или шар радиуса 1/2 в трёхмерном пространстве образует множество Какеи. Большая часть исследований в этой области посвящена проблеме того, насколько маленькими могут быть такие множества. Безикович показал, что существуют множества Безиковича нулевой меры .

Набор игл Какеи (иногда также известный как набор Какейи) представляет собой набор (Безиковича) на плоскости с более сильным свойством, заключающимся в том, что единичный сегмент прямой может непрерывно вращаться внутри него на 180 градусов, возвращаясь в исходное положение с обратной ориентацией. . Опять же, диск радиуса 1/2 является примером набора игл Какея.

Проблема с иглой Какеи

Задача об игле Какеи спрашивает, существует ли минимальная площадь региона. $D$ в плоскости, в которой иглу единичной длины можно повернуть на 360°. Впервые этот вопрос для выпуклых областей был поставлен Соити Какея ( 1917 ). Минимальная площадь выпуклых множеств достигается за счет равностороннего треугольника высотой 1 и площадью 1/ √ 3 , как показал Пал .

Кажется, Какея предположил, что набор Какеи $D$ минимальной площади без ограничения выпуклости будет трехконечная дельтовидная форма. Однако это неверно; существуют меньшие невыпуклые множества Какеи.

Наборы игл Безиковича

«Выращивание дерева Перрона»: метод построения множества Какеи малой меры. Здесь показаны два возможных способа разделения нашего треугольника и перекрытия частей, чтобы получить меньший набор: первый, если мы используем только два треугольника, и второй, если мы используем восемь. Этот метод можно использовать для построения сколь угодно малого множества, разрезая исходный треугольник на $2^{n}$ куски. Видеть для получения подробной информации.

Безикович смог показать, что не существует нижней границы > 0 для площади такой области. $D$, в котором можно повернуть иглу единичной длины. То есть для каждого $\varepsilon >0$, есть область площади $\varepsilon$ в пределах которого игла может совершать непрерывные движения, поворачивая ее на полные 360 градусов. Это основано на его более ранних работах о множествах плоскостей, которые содержат единичный сегмент в каждой ориентации. Такое множество теперь называется множеством Безиковича . Работа Безиковича, показывающая, что такое множество может иметь сколь угодно малую меру, датируется 1919 годом. Возможно, проблема рассматривалась аналитиками и раньше.

Один из методов построения множества Безиковича (соответствующие иллюстрации см. на рисунке) известен как «дерево Перрона» в честь Оскара Перрона , который смог упростить исходную конструкцию Безиковича. Точная конструкция и числовые оценки приведены в популяризации Безиковича.

Первое наблюдение, которое следует сделать, заключается в том, что игла может двигаться по прямой линии так далеко, как ей хочется, не затрагивая какую-либо область. Это связано с тем, что игла представляет собой отрезок линии нулевой ширины. Второй трюк Пала , известный как Пал, присоединяется. описывает, как перемещать иглу между любыми двумя параллельными точками, охватывая при этом незначительную площадь. Игла примет форму буквы «N». Он перемещается от первого места на некоторое расстояние $r$ вверх слева от буквы «N», выметает угол до средней диагонали, перемещается вниз по диагонали, выметает второй угол, и они перемещаются вверх по параллельной правой стороне буквы «N», пока не достигнут требуемого второго места. Единственными охваченными областями с ненулевой площадью являются два треугольника высотой один и угол вверху буквы «N». Охваченная площадь пропорциональна этому углу, который пропорционален $1/r$.

Построение начинается с любого треугольника высотой 1 и некоторого существенного угла при вершине, через который игла может легко пройти. Цель состоит в том, чтобы выполнить множество операций над этим треугольником, чтобы уменьшить его площадь, сохраняя при этом направления, по которым может двигаться игла, одинаковыми. Сначала подумайте о том, чтобы разделить треугольник на две части и переместить части друг на друга так, чтобы их основания перекрывались таким образом, чтобы минимизировать общую площадь.Игла способна выметать одни и те же направления, выметая направления, заданные первым треугольником, перепрыгивая на второй, а затем выметая направления, заданные вторым. Игла может перепрыгивать треугольники, используя технику «N», потому что две линии, по которым был разрезан исходный треугольник, параллельны.

Теперь предположим, что мы разделили наш треугольник на 2 части. ^н подтреугольники. На рисунке показано восемь.Для каждой последовательной пары треугольников выполните ту же операцию перекрытия, которую мы описали ранее, чтобы получить вдвое меньше новых фигур, каждая из которых состоит из двух перекрывающихся треугольников. Затем перекройте последовательные пары этих новых фигур, сдвинув их.так, чтобы их основания перекрывались таким образом, чтобы минимизировать общую площадь. Повторите это n раз, пока не останется только одна фигура. Опять же, игла может проходить в одних и тех же направлениях, выметая их в каждом из 2 ^н подтреугольники в порядке их направления. Игла может перепрыгивать последовательные треугольники, используя технику «N», потому что две линии, по которым эти треугольники были разрезаны, параллельны.

Осталось вычислить площадь окончательной фигуры. Доказательство слишком сложно представить здесь. Вместо этого мы просто будем спорить о том, как могут развиваться цифры.Глядя на рисунок, видно, что 2 ^н подтреугольники сильно перекрываются. Все они перекрываются внизу, половина из них внизу левой ветки, четверть из них внизу левой левой ветки и так далее. Предположим, что площадь каждой фигуры, созданной в результате i операций слияния 2 ^я подтреугольников ограничен A _i .Прежде чем объединить две из этих фигур, их площадь ограничена 2 A _i . Затем мы перемещаем две фигуры вместе так, чтобы они максимально перекрывались. В худшем случае эти два региона два прямоугольника размером 1 на ε, перпендикулярные друг другу так, что они перекрываются на площади всего ε ² . Но две фигуры, которые мы построили, пусть и длинные и тонкие, указывают почти в одном направлении, поскольку состоят из последовательных групп подтреугольников. На помахе рукой указано, что они перекрываются как минимум на 1% своей площади. Тогда объединенная область будет ограничена А _я+1 = 1,99 А _я . Площадь исходного треугольника ограничена единицей. Следовательно, площадь каждого подтреугольника ограничена А ₀ = 2 ^-н и окончательная форма имеет площадь, ограниченную А _н = 1,99 ^н × 2 ^-н . В действительности, тщательное суммирование всех областей, которые не перекрываются, дает то, что площадь конечной области намного больше, а именно 1/n . По мере роста n эта область сжимается до нуля.Множество Безиковича можно создать путем объединения шести вращений дерева Перрона, созданного из равностороннего треугольника.Аналогичную конструкцию можно построить и с параллелограммами.

Помимо метода «прорастания», существуют и другие методы построения множеств Безиковича нулевой меры. Например, Кахане использует множества Кантора для построения множества Безиковича нулевой меры в двумерной плоскости.

Набор иголок Какея, сделанный из деревьев Перрон.

В 1941 году Х. Дж. Ван Альфен показал, что внутри круга радиуса 2 + ε существуют произвольные маленькие наборы иголок Какеи (произвольное ε > 0). В 1965 году были обнаружены просто соединенные наборы игл Kakeya с площадью меньшей, чем дельтовидная мышца. Мелвин Блум и И.Дж. Шенберг независимо друг от друга представили наборы игл Kakeya с площадью, приближающейся к ${\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})$, число Блума-Шенберга . Шёнберг предположил, что это число является нижней границей площади односвязных наборов иголок Какеи. Однако в 1971 г. Ф. Каннингем показал, что при ε > 0 существует односвязное множество игл Какеи площадью меньше ε, содержащееся в круге радиуса 1.

Хотя существуют игольчатые множества Какеи сколь угодно малой положительной меры и множества Безиковича меры 0, не существует игольчатых множеств Какеи меры 0.

Гипотеза Какеи

Заявление

Тот же вопрос о том, насколько малыми могут быть эти множества Безиковича, был затем поставлен в более высоких измерениях, что породило ряд гипотез, известных под общим названием « гипотеза Какеи» , и помогло положить начало области математики, известной как геометрическая теория меры . В частности, если существуют множества Безиковича нулевой меры, могут ли они также иметь s-мерную нулевую меру Хаусдорфа для некоторой размерности s, меньшей размерности пространства, в котором они лежат? Этот вопрос порождает следующее предположение:

Гипотеза о множестве Какеи : Определить множество Безиковича в R ^н быть набором, который содержит единичный отрезок прямой в каждом направлении. Верно ли, что такие множества обязательно имеют размерность Хаусдорфа и размерность Минковского, равную n ?

Известно, что это верно для n = 1, 2, но в более высоких измерениях известны только частичные результаты.

Максимальная функция Какеи

Современный способ подойти к этой проблеме — рассмотреть конкретный тип максимальной функции , которую мы построим следующим образом: Обозначим S ^{п -1} ⊂ Р ^н быть единичной сферой в n -мерном пространстве. Определять $T_{e}^{\delta }(a)$ быть цилиндром длины 1, радиуса δ > 0, с центром в точке a ∈ R ^н , длинная сторона которого параллельна направлению единичного вектора e ∈ S ^{п -1} . Затем для локально интегрируемой функции f мы определяем максимальную функцию Какеи от f как

$f_{*}^{\delta }(e)=\sup _{a\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{m(T_{e}^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y)$

где m обозначает n -мерную меру Лебега . Обратите внимание, что $f_{*}^{\delta }$ определено для векторов e в сфере S ^{п -1} .

Тогда для этих функций существует гипотеза, которая, если она верна, будет подразумевать гипотезу о множестве Какеи для более высоких измерений:

Гипотеза о максимальной функции Какеи : для всех ε > 0 существует константа C _ε > 0 такая, что для любой функции f и всех δ > 0 (обозначения см . в пространстве lp )

$\left\|f_{*}^{\delta }\right\|_{L^{n}(\mathbf {S} ^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}.$

Результаты

Некоторые результаты доказательства гипотезы Какеи следующие:

• Гипотеза Какеи верна для n = 1 (тривиально) и n = 2 (Дэвис ).
• В любом n -мерном пространстве Вольф показал, что размерность множества Какеи должна быть не менее ( n +2)/2.
• В 2002 году Кац и Тао улучшена связь Вольфа с $(2-{\sqrt {2}})(n-4)+3$, что лучше при n > 4.
• В 2000 году Кац , Лаба и Тао доказал, что размерность Минковского трехмерных множеств Какеи строго больше 5/2.
• В 2000 году Жан Бурген связал проблему Какейи с арифметической комбинаторикой. который включает в себя гармонический анализ и аддитивную теорию чисел .
• В 2017 году кот и хвост улучшена нижняя граница размерности Хаусдорфа множеств Безиковича в трех измерениях до $5/2+\epsilon$ для абсолютной константы $\epsilon >0$.

Приложения к анализу

Несколько удивительно, но оказалось, что эти гипотезы связаны с рядом вопросов в других областях, особенно в гармоническом анализе . Например, в 1971 году Чарльз Фефферман смог использовать конструкцию множества Безиковича, чтобы показать, что в размерностях больше 1 усеченные интегралы Фурье, взятые по шарам с центром в начале координат и радиусами, стремящимися к бесконечности, не обязательно должны сходиться в L ^п норма , когда p ≠ 2 (в отличие от одномерного случая, когда такие усеченные интегралы сходятся).

Аналоги и обобщения проблемы Какеи

Наборы, содержащие круги и сферы

Аналоги проблемы Какеи включают рассмотрение множеств, содержащих более общие формы, чем линии, например круги.

• В 1997 году и 1999 г., Вольф доказал, что множества, содержащие сферу любого радиуса, должны иметь полную размерность, то есть размерность равна размерности пространства, в котором она находится, и доказал это, доказав границы круговой максимальной функции, аналогичной максимальной функции Какеи. .

• Было высказано предположение, что существуют множества, содержащие сферу вокруг каждой точки нулевой меры. Результаты Элиаса Штейна доказал, что все такие множества должны иметь положительную меру при n ≥ 3, а Марстранд то же самое оказалось и для случая n=2 .

Наборы, содержащие k -мерные диски

Обобщением гипотезы Какеи является рассмотрение множеств, которые содержат не отрезки прямых во всех направлениях, а, скажем, части k -мерных подпространств. Определим ( n , k )-множество Безиковича K как компактное множество в R ^н содержащий сдвиг каждого k -мерного единичного круга, имеющего нулевую меру Лебега. То есть, если B обозначает единичный шар с центром в нуле, для каждого k -мерного подпространства P существует x ∈ R ^н такой, что ( P ∩ B ) + Икс ⊆ K . Следовательно, ( n , 1)-множество Безиковича является стандартным множеством Безиковича, описанным ранее.

Гипотеза ( n , k )-Безиковича: не существует ( n , k )-множеств Безиковича для k > 1.

В 1979 году Марстранд доказал, что не существует (3, 2)-множеств Безиковича. Однако примерно в то же время Фальконер доказал, что не существует ( n , k )-множеств Безиковича для 2 k > n . На сегодняшний день лучшим связующим является Bourgain, который доказал, что таких множеств не существует, когда 2 ^{к -1} + к > п .

Множества Какеи в векторных пространствах над конечными полями

В 1999 году Вольф сформулировал аналог проблемы Какеи в конечном поле в надежде, что методы решения этой гипотезы можно будет перенести на евклидов случай.

Гипотеза Какеи о конечном поле : пусть F — конечное поле, пусть K ⊆ F ^н — множество Какеи, т.е. для каждого вектора y ∈ F ^н существует x ∈ F ^н такая, что K содержит прямую { x + ty : t ∈ F }. Тогда множество K имеет размер не менее c _n | Ф | ^н где c _n >0 — константа, зависящая только от n .

Зеев Двир доказал эту гипотезу в 2008 году, показав, что утверждение справедливо для c _n = 1/ n !. В своем доказательстве он заметил, что любой многочлен от n переменных степени меньше | Ф | исчезающий на множестве Какеи должен быть тождественно нулю. С другой стороны, полиномы от n переменных степени меньше | Ф | сформировать векторное пространство размерности

${|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geq {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.$

Следовательно, существует хотя бы один нетривиальный многочлен степени меньше | Ф | который обращается в нуль на любом заданном множестве с меньшим количеством точек. Объединение этих двух наблюдений показывает, что множества Какеи должны иметь по крайней мере | Ф | ^н / н ! точки.

Неясно, будут ли эти методы распространяться на доказательство исходной гипотезы Какеи, но это доказательство действительно придает достоверность исходной гипотезе, делая маловероятными по сути алгебраические контрпримеры. Двир написал обзорную статью о прогрессе в решении проблемы Какеи с конечным полем и ее связи с экстракторами случайности .

См. также

• Никодим набор

Ссылки

• Безикович, Абрам (1963). «Проблема Какеи». Американский математический ежемесячник . 70 (7): 697–706. дои : 10.2307/2312249 . JSTOR   2312249 . МР   0157266 .
• Двир, Зеев (2009). «О размере множеств Какеи в конечных полях». Журнал Американского математического общества . 22 (4): 1093–1097. arXiv : 0803.2336 . Бибкод : 2009JAMS...22.1093D . дои : 10.1090/S0894-0347-08-00607-3 . МР   2525780 . S2CID   3358826 .
• Фальконер, Кеннет Дж. (1985). Геометрия фрактальных множеств . Кембриджские трактаты по математике. Том. 85. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-25694-1 . МР   0867284 .
• Какея, Соичи (1917). «Некоторые задачи по максимуму и минимуму относительно овалов». Научные отчеты Тохоку . 6 : 71–88.
• Кац, Нетс Хок ; Лаба, Изабелла ; Тао, Теренс (2000). «Улучшенная оценка размерности Минковского набора Безиковича $\mathbf {R} ^{3}$ Анналы (PDF) . математики . 152 (2): 383–446. 10.2307 / 2661389 . JSTOR   2661389. 1804528. MR   doi . S2CID   17007027 :

• Вольф, Томас (1999). «Недавние работы, связанные с проблемой Какеи». В Росси, Хьюго (ред.). Перспективы математики: приглашенные доклады по случаю 250-летия Принстонского университета . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 129–162. ISBN  978-0-8218-0975-4 . МР   1660476 .
• Вольф, Томас (2003). Лаба, Изабелла ; Шубин, Кэрол (ред.). Лекции по гармоническому анализу . Серия университетских лекций. Том. 29. С предисловием Чарльза Феффермана и предисловием Изабеллы Лабы. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/улект/029 . ISBN  0-8218-3449-5 . МР   2003254 .

Внешние ссылки

• Какея в Университете Британской Колумбии
• Безикович в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе
• Проблема с иглой Какеи в Mathworld
• Доказательство Двиром гипотезы Какеи о конечном поле в блоге Теренса Тао
• Введение в множества Безиковича-Какейи